서브베이스

위상에서 위상 $T$ 가 있는 위상 공간 $X$ 에 대한 하위베이스(또는 하위베이스, 프리베이스, 프리베이스)는 $T$ 가 B를 포함하는 가장 작은 위상이라는 $점$ 에서 T를 $생성$ 하는 T의 하위 집합 $B$ 이다.약간 다른 정의가 일부 저자에 의해 사용되며, 다른 유용한 동등한 정의가 있다. 이러한 정의는 아래에서 논의된다.

정의

$X$ 는 위상 $T$ 가 있는 위상학적 공간이 되도록 하자. $T$ 의 서브베이스는 일반적으로 다음의 두 가지 등가 조건 중 하나를 $만족$ 하는 T의 서브 $컬렉션$ B로 정의된다.

$하위$ 수집 B는 위상 $T$ 를 생성한다.이것은 $T$ 가 B를 $포함$ 하는 가장 작은 위상임을 의미한다: $B$ 를 포함하는 $X$ 의 모든 $위상$ T $'$ 도 $T$ 를 포함해야 한다.
$세트$ $X$ 와 함께 B 원소의 모든 유한 교차점들로 구성된 오픈 세트의 집합은 $T$ 의 기초를 형성한다.이것은 $T$ 에 있는 모든 적절한 오픈 세트는 $B$ 의 요소들의 유한 교차점들의 조합으로 쓰여질 수 있다는 것을 의미한다.명시적으로, 오픈 $세트$ U $x$ X에 $포인트$ x가 주어지며, 이 세트들의 교차점이 $x$ 를 포함하고 $U$ 에 포함될 정도로, 세트의 $S 1, ...,$ $S$ 가_n 매우 많다.

(만약 우리가 무효 교차로 규약을 사용한다면, 두 번째 정의에 $X$ 를 포함시킬 필요가 없다.

전원 집합 $P(X$ )의 하위 집합 $S$ 에 대해서는 $S$ 를 하위 베이스로 하는 고유한 위상이 있다 $.$ 특히 $S$ 를 포함하는 $X$ 의 모든 위상의 교차점은 이 조건을 만족시킨다.그러나 일반적으로 주어진 위상에 대한 고유한 하위 기준은 없다.

따라서 고정된 위상으로부터 시작하여 그 위상에 대한 서브베이스를 찾을 수 있으며, 또한 동력 $집합$ P $(X)$ 의 임의적인 하위 집합으로부터 시작하여 그 하위 집합에 의해 생성되는 위상을 형성할 수 있다.우리는 위의 동등한 정의 중 하나를 자유롭게 사용할 수 있다. 실제로 많은 경우, 두 조건 중 하나가 다른 조건보다 더 유용하다.

대체 정의

때때로 서브베이스에 대한 약간 다른 정의가 주어지며, 서브베이스 $ℬ$ 은 $X$ 를 커버해야 한다.^[1]이 경우 $X$ 는 $ℬ$ 에 포함된 모든 세트의 조합이다.이는 정의에서 무효 교차로 사용에 대한 혼선이 있을 수 없다는 것을 의미한다.

그러나 이 정의가 위의 두 정의와 항상 동등하지는 않다.즉, $부분집합$ ⊆ $τ$ 이 있는 위상 공간 $(X, τ)$ 이 존재하는데, $τ$ 은 $ℬ$ 을 포함하는 가장 작은 위상이지만, $ℬ$ 은 $X$ 를 포함하지 않는다(이러한 예는 아래와 같다).실제로 이것은 드문 일이다. 예를 들어, 최소 2개의 지점을 가지고 있고₁ T 분리 공리를 만족하는 공간의 하위 베이스는 그 공간의 커버가 되어야 한다.

예

하위 집합 𝒮 { $\emptyset,$ $X$ $}($ 빈 집합 𝒮 $:= \emptyset)$ 에 의해 생성된 위상은 사소한 위상 { ${,$ X }과 $동일$ 하다.

$만약$ topology이 $X$ 의 위상이고 $ℬ$ 이 $τ$ 의 기초라면 $ℬ$ 에 의해 생성된 위상은 $τ$ 이다.따라서 위상 $τ$ 에 대한 어떠한 근거 $ℬ$ 도 $τ$ 의 하위 기준이다.만약 $𝒮$ 이 $subset$ 의 하위 집합이라면, $𝒮$ 에 의해 생성된 위상은 $τ$ 의 하위 집합이 될 것이다.

실제 번호 $\mathbb {R}$ ${\$ 의 일반적인 위상에는 형식 $(- temp,$ a) 또는 ( $b,$ sv) 중 하나의 모든 반무한 공개 간격으로 구성된 $\mathbb {R}$ 하위 기반이 $있으며$ , $여기$ 서 a와 b는 실제 숫자다. $<$ $b$ 의 교차로 ( $a, b)$ = (-through $, b) \cap$ ( $a,$ csi)는 통상적인 위상을 생성하기 때문에 이 두 가지가 함께 일반적인 위상을 생성한다. $a$ 와 $b$ 가 합리적인 서브 패밀리를 취함으로써 두 번째 서브베이스가 형성된다. $a$ , $b$ rational이 있는 개방 간격 $(a,$ $b)$ 은 통상적인 유클리드 위상의 기초가 되기 때문에 두 번째 서브베이스는 통상적인 위상도 생성한다.

$a$ 가 실수인 형태의 모든 반무한 개방간격 $(-$ through, $a)$ 으로 구성된 서브베이스는 일반적인 위상(topology)을 생성하지 않는다. $b$ 를 포함하는 $모든$ 열린 $집합$ 도 $a$ 를 포함하므로 결과 위상은 T 분리₁ 공리를 만족하지 않는다.

