경로(토폴로지)

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수학에서 위상학 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 경로는 닫힌 단위 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]$에서 X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$까지의 연속 함수다.

경로는 위상과 수학 분석 분야에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 어떤 두 지점을 연결하는 경로가 존재하는 위상학적 공간은 경로 연결이라고 한다. 모든 공간은 경로로 연결된 구성요소로 분할될 수 있다. 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 경로 연결 구성 요소 집합은 흔히 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$ )${\displaystyle }$.$${\$displaystyle \pi$ _${0}(X$)로 표시된다$.$$}$

호모토피 이론에서 중요한, 뾰족한 공간에서의 경로와 루프를 정의할 수도 있다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $기준점{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle x_{0}}$이(가) 있는 위상학적 공간인 경우 $X$ ${\$$displaystyle x_$${$$0}$의 경로는 초기 $포인트$가 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0인 경로인$$ 경로$.$ 마찬가지로 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ $X}$의 루프는 x$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\{$에 기반한 루프가 된다.

정의

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 곡선은 ${\displaystyle \mathrm{연속<img\; alt="X"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.98ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="102">}}$ 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle J}$→ X ${\displaystyle f:$J\to X}고non-degenerate 사각형 간격 J⊆ R.{\displaystyle J\subseteq \mathbb{R}.}X{X\displaystyle}의 길은 곡선 f:[a, b]→ X{\displaystyle f:[a,b]\to X}의 도메인[a, b]{\displaystyle[a,b]}은 소형non-degenerate 간격(<>;b{\displaystyle a&.그것은, b} $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(a)}$을(를) 경로의 초기 지점이라고 하고 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle (b}$) ${\displaystyle$ f$(b)}$을(를) 터미널 지점이라고 한다. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 y ${\displaystyle y}$까지의 경로는 초기$$ $지점$이 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$이고 터미널 지점이 y${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle$ y$.}$모든$$ 비-degenerate 콤팩트${\displaystyle \mathrm{간격}}$ [$a,b$${\displaystyle ]}$은 [$0,$ {\$displaysty]$에 대한 동형이며, 즉$$ p이다.Ath 가끔, 호모토피 이론, 연속 함수 f정의된:밀폐된 단위 간격에서[0,1]→ X{\displaystyle f:[0,1]\to X}나는:)[0,1]{\displaystyle 나는:=[0,1]}X에 특히. X{X\displaystyle}에서 i.{X\displaystyle}아크를 발생 또는 C0-arc X에서{X\displaystyle}은 길은s 또한 위상학적 내장.

중요한 것은, 경로가 곡선처럼 보이는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합일 뿐 아니라, 매개 변수화도 포함하고 있다는 점이다. 예를 들어 ${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $f{\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle f(x)=x}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{g<img\; alt="f(x)=x"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f690285952308aa49e3c6aac892df31cad6d1b06"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.846ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="141">}(}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$는 실제 선상에서 0부터 1까지의 서로 다른 두 경로를 나타낸다$$.

A loop in a space ${\displaystyle X}$ based at ${\displaystyle x\in X}$ is a path from ${\displaystyle x}$ to ${\displaystyle x.}$ A loop may be equally well regarded as a map ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ with ${\displaystyle f(0)=f(1)}$ or as a continuous map f단위 원 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$를 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 롬으로 처리하십시오.

${\displaystyle f:S^{1}\to X.}$

$이$는 0 ${\displaystyle 0}$을(를) 1. ${\$$displaystyle$ $1$$.}$과($와)$ 동일시할$$때 S 1 {\$displaystyle$ S$^{1}$은 $I{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[$0$$,$$1]$의 몫공간이기 때문이다${\displaystyle .}$

경로의 호모토피

경로와 루프는 호모토피 이론이라고 불리는 대수적 위상학의 분과에서 연구의 중심 과목이다. 경로의 호모토피는 그 끝점을 고정시키면서 경로를 계속 변형시키는 정확한 개념을 만든다.

구체적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 경로 또는 경로 호모토피는 경로 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$:${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{t}:[0,1]\to$ X${\displaystyle \}}$에 의해 색인화된$$ 경로 f :${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ $],$ {\$displaystystyle$ I$=[0,1]}$이다.

• ${\displaystyle {}_{}}$$f$${\displaystyle {}_{}{t}_{}}$ (${\displaystyle 0}$) = x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {}_{}\mathrm{f}}$( ${\displaystyle {}_{}}$) = ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1 {\$displaystyle f_{t}(1$)=$x_{1}}}$는 고정되어$$ 있다.
• $지도{\displaystyle }$ $F{\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \times }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→ X ${\displaystyle F:[$${\displaystyle 0}$$,1]\times [0,$${\displaystyle 1}$$]\$times [${\displaystyle 0_{}}$,1]\$to X}$에서 F (${\displaystyle }$) = ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$s${\displaystyle }$) ${\$ F$($s$,t)=f_{t}s}}$는 연속적이다$$.

호모토피에 의해 연결된$$ f ${\$과 f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}의 경로는 동음극(또는 더 정밀하게 경로-동음극 f_{$1})$이라고 하여 고정공간 사이의 모든 연속함수에 정의된 관계를 구별한다. 마찬가지로 기준점을 고정시키는 루프의 호모토피를 정의할 수 있다.

