하이네-보렐 정리

실제 분석에서 에두아르트 하이네와 에밀 보렐의 이름을 딴 하이네-보렐 정리는 다음과 같습니다.

유클리드 공간 R의ⁿ 부분 집합 S에 대하여, 다음 두 문장은 동치입니다.

S는 닫혀 있고 유계입니다.
S는 콤팩트하므로, S의 모든 열린 덮개는 유한 부분 덮개를 갖습니다.

역사와 동기

오늘날 하이네-보렐 정리라고 불리는 것의 역사는 19세기에 실제 분석의 견고한 기초를 찾는 것에서 시작됩니다. 이 이론의 중심은 균일한 연속성의 개념과 닫힌 그리고 경계가 있는 구간의 모든 연속적인 함수는 균일하게 연속적이라는 정리였습니다. Peter Gustav Lejeune Dirichlet은 이것을 최초로 증명했고 그는 그의 증명에서 닫힌 구간의 주어진 열린 덮개의 유한한 부분 덮개의 존재를 암시적으로 사용했습니다.^[1] 그는 1904년에 출판된 1852년 강의에서 이 증거를 사용했습니다.^[1] 후에 에두아르트 하이네, 칼 바이어스트라스, 살바토레 핀슐레도 비슷한 기술을 사용했습니다. 1895년 에밀 보렐은 하이네-보렐 정리라고 불리는 것의 형태를 최초로 진술하고 증명했습니다. 그의 공식은 셀 수 있는 표지로 제한되었습니다. 피에르 사촌(1895), 르베그(1898), 쇤플라이(1900)는 임의의 표지로 일반화했습니다.^[2]

증명

집합이 콤팩트하면 닫아야 합니다.

S를 R의 부분집합이라고 하자. 먼저 a가 S의 극한점이면, 각 열린집합 U ∈ C가 a의 어떤 근방 V와 서로소인 열린집합 C의 유한집합은 S의 덮개가 되지 못합니다. 실제로, 집합_U V의 유한 가군의 교집합은ⁿ R에서 a의 근방 W입니다. a는 S의 극한점이므로 W는 S의 점 x를 포함해야 합니다. 이 x ∈ S는 C족에서는 다루지 않는데, C의 모든 U는 V와 분리되어 있고 따라서 x를 포함하는 W와 분리되어 있기 때문입니다.

S가 콤팩트하지만 닫히지 않으면 S가 아닌 극한점 a를 갖습니다. a의 어떤 이웃 V와 교차하지 않을 정도로 충분히 작게 선택된 각 x ∈ S에 대하여 열린 이웃 N(x)으로 구성된 집합 C'를 생각해 보자. 그러면 C'는 S의 열린 부분집합이지만, C'의 유한 부분집합은 앞서 논의한 C의 형태를 가지므로 S의 열린 부분집합이 될 수 없습니다. 이것은 S의 컴팩트함과 모순됩니다. 따라서 S의 모든 극한점은 S에 있으므로 S는 닫혀 있습니다.

위의 증명은 하우스도르프 위상 공간 X의 임의의 콤팩트 부분집합 S가 X에서 닫혀 있다는 것을 보여주는 것에 거의 변화 없이 적용됩니다.

집합이 콤팩트하면 유계입니다.

$S {\displaystyle$ S $}$ 를 $\mathbf {R} ^{n}$ $\mathbf {R} ^{n}$ 의 콤팩트 세트라고 하고 $\mathbf {R} ^{n}$ $U_{x}$ $U_{x$ 는 $x\in \mathbf {R} ^{n}$ ∈ $Rn {\displaystyle x$ \in $\mathbf$ {R $x\in \mathbf {R} ^{n}$ ^{n}의 반지름 1의 공이라고 합니다. Then the set of all such balls centered at $x\in S$ is clearly an open cover of $S$ , since $\cup _{x\in S}U_{x}$ contains all of $S$ . Since $S$ is compact, take a finite subcover of this cover. 이 부분 커버는 반지름 1의 공들의 유한 결합입니다. (반지름이 1인) 공들의 모든 중심 쌍들을 고려하고, $M$ {\ $displaystyle M}$ 을 $M$ 그들 사이의 거리 중 최대치라고 합니다. $C_{p}$ $C_{p}$ 및 $C_{q}$ $C_{q}$ 가 임의의 $p,q\in S$ $q$ ∈ S ${\displaystyle p$ ,q\in S}를 포함하는 단위 볼의 중심(각각)이면 삼각형 부등식은 다음과 같이 말합니다.

d(p,q)\leq d(p,C_{p})+d(C_{p},C_{q})+d(C_{q},q)\leq 1+M+1=M+2.

