힐베르트 정리 (미분기하학)

미분기하학에서 힐베르트 정리(1901)는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 잠긴 일정한 음의 가우스 곡률 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$의 완전한 정칙면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$가 존재하지 않는다고 말합니다$.$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 정리는 R3 {\$displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$의 어떤 표면이 등각형으로 완전한 다양체를 등각형으로 담그면 얻을 수 있는지에$$ 대한 부정적인 경우에 대한 질문에 답합니다$.$

역사

• 힐베르트의 정리는 다비드 힐베르트에 의해 《위베르 플레첸 폰 콘스탄터 크뤼멍》(Trans)에서 처음으로 다루어졌다. 아메르. 수학. Soc. 2 (1901), 87–99).
• 얼마 지나지 않아 E가 다른 증거를 제시했습니다. Holmgren은 "Surles surface à courbure constant negative" (1902)에서.
• 1975년 Nikolai Efimov에 의해 훨씬 앞서가는 일반화가 얻어졌습니다.^[1]

증명

힐베르트 정리의 증명은 정교하고 여러 개의 레마를 필요로 합니다. 이 아이디어는 등각적 몰입의 부재를 보여주는 것입니다.

${\displaystyle \varphi =\psi \circ \exp_{p}:S'\long 오른쪽 화살표 \mathbb {R} ^{3}}$

실수 공간 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$$${\$displaystyle$ S$'}$에 대한 $평면{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ S${\displaystyle {\text{'}}^{}}$$${\$displaystyle \mathbb {R}$^{$3}}$의 $증명$입니다$.$ 이 증명은 도 카르모와 스피박의 책에 기초했지만 기본적으로 힐베르트의 논문과 동일합니다.

관측치: 보다 관리하기 쉬운 처리를 위해 일반성을 잃지 않고 곡률을 마이너스 1, $K$ =${\displaystyle }$- ${\$display K = - 1}로 간주할 수 있습니다. 일정한 곡률로 처리되기 때문에 일반성의 손실이 없으며 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$의 유사성은 K ${\displaystyle$ K$}$에 상수를$$ 곱합니다$$. $지수$ 맵 ${\displaystyle {exp}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p{}_{}}$( S${\displaystyle )}$ ⟶ S ${\displaystyle \exp$ _{p}:$T_$${p$$}(S)\$$longrightarrow S}$는 국소 미분 동형(사실은 카탄-하다마드 정리에 의한 피복 지도)이므로, $p{\displaystyle }${\$displaystyle$ p$}$에서 S$${\$displaystyle$$$S}의 접선 공간에 내적을 유도합니다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{또한}},$ ${\displaystyle S^{\text{'}}}$ ${\$는 이 내부 제품과$$ 기하학적 표면 ${\displaystyle {Tp}_{}}$(${\displaystyle S)}$ ${\displaystyle T_{p}(S)}$를 나타냅니다$$. ψ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ⟶ $R$ 3 ${\displaystyle$ \psi:$S\longright$ 화살표 $\mathbb {R} ^{3}}$는 등각 몰입이며, 다음과 같은 경우

$\psi$$S'\long$ 오른쪽 화살표 $\mathbb {R} ^{3$

첫 번째 보조정리는 다른 보조정리와 독립적이며 마지막에 다른 보조정리의 결과를 거부하는 반대문으로 사용됩니다.

보조정리 1: $S{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$의 면적은 무한대입니다$$.
증명 스케치:
증명의 아이디어는 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$와 $S{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$ $S$$'}$ 사이에 전역 등각선을 만드는 것입니다$.$ 그러면 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$는 무한 영역을 가지므로$$ $S{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$ $S$$'}$도 이를 가질 것입니다$$.
쌍곡면 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$가 무한한 면적을$$ 갖는다는 사실은 표면 적분과 제1 기본 형식의 해당 계수를 계산함으로써 얻어집니다. 이들을 구하기 위해 쌍곡선 평면은${\displaystyle \mathrm{좌표}}$(u$,$ v) ${\displaystyle$(u, v)} ${\$displaystyle (q$\in \mathbb {$R} ^{2}}의 점 ∈ $R$ 2${\displaystyle$ (u, v)} 주위에 다음 내적이 있는 평면으로 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle E=\left\langle {\frac {\partial }{\partial u}}, {\frac {\partial }{\partial u}}, {\right\rangle =1\qquad F=\left\langle {\frac {\partial}{\partial u}, {\frac {\partial v}}, {\right\rangle =\left\lang {\frac {\partial }{\partial v}},{\frac {\partial }{\partial u}}\right\rangle =0\qquad G=\left\rangle {\frac {\partial }{\partial v}}, {\frac {\partial v}}, {\partial v}}\right\rangle =e^{u}}$

