아공간 위상

수학의 위상 및 관련 영역에서 위상 공간 X의 하위 공간은 X의 하위 공간 위상(또는 상대 위상, 또는 유도 위상 또는 추적 위상)이라고 불리는 X의 그것으로부터 유도된 위상(위상)을 갖춘 X의 부분집합 S이다.null

정의

위상학적 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$과 X ${\displaystyle X}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle$ S$}$이(가) 주어진 경우$,$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 하위 공간 토폴로지는 다음과 같이 정의된다$$.

$\displaystyle \tau \{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .}$

That is, a subset of ${\displaystyle S}$ is open in the subspace topology if and only if it is the intersection of ${\displaystyle S}$ with an open set in ${\displaystyle (X,\tau )}$. If ${\displaystyle S}$ is equipped with the subspace topology then it is a topological space in its own right, and is called a$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$)의$$하위 공간 {\$displaystyle ($X,\tau $)\}.$ 위상 공간의 하위 공간은 달리 명시되지 않는 한 대개 하위 공간 위상이 장착된 것으로 가정한다.null

또는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$에 대한 하위 공간 토폴로지를 포함이 매핑되는 가장 강력한 토폴로지로 정의할$$ 수 있다.

${\displaystyle\iota:S\Hook 오른쪽 화살표 X}$

연속적이다.null

보다 일반적으로 ι ${\displaystyle \$$iota$$$}이$$(가) $설정$된 S$${\$displaystyle$S}에서$$ 위상학적 $공간{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$에 대한 주입이라고 가정하면$,$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$S}의 하위 공간 $토폴로지$는 {$${\$displaystytority }$이 연속적으로$$ 정의된다$$.The open sets in this topology are precisely the ones of the form ${\displaystyle \iota ^{-1}(U)}$ for ${\displaystyle U}$ open in ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle S}$ is then homeomorphic to its image in ${\displaystyle X}$ (also with the subspace topology) and ${\displaystyle \iota$$}}$을(를) 위상학적 임베딩이라고 한다.null

하위 공간 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 주입 $\iota {\displaystyle }$ ${\displaystyle \iota }$이(가) 열린 맵인 경우, 즉 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 열린 이미지인 경우$$ 오픈 하위 공간이라고 함$$$.$ 마찬가지로 주입 $\iota {\displaystyle }$ ${\displaystyle \iota }$이 닫힌 경우 닫힌 하위 공간이라고 함.

용어.

세트와 위상학적 공간의 구분은 편의상 합리적으로 모호한 경우가 많으며, 이는 처음 이러한 정의를 접했을 때 혼란의 원인이 될 수 있다.Thus, whenever ${\displaystyle S}$ is a subset of ${\displaystyle X}$, and ${\displaystyle (X,\tau )}$ is a topological space, then the unadorned symbols "${\displaystyle S}$" and "${\displaystyle X}$" can often be used to refer both to ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle X}$ cons$위$에서 설명한$$것처럼 X {\$displaystyle$ X$\}$의 두 하위 집합과${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$, ${\displaystyle {\tau }_{}}$ S${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (S,\tau _{S}})$${\displaystyle }$및$$ (${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle (X,\tau )}$에 대해 토폴로지 공간으로$$ 간주한다.So phrases such as "${\displaystyle S}$ an open subspace of ${\displaystyle X}$" are used to mean that ${\displaystyle (S,\tau _{S})}$ is an open subspace of ${\displaystyle (X,\tau )}$, in the sense used below; that is: (i) ${\displaystyle S\in X}$; and (ii) ${\displaystyle$$S}$은(는) 하위 공간 토폴로지를 부여받은 것으로 간주된다$$.null

예

다음에서 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 일반적인 위상이 있는 실제 숫자를 나타낸다$$.null

• $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 하위 공간으로서 자연수의 하위 공간 위상은 이산 위상이다$.$
• $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle \mathb$ {$R}$의 하위 공간으로 간주되는$$ $합리적$인 숫자 Q ${\$$displaystyle \mathb$${Q}}$에는 이산 위상({0})이 없습니다$$. 예를 들어, $Q{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {Q}}$에 열린 집합이 없음.$$a와 b가 합리적이면 구간(a, b)과 [a, b]가 각각 열리고 닫히지만, a와 b가 비합리적이라면 < x < b가 있는 모든 이성적 x의 집합은 모두 열림과 닫힘이다.
• $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 하위 공간으로 설정된 [0,1]은$$(는) $열린{\displaystyle \mathbb{}}$ 공간과$$닫힌 공간인 $반면$, R ${\$displaystyle \$mathb {R}$의 하위 공간인 경우에는 닫힌 공간만 있다$$.
• $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$[0, 1] ∪ [2, 3]의 하위 공간은 두 개의 분리형 개방형 하위 집합으로 구성되며(이 또한 닫힐 수 있음) 따라서 연결이 끊어진 공간이다.
• S = [0, 1) 실제 선 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 하위 공간이 되게$$한 다음 [0,½)은 S로 열려 있지만 $R{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {R} }$에는 열려 있지$$않다. 마찬가지로 [½, 1)은 S로 닫혀 있지만 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$}에는 닫혀 있지 않다$.$ $S$는 R ${\$의 하위 집합으로 열려 있지 않다$.$

특성.

