공완도

수학에서 집합 $X$ $X$ 의 공동 마무리 부분 집합은 부분 $X$ $A$ 집합 $A$ ${\$ $displaystyle$ $A$ $}$ 이며, X {\ $displaystyle$ X $}$ 의 보완은 유한 집합이다 $X$ .즉, $A$ $A$ 은(는 $)$ X . {\ $displaystyle$ X $.}$ 의 모든 요소를 포함하지만 $A$ 보수가 유한하지 않지만 카운트할 수 있는 경우 $X.$ 세트가 코코운트 가능하다고 말한다.

이는 유한 집합의 구조를 무한 집합으로 일반화할 때 자연적으로 발생하며, 특히 제품 위상이나 직접 합에서와 같이 무한 생산물의 경우 더욱 그러하다.

이러한 접두사 "co"를 사용하여 집합의 보완자가 소유한 특성을 설명하는 것은 "comeagre set"와 같은 다른 용어로 사용하는 것과 일치한다.

부울 알헤브라스

유한하거나 공동 마무리된 $X$ $X$ 의 모든 하위 집합 집합 집합은 부울 대수(Boolean 대수)를 형성하며, 이는 결합, 교차로 및 보완의 작동에 따라 닫힌다는 것을 의미한다.이 부울 논리 연산 대수는 .mw-parser-output .vanchor&gt은 X에서 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}finite–cofinite 대수이다.{X\displaystyle}는 부울 algebra{A\displaystyle}은 독특한non-principal ultrafilter(그것은, 극대 필터를 대수의 단일 요소에 의해 생성하지 않은)는 경우와 경우에만 exis.T라는 무한 집합 X는 A{\displayst 그런{X\displaystyle}. $yle A}$ 은(는) $X .$ $X.$ 의 유한-코피나이트 대수에 이형성이 있다 $A$ . 이 $X.$ 경우 비주요 울트라필터는 모든 코피나이트 집합의 집합이다.

코피나이트 위상

코피나이트 위상(한정 보완 위상이라고도 함)은 모든 세트 X에 $대해$ 정의될 수 있는 위상이다 $.$ {\ $displaystyle X}$ 의 $X.$ 빈 세트와 $모든$ 코피나이트 하위 세트를 오픈 세트로 $X$ 정확하게 가지고 있다.그 결과, 코피나이트 위상에서는 닫힌 하위 집합만 유한 집합이거나, $X$ .{\ $displaystyle X$ }의 전체로서 상징적으로 $X.$ 토폴로지를 다음과 같이 쓴다.

{\mathcal{T}=\{A\subseteq X:A=\varnothing{\mbox{} 또는 }X\setminus A{\mbox{는 유한함}\}.

이 위상은 자리스키 위상의 맥락에서 자연적으로 발생한다.필드 $K$ $K$ 에 대한 한 변수의 다항식이 유한 집합에서 0이거나 $K$ , $또는$ K , ${\displaystyle K$ 의 전체인 경우 0이므로 $,$ $K$ ${\displaystyle K}($ 부착선으로 간주됨) $K$ 의 Zariski 위상은 공동 $K,$ 마감 위상이다.어떤 수정 불가능한 대수 곡선에서도 마찬가지다. 예를 들어 평면의 $XY=1$ $XY=1$ $XY=1$ = 1 $XY=1$ 에 대해서는 사실이 아니다.

특성.

하위 스페이스:코피나이트 위상의 모든 아공간 위상 또한 코피나이트 위상이다.
콤팩트함:모든 오픈 세트에는 $X$ , ${\displaystyle X$ 를 제외한 모든 포인트가 포함되어 있으므로 $,$ 공간 $X,$ $X$ $X$ 은 $X$ (는) 콤팩트하고 순차적으로 컴팩트하다.
분리:코피나이트 위상은 T₁ 공리를 만족하는 가장 강력한 위상이다. 즉, 모든 싱글톤 세트가 닫히는 가장 작은 위상이다.실제로 $X$ $X$ 의 임의 토폴로지는 코피나이트 토폴로지를 포함하는 경우에만 T₁ 공리를 만족한다 $X$ . $X$ $X$ 이 $X$ (가) 유한하면 코피나이트 위상은 단순히 이산 위상일 뿐이다. $X$ $X$ 이 $X$ (가) 유한하지 않은 경우 이 위상은 Hausdorff(T₂)가 아니며, 비어 있지 않은 두 개의 오픈 세트가 분리되지 않기 때문에 정규 또는 정상이다(즉, 초연결).