쌍곡면은 무한하므로, 적분의 극한은 무한하며, 넓이는 다음을 통해 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{u}dudv=\infty }$

다음으로 쌍곡선 평면의 전역 정보가 표면 $S{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$즉 전역 등각으로 전달될 수 있음을 보여주는 맵을 생성해야 합니다. $→$$H\rightarrow S'}$는 지도가 되며, 도메인은 쌍곡면이고 2차원 매니폴드 $'$ {\displaystyle S$'$ {\$displaystyle$S'}를 이미지화하며$,$ 이는 표면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$에서 내부 $생성물$을 음의 곡률로$$ 운반합니다. $φ${\$displaystyle$\varphi}은(는) 지수 맵, 그 역, 접선 공간 사이의 선형 등각법을 통해 정의됩니다.

${\displaystyle }$$T_{p}(H)\rightarrow T_{p'}(S')}$.

그것은

${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\displaystyle {=}_{}}$ $ex$ ψ ∘ exp - 1 {\displaystyle \var${\displaystyle p}$hi =\exp _{p'}\circ \circ \exp _{p}^{-1}},

${\displaystyle {}^{}}$서 $p$ ∈ H,$p'$ ∈ S'$${\$displaystyle$ p\in H,p'\in S'}입니다. 즉, 시작점 p ∈ H {\displaystyle p\in H}는 H {\displaystyle H}에서 지수 맵의 역을 거쳐 접평면으로 갑니다. 그런 다음 등각$$ψ {\displaystyle \psi}을$($를) 통해 한 접평면에서 다른 접평면으로 이동한 다음 다른 지수 맵을 $사용$하여 $표면$S' ${\displaystyle$ S'}으로 내려갑니다.

다음 단계에서는 각각$$p ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$p}${\displaystyle {}^{}}$및 p' {\displaystyle ${\displaystyle {}^{}}$} $주변$에서$$(ρ, θ)${\displaystyle$(\rho${\displaystyle {,\backslash }^{}{)\}}^{}}$및$$(ρ $',$ θ ') {\$displaystyle$ $(\rho$,\$theta ')}$을 사용합니다. 축이 서로 매핑되어 있어야 합니다. 즉, θ $$= 0$$${\displaystyle$ \$theta$ = 0}이(가) θ ' = 0 {\displaystyle \theta '= 0}이(가) 됩니다. 그런 다음$$φ {\displaystyle$$\varphi}은(는) 첫 번째 기본 형식을 유지합니다.
측지극 시스템에서 가우시안 곡률 ${\displaystyle }${\$displaystyle K}$는 다음과 같이 표현할$$ 수 있습니다.

${\displaystyle K}$ =${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{(G)}}$ ρ ρ G {\displaysty${\displaystyle l}$e K=-{\frac {({\sqrt {G}}_{\rho \rho}}{\sqrt {G}}}.

또한 K는 상수이며 다음 미분방정식을 만족합니다.

${\displaystyle ({\sqrt {G}})_{\rho \rho }+K\cdot {\sqrt {G}}=0}$

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$와 $S{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$ S$'}$는 일정한 가우스 곡률을 가지므로$$ 국부적으로 등각(Minding's Theorem)입니다. 즉,$$φ$${\displaystyle$$\varphi}은(는${\displaystyle {)}^{}}$ H${\$$displaystyle$H$\}$와$S'$ {\displaystyle$$S'} $사이$의 로컬 아이소메트리입니다. 또한 하다마드의 정리로부터$$φ {\displaystyle \varphi}도 피복 맵이라는$것$을 알 수 있습니다.
$S{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle S'}$은(는) 단순하게 연결되어 있으므로$$φ${\$displaystyle \varphi}은(는) 동형이며, 따라서 (글로벌) 등각형입니다. 따라서 $H$ ${\displaystyle H}$와 S${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle$ S$'}$는 전역적으로 등각이며, $H$ ${\displaystyle$ $H$$}$는 무한한 면적을 가지므로 $S{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ = ${\displaystyle {Tp}_{}S)}$ ${\displaystyle$S' = $T_{p}(S)$도 무한한 면적을 갖습니다. ${\$