아공간 위상에는 다음과 같은 특성 속성이 있다.$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 공간으로 설정하고$$$$ $I{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ i$:$$Y\to$ X$}$이(가) 포함 맵입니다.그런 다음 위상학적 공간 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$에 대해 $지도{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle Z}$→ Y ${\displaystyle f:Z\to Y}$은 합성 $지도{\displaystyle }$ i ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f}${\$displaystyle$i\$circ f$}이$$(가) 연속적인 경우에만 연속적이다$$.null

$이{\displaystyle }$ 속성은 Y ${\displaystyle Y}$에서 하위 공간 토폴로지를 정의하는 데 사용할 수 있다는 점에서 특징이 있다$.$

하위 공간 토폴로지의 몇 가지 추가 특성을 나열한다.다음에서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 공간이 되도록$$ 하십시오$.$

• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$이(가) 연속이면$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 제한은 연속이다$$.
• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$이(가) 연속이면 ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X}$→ f (${\displaystyle X}$) ${\displaystyle f:X\to f(X)}$은 연속이다.
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 닫힌 세트는 $정확히{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에 닫힌 세트가 $있는$ S ${\displaystyle S}$의 교차점이다$.$
• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 하위 공간인$$ 경우, $A$ ${\displaystyle$ $A$$}$도 $동일$한 토폴로지를$$ 가진 X ${\displaystyle$ X$}$의 하위 공간이다$$.즉, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 상속하는$$ 하위 공간 토폴로지는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 상속하는 토폴로지와 동일하다$.$
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 열린 하위 공간이라고 가정하십시오($$${\displaystyle \mathrm{그러므로}}$ S ${\displaystyle \in }$ ∈ ${\displaystyle S\in \tau$}).$$$그런{\displaystyle }$ 다음 S ${\displaystyle S}$의 하위 집합이 X ${\displaystyle X$에 열려 있는 경우에만$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 열린다$$.
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) X ${\displaystyle X}$의 닫힌 하위 공간이라고$$ 가정하십시오($$따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle S}$ ∈ ${\displaystyle \in }$ ∈$τ$ {\$displaystyle$ X$\setminus S\in \tau$}).$$$그런{\displaystyle }$ 다음 S ${\displaystyle$ $S}$의 하위 집합은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$에서 닫힌 경우에만$$ $닫힌다$.
• $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 기본이라면 ${\displaystyle B_{}}$ S${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle U}$∩ ${\displaystyle S}$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \in }$ B ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle B_{$$S}=\{U\cap S:$$U\in B\}}$은(는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 기본이다$.$
• 메트릭을 이 부분 집합으로 제한하여 메트릭 공간의 부분 집합에서 유도된 위상은 이 부분 집합의 하위 공간 위상과 일치한다.

위상적 특성 보존

위상학적 특성을 가진 위상학적 공간이 그 하위 영역이 그 속성을 가지고 있다는 것을 의미한다면, 우리는 그 속성이 유전적이라고 말한다.만약 폐쇄된 하위공간만이 우리가 그것을 약하게 유전이라고 부르는 재산을 공유해야 한다면.null

• 모든 열린 공간과 닫힌 모든 하위 공간은 완전히 측정 가능한 공간이다.
• Baire 공간의 모든 열린 하위 공간은 Baire 공간이다.
• 컴팩트한 공간의 모든 닫힌 서브 스페이스는 컴팩트하다.
• 하우스도르프 공간이 되는 것은 유전적인 것이다.
• 정상적인 공간이 되는 것은 약하게 유전되는 것이다.
• 완전한 경계는 유전이다.
• 완전히 단절된 것은 유전적인 것이다.
• 첫 번째 계수 가능성과 두 번째 계수 가능성은 유전적이다.

참고 항목

• 이중 개념 지수 공간
• 제품 위상
• 직접 합 위상

참조

• 부르바키, 니콜라스, 수학의 요소: 일반 위상, 애디슨-웨슬리(1966)
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• 윌러드, 스티븐일반 토폴로지, 도버 출판물(2004) ISBN 0-486-43479-6