정규공간
Regular space| 분리 공리 위상학적으로 | |
|---|---|
| 콜모고로프 분류 | |
| T0 | (콜모고로프) |
| T1 | (프레셰트) |
| T2 | (하우스도르프) |
| T2½ | (우리존) |
| 완전2 T | (완전히 하우스도르프) |
| T3 | (정규 하우스도르프) |
| T3½ | (Tychonoff) |
| T4 | (정상적인 하우스도르프) |
| T5 | (일반적인) 하우스도르프) |
| T6 | (일반적인) 하우스도르프) |
수학의 위상 및 관련 분야에서는 X의 모든 닫힌 부분집합 C와 C에 포함되지 않은 점 p가 겹치지 않는 열린 이웃을 인정하는 경우 위상학적 공간 X를 정규 공간이라고 부른다.[1]따라서 P와 C는 이웃에 의해 분리될 수 있다.이 조건은 Axiom T라고3 알려져 있다."T3 스페이스"라는 용어는 보통 "정규적인 하우스도르프 스페이스"를 의미한다.이 조건들은 분리 공리의 예들이다.
정의들
위상학적 공간 X는 닫힌 집합 F와 F에 속하지 않는 점 x가 주어진 경우 x의 인접 U와 F의 인접 V가 분리된 경우 정규 공간이다.간결하게 말하면, x와 F를 분리하는 것이 가능해야 한다.
T3 공간이나 일반 하우스도르프 공간은 정규 공간인 동시에 하우스도르프 공간인 위상적 공간이다.(하우스도르프 공간이나 T2 공간은 어떤 두 개의 뚜렷한 지점이 이웃에 의해 분리되는 위상적 공간이다.)공간은 정규점일0 경우에만 T인3 것으로 밝혀진다(A0 T 또는 Kolmogorov 공간은 두 개의 구별되는 점이 위상적으로 구별되는 위상학적 공간이다, 즉 구별되는 지점의 모든 쌍에 대해 적어도 하나는 다른 점을 포함하지 않은 열린 근린(근린)을 가지고 있다).실제로 어떤 공간이 하우스도르프라면 그것은 T이고0, 각각의 T 정규0 공간은 하우스도르프: 두 개의 뚜렷한 점을 감안할 때, 그들 중 적어도 하나는 다른 한 곳의 폐쇄를 놓치기 때문에 (정규에 의해) 한 지점과 다른 한 지점(정규에 의해) 분리되어 있는 분열된 이웃들이 존재한다.
여기에 제시된 '정규어'와3 'T'에 대한 정의가 흔치 않은 것은 아니지만 문헌에는 상당한 차이가 있는데, 일부 저자는 여기서 사용되는 '정규어'와3 'T'의 정의를 그대로 바꾸거나, 두 용어를 서로 바꾸어 사용하는 경우도 있다.이 글에서 우리는 '정규'라는 용어를 자유롭게 쓰겠지만, 우리는 보통 덜 정밀한3 'T' 대신에 모호하지 않은 '정규적인 하우스도르프'라고 말할 것이다.이 문제에 대한 자세한 내용은 분리 공리의 기록을 참조하십시오.
지역적으로 규칙적인 공간은 모든 지점이 규칙적인 개방된 이웃을 갖는 위상학적 공간이다.모든 일정한 공간은 지역적으로 규칙적이지만, 그 역은 사실이 아니다.규칙적이지 않은 지역 정규 공간의 고전적인 예는 벌레눈 선이다.
다른 분리 공리에 대한 관계
정규 공간은 또한 반드시 사전 규칙적이다. 즉, 위상학적으로 구별할 수 있는 두 지점은 이웃에 의해 분리될 수 있다.하우스도르프 공간은 사전 정규 T 공간과0 같기 때문에, 역시 T인0 정규 공간은 하우스도르프(따라서 T)여야3 한다.사실 규칙적인 하우스도르프 공간은 조금 더 강한 조건 T를2½ 만족시킨다.(그러나 그런 공간이 완전히 하우스도르프일 필요는 없다.)따라서 T의3 정의는 T2(하우스도프니스) 대신 T0, T1, T 또는 T를2½ 인용할 수 있다. 모두 정규 공간의 맥락에서 동일하다.
좀 더 이론적으로 말하면 규칙성과 T-네스의3 조건은 콜모고로프 인용구에 의해 연관되어 있다.공간은 콜모고로프 지수가 T인3 경우에만 규칙적이고, 언급한 바와 같이 공간은 정규와 T인0 경우에만 T이다3.따라서 실제에서 마주치는 정규 공간은 콜모고로프 지수로 공간을 대체함으로써 대개 T로3 가정할 수 있다.