$따라서$ S ${\displaystyle$ S $}$ 의 직경은 $M+2$ + $M+2$ ${\displaystyle$ M $+2}$ 로 경계지어집니다 $S$ $M+2$

보조정리: 콤팩트 집합의 닫힌 부분 집합은 콤팩트합니다.

K를 R에서ⁿ 콤팩트 집합 T의 닫힌 부분집합이라고 하고, C를_K K의 열린 덮개라고 합니다. 그렇다면 U = R \ K는 열린 집합이고

C_{T}=C_{K}\컵 \{U\

T의 오픈 커버입니다. T는 콤팩트하므로, C는_T 더 작은 집합 K도 덮는 $C_{T}',$ 유한 부분 커버 $C_{T}',$ {\ $displaystyle C_{T}'$ 를 갖습니다. U는 K의 점을 포함하지 않으므로 집합 K는 $C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},$ C $C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},$ = $C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},$ ∖ $C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},$ {U $},$ {\ $displaystyle$ C_{K}' = C_{로 덮여 있습니다.원래_K 집합 C의 $유한$ 부분집합인 T}'\setminus $C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},$ $\{U\}.$ 따라서 K의 임의의 열린 덮개 C로부터_K 유한 부분 덮개를 추출할 수 있습니다.

집합이 닫혀 있고 유계이면 콤팩트합니다.

R의ⁿ 집합 S가 유계라면, n-박스 내에 포함될 수 있습니다.

T_{0}=[-a,a]^{n}

여기서 a > 0. 위의 보조정리로 T가₀ 콤팩트하다는 것을 보여주기에 충분합니다.

모순의 방법으로 T가₀ 콤팩트하지 않다고 가정합니다. 그러면 어떤₀ 유한 부분커버도 인정하지 않는 T의 무한히 열린 커버 C가 존재합니다. T의₀ 각 면을 이등분하여, 박스 T는₀ 2개의ⁿ 서브-박스들로 분해될 수 있고, 각각의 박스는 T의 직경의₀ 절반과 같은 직경을 갖습니다. 그렇다면₀ T의 두ⁿ 절 중 적어도 하나는 C의 무한 부분 덮개를 필요로 하며, 그렇지 않으면 C 자체는 부분의 유한 덮개를 결합하여 유한 부분 덮개를 가질 수 있습니다. 이 섹션을 T라고₁ 부릅니다.

마찬가지로₁, T의 변을 2등분하여 T의ⁿ₁ 2개의 단면을 생성할 수 있으며, 그 중 적어도 하나는 C의 무한 부분 덮개를 필요로 합니다. 같은 방식으로 계속하면 중첩된 n-박스의 순서가 줄어듭니다.

T_{0}\supset T_{1}\supset T_{2}\supset \ldots \supset T_{k}\supset \ldots

여기서 T의_k 변 길이는 (2a)/2이고^k, 0인 경우에는 무한대인 경우에는 0인 경우가 많습니다. 각 x가_k T_k 안에 있도록 수열 (x_k)를 정의하자. 이 수열은 코시(Cauchy)이므로 어떤 극한 L로 수렴해야 합니다. 각 T는 닫혀 있고, 각 k에 대하여 수열 (x)는 항상 T 내부에 있기 때문에, L은 각 k에 대하여 T ∈임을 알 수 있습니다.

C는 T를 덮으므로, L개의 ∈ U를 갖는 ∈ U를 갖는다. U가 열려 있으므로, n개의 공 B(L) ⊆ U가 존재합니다. 충분히 큰 k에 대하여, 하나는 T개의 ⊆ B(L) ⊆ U를 갖지만, 그러면 T를 덮는데 필요한 C의 무한한 수는 단지 하나의 모순인 U로 대체될 수 있습니다.

따라서₀ T는 콤팩트합니다. S는 닫혀 있고 콤팩트 집합 T의₀ 부분 집합이므로 S도 콤팩트합니다(위 보조정리 참조).