보조정리 2: 각 ${\displaystyle {}^{}}$ ∈ S' {\$displaystyle$ p\in S'}에 대해 $매개변수화$x: U ⊂ R 2 ⟶ S', p ∈ x (U) {\displaystyle x:$\subset$ \mathbb {R} ^{$2}\longrightarrow S$$',\$qquad p\in$x(U$ 즉 x {\displaystyle $x}$의 좌표 곡선은 $x{\displaystyle (U)}$ $=$ ${\displaystyle {\text{'}}^{}}${\$displaystyle$ x(U)$=$ V'}의 점근 곡선이며 체비셰프 그물을 형성합니다$.$

보조정리 3: ${\displaystyle {}^{}{\text{'}}^{}}$$$⊂ S' ${\$$displaystyle$ V$'\subset$ S'}를 S' $\{\backslash$$displaystyle$ S$'}$의${\displaystyle {}^{}}$$좌표근접$이라고 $하자$. 그러면 좌표곡선에 의해 형성된 임의의 4각형의 면적 A는 2 π$displaystyle$ 2\pi$}$보다 작습니다.

다음 목표는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$이(가) $S{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$ S$'}$의 매개 변수임을 보여주는 것입니다$.$

보조정리 4$:$ $고정$된 t ${\displaystyle$ t$}$의 경우 ( - ∞< $s$< + ∞ {\$displaystyle$x(s$,t$), -$\$infty s<+\infty }는 s$${\displaystyle s}를 호 길이로 하는$점근$ $곡선$입니다.

보조정리 8과 함께 다음 2개의 보조정리는 매개변수화 $x{\displaystyle :{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ⟶ S' ${\displaystyle$ x$:\mathbb${R} ^{$2}\longrightarrow$ S'}의 존재를 보여줍니다.

보조정리 5: $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$는 로컬 차분 동형입니다.

보조정리 6: $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 주관적입니다.

보조정리 7: $S{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$ S$'}$ 위에는 $S{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$의 점근 곡선에 접하는 두 개의 미분 가능한 선형 독립 벡터 필드가 있습니다$$$.$

보조정리 8: x ${\displaystyle$ x$}$는 $주입식$입니다.

힐베르트 정리의 증명:
먼저, 곡률이 음인 완전한 표면 $$ ${\displaystyle S}$에서 등각 침지가 존재한다고 가정합니다.${\displaystyle }$ψ: ${\displaystyle {}^{}}$⟶ R 3 {\$displaystyle$ \psi:$S\long 오른쪽 화살표 \mathbb {R} ^{3}}$

관측에 명시된 바와 같이 접평면 ${\displaystyle {Tp}_{}S)}$ ${\displaystyle T_{p}(S)}$에는 지수 맵 ${\displaystyle {exp}_{}}$ $Tp$ ⟶ S ${\displaystyle \exp_${p}:$T_{p}(S)\longright 화살표$ S$}.$ 또한 $φ$${\displaystyle {}^{}}$$=$ $ψ ∘$${\displaystyle {}^{}}$ :$$S' $⟶$ R 3 {\displaystyle \$varphi$ $=$\$psi$ \circ \exp_{p:$S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$는 등각 몰입이고 Lemas 5, 6, 8은 전체$S$' {\$displaystyle$ S$\text{'}$ {\mathbb {R} ^{$2}\longrightarrow$ S'}의 매개변수화 x:$R$ $⟶$ S' {\$displaystyle$ x$:\mathbb${R} ^{2}, $따라서{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$의 좌표 곡선이 S${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\$ S$'}$의 점근 곡선이 $됩니다$. 이 결과는 보조자 4에 의해 제공되었습니다. $따라서$,${\displaystyle {}^{}}$S'$${\$displaystyle$ S$'}$는 ${\displaystyle Q_{}}$${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {+}_{}}$ 1 {\$displaystyle Q_${n$}\subset$Q_$\{$n+1}과 함께 "좌표" 4각형 $Q$ n ${\displaystyle Q_{n}$의 조합으로 덮일 수 있습니다. 보조정리 3에 의해, 각 4각형의 면적은 2 π $displaystyle$ 2\pi$}$보다 작습니다. 반면, 보조정리 1에 의해, $S{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$의 영역은 무한하므로$$ 경계가 없습니다. 이것은 모순이고 증명은 끝납니다. ${\$

참고 항목

• 내쉬 임베딩 정리는 모든 리만 다양체가 등각적으로 어떤 유클리드 공간에 임베딩될 수 있다고 말합니다.

참고문헌

• 만프레도 도 카르모, 곡선과 표면의 미분기하학, 프렌티스 홀, 1976.
• Spivak, Michael, 미분기하학에 대한 포괄적 소개, 출판 또는 소멸, 1999.