이중점 코핀라이트 위상

더블 포인트 코핀라이트 위상은 모든 포인트가 두 배로 늘어난 코핀라이트 위상이다. 즉, 2요소 집합에 비구체 위상이 있는 코핀라이트 위상의 위상학적 산물이다.더블트의 점들은 위상학적으로 구분할 수 없기 때문에 T나₀₁ T가 아니다.그러나 위상적으로 구별할 수 있는 점은 분리가 가능하기 때문에 R이다₀.

계산 가능한 이중 점 코핀라이트 위상의 예로는 짝수 정수와 홀수 정수의 집합이 있는데, 이 정수를 함께 그룹화하는 위상이 있다.Let $X$ be the set of integers, and let $O_{A}$ be a subset of the integers whose complement is the set $A.$ Define a subbase of open sets $G_{x}$ for any integer $x$ to be ${\display$ $스타일$ $G_{x}=O_{x,x+1}$ x $x$ 이 $G_{x}=O_{x,x+1}$ $x$ (가) 짝수인 $G_{x}=O_{x-1,x}$ G x = $G_{x}=O_{x-1,x}$ - $G_{x}=O_{x-1,x}$ , $G_{x}=O_{x-1,x}$ x {\ $displaystyle G_{x}=$ $O_$ ${$ x-1, $x$ $}$ x가 $x$ $G_{x}=O_{x-1,x}$ 인 $G_{x}=O_{x-1,x}$ 경우 G_ $G_{x}=O_{x-1,x}$ $x-1$ ,x $}$ $그런$ 다음 X{\ $displaystyle$ X $}$ 의 기본 세트는 유한 교차점에 의해 생성되며 $X$ , 즉 유한 $A$ , $A$ 토폴로지의 $A,$ 열린 세트는

U_{A}=\빅캡 _{x\in A}G_{x}}

점 $x$ {\ $displaystyle x}$ $x+1$ x + $($ $x$ {\ $displaystyle$ x} 짝수 $x$ $)$ 을 $x$ 위상학적으로 구분할 수 없기 때문에 결과 공간은 T₀(T₁)가 아니다.그러나 각각의 $U_{A}$ ${\$ 는 거의 모든 포인트를 포함하고 $U_{A}$ 있기 때문에 공간은 콤팩트한 공간이다.

기타 예

제품 위상

The product topology on a product of topological spaces $\prod X_{i}$ has basis $\prod U_{i}$ where $U_{i}\subseteq X_{i}$ is open, and cofinitely many ${\displaystyle U_{i}=X_{i}.$ $}$

아날로그(정확히 많은 것이 전체 공간이라는 것을 요구하지 않음)는 박스 위상이다.

직합

모듈 직접 합 $\bigoplus M_{i}$ $\bigoplus M_{i}$ $\bigoplus M_{i}$ ${\$ 의 요소는 시퀀스 $\alpha _{i}\in M_{i}$ i $\alpha _{i}\in M_{i}$ $\alpha _{i}\in M_{i}$ $\alpha _{i}\in M_{i}$ ${\$ 이며 $\bigoplus M_{i}$ , 여기서 $\alpha _{i}\in M_{i}$ $\alpha _{i}=0.$ $\alpha _{i}=0.$ = $\alpha _{i}=0.$ ${\displaystyle$ \ \ $alpha _{i}=0.$ $}$

아날로그(정확히 많은 것이 0이라는 것을 요구하지 않음)가 직접 생산물이다.

참고 항목

코메그레 세트
프레셰트 필터
토폴로지 목록 - 콘크리트 토폴로지 및 토폴로지 공간 목록

참조

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (예 18 참조)

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