하이네-보렐 성질

하이네-보렐 정리는 일반적인 미터법과 위상 벡터 공간에 대해 명시된 대로 유지되지 않으며, 이는 이 명제가 사실인 공간의 특별한 클래스를 고려할 필요성을 야기합니다. 그들은 하이네-보렐 속성을 가진 공간이라고 불립니다.

계량 공간 이론에서

$메트릭$ 공간 ( $(X,d)$ $(X,d)$ ) ${\displaystyle$ ( $X,$ d $)}$ 은 X $X$ 의 각 닫힌^[3] 유계 집합이 $X$ 콤팩트한 경우 하이네-보렐 속성을 갖는다고 합니다 $(X,d)$ .

많은 메트릭 공간은 유리수의 메트릭 공간(또는 실제로 불완전한 메트릭 공간)과 같은 하이네-보렐 속성을 갖지 못합니다. 완전한 메트릭 공간은 속성을 갖지 못할 수도 있습니다. 예를 들어, 무한 차원 바나흐 공간은 하이네-보렐 속성(메트릭 공간)을 갖지 않습니다. 더욱 사소한 것이지만, 실제 라인이 일반적인 메트릭을 부여받지 못하면 하이네-보렐 속성을 갖지 못할 수도 있습니다.

메트릭 공간 $(X,d)$ $(X,d)$ ${\displaystyle(X,$ d $)}$ 에는 하이네-보렐 메트릭이 있습니다 $(X,d)$ . 하이네-보렐 메트릭은 완전하고 $,$ ${\displaystyle$ \sigma $\sigma$ } - $\sigma$ 하고, 로컬 ^[4]콤팩트한 경우에만 $d$ $d$ $\sigma$ {\ $displaystyle d}$ 와 코시 로컬에서 동일합니다.

위상벡터공간론에서

위상 벡터 $공간$ X $X$ 는 $X$ $X$ 의 각각의^[7] 닫힌 유계 집합이 $X$ 콤팩트하다면 하이네-보렐 속성^[5](R.E. Edwards는 유계 콤팩트 공간이라는^[6] 용어를 사용함)을 갖는다고 합니다 $X$ .^[8] 어떤 무한 차원 바나흐 공간도 하이네-보렐 성질(위상 벡터 공간)을 갖지 않습니다. 그러나 일부 무한 차원의 프레셰 공간은 예를 들어, the space $C^{\infty }(\Omega )$ of smooth functions on an open set $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ^[6] and the space $H(\Omega )$ of holomorphic functions on an open set $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ .^[6] 더 일반적으로, 모든 준완전 핵공간은 하이네-보렐 성질을 갖습니다. 모든 몬텔 공간에는 하이네-보렐 속성도 있습니다.

참고 항목

볼자노–바이어스트라스 정리

메모들

^ ^a ^b Raman-Sundström, Manya (August–September 2015). "A Pedagogical History of Compactness". American Mathematical Monthly. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID 119936587.
^ Sundström, Manya Raman (2010). "A pedagogical history of compactness". arXiv:1006.4131v1 [math.HO].
^ A set $B$ in a metric space $(X,d)$ is said to be bounded if it is contained in a ball of a finite radius, i.e. there exists $a\in X$ and $r>0$ such that ${\displaystyle B\subseteq \{x\in X:\ d(x,$ $a)\leqr$
^ 윌리엄슨 & 야노스 1987.
^ 키릴로프 & 기시아니 1982, 정리 28.
^ ^a ^b ^c 에드워즈 1965, 8.4.7
^ A set $B$ in a topological vector space $X$ is said to be bounded if for each neighborhood of zero $U$ in $X$ there exists a scalar $\lambda$ such that $B\subseteq \lambda \cdot U$ .
^ 위상 벡터 공간 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 의 토폴로지가 어떤 $메트릭$ d $d$ 에 의해 생성되는 $X$ 경우, 이 $d$ 정의는 메트릭 공간으로서 $X$ $X$ $X$ 의 하이네-보렐 속성의 정의와 동일하지 않습니다. $메트릭$ 공간으로서의 X {\ $displaystyle$ X}의 $X$ 유계 집합의 개념은 $위상$ 벡터 $공간$ 으로서의 X ${\displaystyle$ X}의 유계 집합의 개념과 다르기 때문입니다. For instance, the space ${\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]$ of smooth functions on the interval $[0,1]$ with the metric $d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot {\frac {\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}{1+\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}}$ $displaystyle$ $1]} x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)}}}($ $x^{(k)}$ 서 x $x^{(k)}$ ${\displaystyle$ x $^{(k)}}$ 는 $x\in {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]$ $k$ $∈$ $x\in {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]$ $∞$ 의 k ${\$ $displaystyle$ k $}$ 번째 $도함수$ 입니다 [ $0,$ 1] {\displaystyle $x\$ in {\mathcal ${C$ infty}[0,1])는 위상 벡터 공간으로서 하이네-보렐 속성을 갖지만 메트릭 공간으로서는 아닙니다.

