한계점

수학에서 위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있는 $세트{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle S}$의 한계점(또는 클러스터 점 또는 축적점)은$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 모든 인접성이라는 점에서$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 점으로 "대략적으로"될 수 있는$$ 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystytype$ x {\down"이다.$또한$ X$${\$displaystyle X$}의 위상에는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 자체$$ 이외의$$ S ${\displaystyle S}$의 점이 $포함$되어 있다.세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 한계점 자체는 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S}$의 요소가 될 필요는 없다$$. 또한$$ 시퀀스에 밀접하게 관련된 개념도 있다.위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X}$에서 시퀀스$({\displaystyle {xn}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\{}_{}}$ N ${\$의 클러스터 점 또는 축적 지점은$$$x$의 모든$$ $인접{\displaystyle }$ $지역$ V {\$displaystystyle V}$에 대해$$ 무한히 많은 자연스러움이 있다$$.${\displaystyle n_{}}$ 번호 $n{\displaystyle }$ $displaystyle$ V$.}$과 같은 숫자 n {\displaystyle $n}$ 시퀀스의 클러스터 또는 축적 지점에 대한 이 정의는$$ 그물 및 필터에 일반화된다.시퀀스, 그물, 또는 필터를 위한 집합에 대조적으로, 용어"극한점"는"cluster/accumulation 지점", 정의에 따르면, filter[1](한 sequence,[2]의 각각, 극한점 망의 극한점)의 극한점의 유사하게 명명된 개념은 점은 필터(각각, 시퀀스에 전진을 의미한다 동의어가 아닙니다.사기진지를 로 하면, 그물이 (으)로 수렴한다.null

집합의 한계점은){\displaystyle)}의모든 인접 영역에 S{S\displaystyle}의 점이 포함된 일관성 있는 점과 혼동해서는 안 된다.한계점과 S{S\displaystyle}의 이 점은){\displaystyle)}그자체일 수 있다 달리.한계점은 고립된 지점이 아닌 일관성 있는 지점으로 특징지어질 수 있다.null

집합의 한계점도 경계점과 혼동해서는 안 된다.예를 들어, $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0$$}$은(는) R ${\$ \{$0\}$에서 표준 토폴로지로 설정된${\displaystyle }${${\displaystyle 0\}}${\$displaystyle$ $\mathb {R}$의 경계점(제한점은 아님)이다$$.${\displaystyle \mathrm{그러나}}$ 0.5${\displaystyle$0$.5}$은(는) $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 표준 토폴로지를 가진$$${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]}$의 구간 제한점(경계점은 아님)이다$$(제한점의 사소한 예는 첫 번째 캡션 참조).^[3][4][5]null

이 개념은 한계의 개념을 영리하게 일반화하며 닫힌 집합과 위상학적 폐쇄와 같은 개념의 기초가 된다.실제로 한 세트는 한계점을 모두 포함하는 경우에만 폐쇄되며, 위상학적 폐쇄작전은 한 세트를 한계점과 단결시켜 한 세트를 풍요롭게 하는 작업으로 생각할 수 있다.null

정의

집합의 누적점

는 위상 공간 X의 S{S\displaystyle}부분 집합이라야.{X\displaystyle}X{X\displaystyle}의 포인트={\displaystyle)}은 한계 지점 또는 클러스터 지점 또는.mw-parser-output .vanchor>.:집합 S{S\displaystyle}모든 nei의 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}accumulation 지점자.Ghbourhood x{\displaystyle)}의 최소 한점을 포함하고 있다.${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 자체와$$ 다르다$$.null

우리가 단지 이웃을 열도록 조건을 제한한다면 그것은 차이를 만들지 않는다.정의의 "개방형 인접성" 형식을 사용하여 점이 한계점임을 보여주고 정의의 "일반 인접성" 형식을 사용하여 알려진 한계점에서 사실을 도출하는 것이 종종 편리하다.null

만약 X{X\displaystyle}는 T1{\displaystyle T_{1}}우주(미터 법 공간과 같이), S{S\displaystyle}읜 다음∈ X{\displaystyle Xx\in}은 극한점 만일 x{\displaystyle)}의 모든 이웃 S의 무한히 많은 포인트가 포함되어 있습니다. 사실, T1{S.\displaystyle}[6].${\displaystyle T_{1}$공간은$$ 이 속성이 특징이다.null

If ${\displaystyle X}$ is a Fréchet–Urysohn space (which all metric spaces and first-countable spaces are), then ${\displaystyle x\in X}$ is a limit point of ${\displaystyle S}$ if and only if there is a sequence of points in ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ whose limit is ${\displaystyle x.}$사실 프리셰-우린 공간은 이런 특성이 있다.null

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 한계점 집합을 $S{\displaystyle }$. ${\displaystyle S}$의 파생된 집합이라고 한다$$.