동일시적 관계란 위상학적 공간의 경로에 대한 동등성 관계다. 이러한 관계에 따른$$ 경로 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 동등성 클래스를 $f{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f,}$의 호모토피 클래스라고 하며$,{\displaystyle }$ 흔히$$ [${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle [f]$로 나타낸다.$}$

경로구성

위상학적 공간에서 다음과 같은 방법으로 경로를 구성할 수 있다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 y ${\displaystyle y}$까지의 경로이고 g ${\displaystyle g}$이(가) $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$에서 $z{\displaystyle }$ ${\displaystystyle z}$까지의 경로라고 가정합시다$.$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$ 경로는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 먼저 통과한 다음$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을(를) 통과하여 얻은 경로로 정의된다$.$

${\displaystyle fg={\req}f(2s)&#0\leq s\leq s\\leq {1}{1}{2}}\g(2s-1)&{\frac {1}{1}{1}\1}\leq s.\case{case}}}$

분명한 경로 구성은 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 터미널 지점이 $g{\displaystyle .}$ ${\displaystyle g.}$의 초기 지점과 일치할$$ 때만 정의된다. x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{0}$에 기초한 모든 루프를 고려한다면$$ 경로 구성은$$ 이진 연산이다.

경로 구성은 정의될 때마다 파라메트리지션의 차이로 인해 연관되지 않는다. 그러나 그것은 경로상호피에 연관되어 있다. 즉$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$[ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$)${\displaystyle ]}$ . ${\displaystyle [(fg)h]=[f(gh)]$이다.$}}$ 경로$$ 구성은 $X$의${\displaystyle }$점$$x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle$ $x_{0}$에 기초한 루프 호모토피 클래스 집합에 대한 그룹 구조를 정의한다$.$ 결과$$ 그룹은 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$0 , {\displaystyle $x_{$${\displaystyle 0_{}}$$}$에 $근거$한 X {\$displaystystyle$ X$}$의 기본 그룹이라고 한다${\displaystyle .}$${\displaystyle \pi _{1}\왼쪽(X,x_{0}\오른쪽).$$}$

경로 구성의 "코 위의" 연관성을 요구하는 상황에서, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 경로는 대신 $실제{\displaystyle 0}$ 0에 대한$$ $[{\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,a]$에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$까지의 구간에서 연속 맵으로 정의될 수$$ 있다${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\$$displaystystyle$ $a\geq$ $0$$.}$$A$$.$ $길이{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ $displaystyle$ $a.}$로 정의된 길이 f ${\displaystyle$ a.} 경로$$ 구성은 다음과 같이 수정하여 이전과 같이 정의된다.

${\displaystyle fg={\case}f&0\leq s\leq s\leq f \\g(s- f )&f \leq s\leq f + g \end{case}}}}}$

이전 정의인 $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle f,}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$및 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle fg}$이(가) 모두 $길이{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1}($지도의 도메인 길이)을 갖는 반면, 이 ${\displaystyle 정의}$는 f =${\displaystyle f}$ +${\displaystyle g,}$ ${\displaystystyth fg$= f$.}$에 대해 연관성을 실패한 결과를 만든다. 이전의 정의는${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$) h ${\displaystyle (fg)h}$과${\displaystyle (g}$ ${\displaystyle h)}$ ${\$$displaystyle f$$(gh)}$의 길이가$$ 동일하지만, ($f{\displaystyle }$${\displaystyle g}$) ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (fg)h}$의 중간점이$$ $g{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ $g}$과$$h$}$ 사이에 발생했다는$$$$ ${\displaystyle 것}$이다${\displaystyle .}$${\displaystyle h}$) ${\displaystyle f}$과 g ${\displaystyle g}$ 사이에 {\displaystyle f$(gh)}$이(가) 발생함$.$ 이 수정된 정의$({\displaystyle f}$ )${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ ) h ${\displaystyle$$f$${\displaystyle g)}$$h$}과$($$g$${\displaystyle }$${\displaystystystyle$ f$($$g)$는 길이가 같으며$$$, 같은$ 중간점, f(f) f(f) f${\displaystyle )}$ f) f(f)는 f)이다.ound${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$+ ${\displaystyle g}$+ ${\displaystyle h}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \left($$fg)h}$ 및$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle (g}$ ) $\{\backslash {\displaystyle }$$displaystyle f(gh)}$의 ound (f + $g$+ h$\righ)/2$$\};$ 보다 일반적으로 그들은 전체적으로 동일한 파라메트리조션을 가진다.

기본 그룹형

때로는 유용한 경로에 대한 범주형 그림이 있다. 위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은 객체가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 점이고$$ 형태론은 경로의 호모토피 클래스인 범주를 발생시킨다$$. 이 범주의 어떤 형태론도 이형이기 때문에 이 범주는 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$ 이 범주의 루프는 내형성(사실상 자동성)이다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 점 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$$displaystyle x_{0}$의 자동형 그룹은 x$$에 근거한 기본 그룹일$$ 뿐이다$.$ 보다 일반적으로 $경로{\displaystyle }$ 결합 클래스를 사용하여$$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$의 모든 부분 $집합{\displaystyle }$ A$${\$displaystystyle$ A$}$에 대한 기본 그룹 형상을 정의할 수 있다.$A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle A.}$의 inging points of A. {\displaystyle A.} 이것은 밴 캄펜의 정리에는 편리하다.

참고 항목

• 곡선 § 위상
• 로컬 경로 연결 공간
• 경로 공간(동음이의)
• 경로연결공간

참조

• 로널드 브라운, 토폴로지 및 그룹오이드, Booksurge PLC, (2006).
• J. Peter May, 시카고 프레스 대학의 대수학 위상에서의 간결한 과정 (1999년).
• 위상 2번지 프렌티스 홀(2000년)의 제임스 뮌크레스.