참고문헌

P. Dugac (1989). "Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet–Heine–Weierstrass–Borel–Schoenflies–Lebesgue". Arch. Int. Hist. Sci. 39: 69–110.
Book Of Proof: 하이네보렐 재산
Jeffreys, H.; Jeffreys, B.S. (1988). Methods of Mathematical Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521097239.
Williamson, R.; Janos, L. (1987). "Construction metrics with the Heine-Borel property". Proc. AMS. 100 (3): 567–573. doi:10.1090/S0002-9939-1987-0891165-X.
Kirillov, A.A.; Gvishiani, A.D. (1982). Theorems and Problems in Functional Analysis. Springer-Verlag New York. ISBN 978-1-4613-8155-6.
Edwards, R.E. (1965). Functional analysis. Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0030505356.

외부 링크

Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004). The Heine–Borel Theorem. Hannover: Leibniz Universität. Archived from the original (avi • mp4 • mov • swf • streamed video) on 2011-07-19.
"Borel-Lebesgue covering theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
수학계 "하인-보렐 정리"
"하이네-보렐 정리의 첫 번째 증명 분석 - 르베슈의 증명"

[Sundström-1] Raman-Sundström, Manya (August–September 2015). "A Pedagogical History of Compactness". American Mathematical Monthly. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID 119936587.

[sundstrom_2010-2] Sundström, Manya Raman (2010). "A pedagogical history of compactness". arXiv:1006.4131v1 [math.HO].

[3] A set $B$ in a metric space $(X,d)$ is said to be bounded if it is contained in a ball of a finite radius, i.e. there exists $a\in X$ and $r>0$ such that ${\displaystyle B\subseteq \{x\in X:\ d(x,$ $a)\leqr$

[FOOTNOTEWilliamsonJanos1987-4] 윌리엄슨 & 야노스 1987.

[FOOTNOTEKirillovGvishiani1982Theorem_28-5] 키릴로프 & 기시아니 1982, 정리 28.

[FOOTNOTEEdwards19658.4.7-6] 에드워즈 1965, 8.4.7

[7] A set $B$ in a topological vector space $X$ is said to be bounded if for each neighborhood of zero $U$ in $X$ there exists a scalar $\lambda$ such that $B\subseteq \lambda \cdot U$ .

[8] 위상 벡터 공간 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 의 토폴로지가 어떤 $메트릭$ d $d$ 에 의해 생성되는 $X$ 경우, 이 $d$ 정의는 메트릭 공간으로서 $X$ $X$ $X$ 의 하이네-보렐 속성의 정의와 동일하지 않습니다. $메트릭$ 공간으로서의 X {\ $displaystyle$ X}의 $X$ 유계 집합의 개념은 $위상$ 벡터 $공간$ 으로서의 X ${\displaystyle$ X}의 유계 집합의 개념과 다르기 때문입니다. For instance, the space ${\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]$ of smooth functions on the interval $[0,1]$ with the metric $d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot {\frac {\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}{1+\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}}$ $displaystyle$ $1]} x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)}}}($ $x^{(k)}$ 서 x $x^{(k)}$ ${\displaystyle$ x $^{(k)}}$ 는 $x\in {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]$ $k$ $∈$ $x\in {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]$ $∞$ 의 k ${\$ $displaystyle$ k $}$ 번째 $도함수$ 입니다 [ $0,$ 1] {\displaystyle $x\$ in {\mathcal ${C$ infty}[0,1])는 위상 벡터 공간으로서 하이네-보렐 속성을 갖지만 메트릭 공간으로서는 아닙니다.

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