누적 포인트의 종류

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$의 모든 인접 영역에 $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ S$,}$의 점이 무한히 많은$$ 경우, $x$ ${\displaystyle$ x$}$는 $S{\displaystyle }$.${\displaystyle S}$의 Ω-accumulation point라고 하는 특정 유형의 한계점이다$$.

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$의 모든 인접 영역에 $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ S$,}$의 수가 셀 수 없을 정도로 많은 점이 포함되어$$ 있는 경우$$, $x{\displaystyle }${\$displaystyle x}$은${\displaystyle }$S .$${\$displaystyle S}$의 응축점이라고 하는 특정 유형의 한계점이다.

$만약{\displaystyle }$ 모든 이웃 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이$($가) ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle S}$= S${\displaystyle }$, ${\displaystyle \좌측$U\$cap$ S$\우측 =\좌측$ S$\우측 ,}$을(를) 만족한다면, $x$ ${\$$displaystytle$ x${\displaystyle \}}$은 $S$의 완전한$$축적점이라고 불리는 특정 유형의 한계점이다$.$

시퀀스 및 네트의 축적 지점

In a topological space ${\displaystyle X,}$ a point ${\displaystyle x\in X}$ is said to be a cluster point or accumulation point of a sequence ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ if, for every neighbourhood ${\displaystyle V}$ of ${\disp$$laystyle x,}$ there are infinitely many ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ such that ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ It is equivalent to say that for every neighbourhood ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle x}$ and every ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ,}$ there is some${\displaystyle n\geq n_{0}}$ such that ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ If ${\displaystyle X}$ is a metric space or a first-countable space (or, more generally, a Fréchet–Urysohn space), then ${\displaystyle x}$ is cluster point of ${\displaystyle x_{\bullet }}$ if and only if ${\displaystyle }$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$은(는) $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$. ${\displaystyle x_{\bullet }.}$ 시퀀스의 모든 클러스터 포인트 집합을$$ limit set라고 부르기도 한다.null

시퀀스가 수렴되는$$ 지점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을 의미하는 시퀀스 제한의 개념이 이미 있다는 점에 유의하십시오($즉{\displaystyle }$, x ${\displaystyle$ x$}$의 모든 인접 영역에는 시퀀스의 거의$$ 모든 요소가 포함되어 있다).그렇기 때문에 우리는 수열의 제한점이라는 용어를 수열의 축적점에 대한 동의어로 사용하지 않는다.null

그물이라는 개념은 수열의 개념을 일반화한다.${\displaystyle \mathrm{그물}}$은 함수 $f{\displaystyle }$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \le }$)${\displaystyle }$→ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ f$:($${\displaystyle P}$$,\leq )\to X,$ 여기서${\displaystyle }$( P${\displaystyle }$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (P,\leq )}$은 방향 집합이고 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$은 위상 공간이다.A point ${\displaystyle x\in X}$ is said to be a cluster point or accumulation point of a net ${\displaystyle f}$ if, for every neighbourhood ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle x}$ and every ${\displaystyle p_{0}\in P,}$ there is some ${\displaystyle p\geq p_{0}}$ such that $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \in }$ V${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ f}이($가)$ $x$로 수렴되는 서브넷을 가진$$ $경우{\displaystyle }$ 동등하게${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f$$}$에 응축 지점과 Ω-accumulation 지점의 개념을 망 안의 클러스터$$ 포인트가 모두 포함한다$.$필터에 대해서도 군집화 및 한계점이 정의된다.null

시퀀스의 누적점과 집합의 누적점 사이의 관계

Every sequence ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle X}$ is by definition just a map ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ so that its image ${\displaystyle \operatornam$$e {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathb {N} \right\}}$은(는) 통상적인 방법으로 정의할$$ 수 있다.null

• 시퀀스에서 무한히 여러 번 발생하는$$ 요소 x${\displaystyle x}$ X ${\displaystyle x\in$ X$}$이(가) 있는 경우 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$은 시퀀스의 누적 지점이다$$.But ${\displaystyle x}$ need not be an accumulation point of the corresponding set ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$ For example, if the sequence is the constant sequence with value ${\displaystyle x,}$ we have ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$및 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는$)$ ${\displaystyle {}_{}}$∙ x $∙$ {\$displaystyle$ \$operatorname {Im}x_{\bullet }}}}$의 격리된 지점이며$$$$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle }$ x ${\displaystyle {\bullet }_{}}$. ${\displaysty \operatorname {Im}x_{\bullet}}}}}}}}$의 누적점이 아니다.