정규 공간과 하우스도르프 공간 모두를 지탱하는 위상학적 공간에는 많은 결과가 있다.대부분의 경우, 이러한 결과는 모든 사전 정규 공간에 대해 적용된다. 사전 정규 공간에 대한 아이디어는 나중에 나왔기 때문에 정규 공간과 하우스도르프 공간에 별도로 등재되었다.반면에, 진정으로 규칙성에 관한 그러한 결과는 일반적으로 비정규적인 하우스도르프 공간에도 적용되지 않는다.
사전 정규성과 같은 일부 약한 분리 공리가 충족될 경우 위상적 공간의 또 다른 조건(정규성, 유사성, 파라콤팩트성 또는 국소적 압축성)이 정규성을 암시하는 상황이 많다.그러한 조건들은 종종 정규 버전과 하우스도르프 버전 두 가지 버전으로 나온다.비록 하우스도르프 공간은 일반적으로 정규 공간은 아니지만, 하우스도르프 공간은 어떤 하우스도르프 공간도 사전 정규 공간이기 때문에 (말하자면) 국소적으로 압축된 하우스도르프 공간도 정규 공간이 될 것이다.따라서 어떤 관점에서 보면, 규칙성은 사실 여기서 문제가 되지 않으며, 우리는 같은 결과를 얻기 위해 오히려 더 약한 조건을 부과할 수 있다.그러나 이 조건은 어떤 약한 조건보다 더 잘 알려져 있기 때문에, 정의는 보통 규칙성의 관점에서 여전히 표현된다.
수학적 분석에서 연구된 대부분의 위상학적 공간은 규칙적이다; 사실 그것들은 보통 완전히 규칙적이기 때문에 더 강한 조건이다.정규 공간도 정규 공간과 대비해야 한다.
예제 및 비표본
작은 귀납적 차원에 관한 0차원 공간은 클로닝 세트로 구성된 베이스를 가지고 있다.그런 공간은 모두 규칙적이다.
위에서 설명한 것처럼 어떤 완전히 규칙적인 공간도 규칙적이며, 하우스도르프가 아닌 T0 공간도 규칙적일 수 없다(따라서 사전 규칙적이지 않다).수학에서 연구하는 정규공간과 비정규공간의 대부분의 예는 그 두 글에서 찾을 수 있을 것이다.반면에 정규적이지만 완전히 정규적이지 않은 공간, 또는 사전 정규 공간은 대개 추측에 대한 백범례를 제공하기 위해 구성되며, 가능한 이론의 경계를 보여준다.물론 T가0 아닌 정규 공간을 쉽게 찾을 수 있고, 따라서 오우스도르프가 아닌, 즉 불분명한 공간도 찾을 수 있지만, 이러한 예는 정규성보다는 T0 공리에 대한 통찰력을 더 많이 제공한다.완전히 규칙적이지 않은 규칙적인 공간의 한 예가 타이코노프 코르크 스크류다.
규칙적인 수학에서 가장 흥미로운 공간은 또한 더 강한 조건을 만족시킨다.따라서 정규 공간은 일반적으로 분석에서 완전히 정규 공간에 실제로 적용되는 특성 및 정리 등을 찾기 위해 연구된다.
규칙적이지 않은 하우스도르프 공간이 존재한다.예로는 U — C 형식의 집합에 의해 생성된 위상이 있는 집합 R을 들 수 있다. 여기서 U는 통상적인 의미에서 열린 집합이고 C는 모든 계산 가능한 U의 하위 집합이다.
기본 속성
X가 정규 공간이라고 가정해 보자.그런 다음, x의 어떤 지점 x와 인접성 G를 주어, G의 하위 집합인 x의 닫힌 인접성 E가 있다.좀 더 쉽게 말해서, x의 폐쇄된 이웃들은 x의 지역적 기반을 형성한다. 사실, 이 특성은 규칙적인 공간을 특징짓는다; 위상학적 공간에 있는 각 점의 폐쇄된 이웃들이 그 지점에서 지역적 기반을 형성한다면, 그 공간은 규칙적이어야 한다.
이 폐쇄된 이웃들의 내부를 살펴보면, 우리는 규칙적인 오픈 세트가 규칙적인 공간 X의 오픈 세트의 기반을 형성하는 것을 볼 수 있다.이 특성은 사실 규칙성보다 약하다; 규칙적으로 열린 세트가 기초를 이루는 위상학적 공간은 반정형이다.
참조
- ^ Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