• 모든 원소가 구별되는 경우와 같이 시퀀스에서 무한히 여러 번 발생하는 요소가 없는 경우, 시퀀스의 축적 지점은 $관련{\displaystyle }$ 세트 ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$의$$Ω {\$displaystyle$ \$omega }$ -accumulation$$ point가 된다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaysty \operatorname {Im}x_{\bullet}.}}}}}.$

Conversely, given a countable infinite set ${\displaystyle A\subseteq X}$ in ${\displaystyle X,}$ we can enumerate all the elements of ${\displaystyle A}$ in many ways, even with repeats, and thus associate with it many sequences ${\displaystyle x_{\bullet }}$ that will satisfy ${\$$displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }}$

• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 모든 $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega}$ -accumulation$$ point는 해당 시퀀스의 축적 지점이다$$(이 지점의 모든 인접 $영역$에는 A ${\displaystyle$A}의 요소가 무한히 많이 포함되고$$ 따라서 관련 시퀀스에도 무한히 많은 용어가 포함되기 때문이다).

• $점{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X$$}$의 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$ -accumulation$$ point가 아닌 점 x ${\displaystyle$ x$}$은 무한 반복측정 없이 연결된 시퀀스의 누적 지점이 될 수 없음$$(x ${\displaystystyle$x}은(완료도 없음) 포인 인접 지점만 포함)이$$)$A$의 ts ${\displaystyle A}$과(와) 그 부근에는 그러한 시퀀스의 용어가 아주 많이 포함될 수 있다.

특성.

일정하지 않은 시퀀스의 모든 한계는 시퀀스의 축적 지점이다.그리고 정의상 모든 한계점은 일관성 있는 지점이다.null

세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 폐쇄 ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ cl${\displaystyle (S}$) ${\displaystyle \operatorname {cl}(S)}$은(는) 한계점 $L{\displaystyle (S)}$ ${\$$displaystyle$ $L(S)}$과(는$)$ 격리된 지점 $)$의 분리 결합이다$.$

${\displaystyle \operatorname {cl}(S)=L(S)\컵 I(S), L(S)\cap I(S)=\varnot.}$

점 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle x\in$ X$}$은(는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle S\subseteq$ X$}$의 한계점이다$$($S$ ${\displaystyle \setminus }${${\displaystyle x\}).}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}).$$}$

If we use ${\displaystyle L(S)}$ to denote the set of limit points of ${\displaystyle S,}$ then we have the following characterization of the closure of ${\displaystyle S}$: The closure of ${\displaystyle S}$ is equal to the union of ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle L(S).}$ This사실은 때때로 폐쇄의 정의로 받아들여진다.null

이 결과의 예측은 우리에게 닫힌 집합의 특성을 제공한다.세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 모든 한계점을 포함하는 경우에만 닫힌다$$.null

격리된 지점은 어떠한 집합의 한계점도 아니다.null

$공간{\displaystyle }$ $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X}$의 부분 집합이 제한점을 가지지$$ 않는 경우에만 공간 X {\$displaystyle$ $X}$이(가) 분리된다.null

If a space ${\displaystyle X}$ has the trivial topology and ${\displaystyle S}$ is a subset of ${\displaystyle X}$ with more than one element, then all elements of ${\displaystyle X}$ are limit points of ${\displaystyle S.}$ If ${\displaystyle S}$ is a singleton, then every point of ${\di$$splaystyle X\setminus S}$은(는) $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ S$.}$의 한계점이다.

참고 항목

• 부착점 – 일부 닫힘에 속하는 점이 위상학적 공간의 하위 집합을 제공
• 응축점
• 수렴 필터
• 파생 집합(수학)
• 위상의 필터 – 모든 기본 위상학적 개념과 결과를 설명하고 특성화하기 위한 필터 사용.
• 절연점 – S의 다른 점이 없는 부분 집합 S의 점
• 함수의 한계 – 함수가 위상에 수렴되는 지점
• 시퀀스 제한 – 시퀀스 조건이 "종료"되는 값
• 부분적 한계 – 일부 부분적 한계

인용구

참조

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
• Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
• "Limit point of a set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]