함수 $f i$ : $X$ → $Y i$ 계열에 의해 정의된 $X$ 의 초기 위상은, $각 i$ Y가 위상을 가지고 있는 경우, 각 $F$ 가_i 연속적으로 존재하는 $X$ 의 가장 강력한 위상이다.연속성은 오픈 세트의 역영상으로 정의할 수 있기 때문에, 이는 $X$ 의 초기 위상이 $Y$ 의_i 모든 오픈 서브셋에 걸쳐 $U$ 의 범위가 되는 모든 $f i -1 (U$ )를 서브베이스로 삼음으로써 주어지는 것을 의미한다.

초기 위상의 두 가지 중요한 특별한 경우로는 제품 위상(product topology)이 있는데, 여기서 함수 패밀리는 제품에서 각 인자에 이르는 투영의 집합이며, 패밀리는 하나의 함수인 포함 맵으로 구성되는 아공간 위상(subspace topology)이 있다.

$X$ 에서 $Y$ 까지의 연속함수의 공간에 대한 콤팩트 오픈 토폴로지는 함수 집합의 서브베이스에 대해 가지고 있다.

V(K,U)=\{f\colon X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}

여기서 $K$ ⊆ $X$ 는 콤팩트하고 $U$ 는 $Y$ 의 오픈 서브셋이다.

$(X, τ)$ 이 두 개 이상의 원소를 $포함$ 하는 X의 하우스도르프 위상 공간이라고 가정하자(예: 유클리드 $X=\mathb {R}$ $X=\mathbb {R}$ 이 $X=\mathbb {R}$ X $X=\mathbb {R}$ = R {\ $displaystyle X$ =\ $mathb$ { $R}).$ $Y$ ∈ $τ$ 은 ( $X,$ $τ$ $)$ 의 비어 있지 않은 열린 부분 집합(예: $Y$ 는 $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )이 될 수 있고, non은 $Y$ 가( $X,$ $))$ 에서 상속하는 $Y$ 의 하위 공간 위상을 나타내도록 한다.그러면 $X$ 에서 $ν$ 에 의해 생성되는 위상은 조합 { $X$ $}$ ν ν $ν$ ν (해명은 $이$ 각주 참조)과 같으며 $, [note 1]$ 여기서 { X $}$ ⊆τ $τ$ ( τ ) ( $X, τ)$ 은 하우스도르프(Hausdorff)이므로 $Y$ = $X일$ 경우에만 평등이 유지된다. $Y$ 가 $X$ 의 적절한 부분 집합인 경우, { $X$ } $\cup ν$ 은 ν을 $포함$ 하는 X에서 $가장$ 작은 위상이지만 X는 $포함$ 하지 않는다는 점에 유의하십시오(즉, 조합 $\cup V$ ∈ $V$ = $Y$ 는 $X$ 의 적절한 부분 집합이다).

하위베이스를 사용한 결과

서브베이스에 대한 한 가지 좋은 사실은 함수의 연속성은 범위의 서브베이스에서만 확인될 필요가 있다는 것이다.That is, if $f : X \to Y$ is a map between topological spaces and if $ℬ$ is a subbase for $Y$ , then $f : X \to Y$ is continuous if and only if $f -1 (B)$ is open in $X$ for every $B \in ℬ$ . A net (or sequence) $x • = (x i) i \in I$ converges to a point $x$ if and only if every subbasic neighborhood of $x$ contains all $x i$ for sufficiently large $i \in I$ .

알렉산더 서브베이스 정리

알렉산더 서브베이스 정리(Alexander Subbase Organization)는 제임스 와델 알렉산더 2세에 기인하는 서브베이스에 관한 중요한 결과물이다.^[2]기본(하위 기본이 아닌) 개방형 커버에 대한 해당 결과는 입증하기가 훨씬 쉽다.

알렉산더 서브베이스 정리:^[2]

(X, τ)

은 위상학적 공간이다.

만약

X가

𝒮

의 요소들에 의한

X

의 모든 커버가 유한한 서브 커버를 가질 수 있는 서브 베이시스

𝒮

을 가지고 있다면,

X

는 콤팩트하다.

이 정리에 대한 반대도 유지되며 $𝒮$ = $τ$ 을 사용함으로써 증명된다(모든 위상은 그 자체를 위한 하위 기준이기 때문이다).

X

가 콤팩트하고

𝒮

이

X

의 서브베이스라면,

𝒮

의 요소에 의한

X

의 모든 커버는 유한 서브 커버를 가진다.

증명

공간 $X$ 가 콤팩트하지 않지만(그래서 $X$ 는 무한 세트) $yet$ 의 모든 하위 기본 커버는 유한 서브 커버를 가지고 있다고 가정하자.Let $\mathbb {S}$ denote the set of all open covers of $X$ that do not have any finite subcover of $X$ . Partially order $\mathbb {S}$ by subset inclusion and use Zorn's Lemma to find an element $\mathbb {S}$ that is a maximal element of ${\displaystyle \mat$ $hbb {S}$ 주의:

$\mathbb {S}$ S {\ $displaystyle$ $\mathb$ {S $}$ 의 정의에 의한 $\mathbb {S}$ \ $\mathb$ {} } $\mathbb {S}$ $since$ 은 $X$ 의 오픈 커버로서 $X$ 를 커버하는 $𝒞$ 의 유한 서브셋은 존재하지 않는다(그래서 특히 $𝒞$ 은 무한하다).
The maximality of $𝒞$ in $\mathbb {S}$ implies that if $V$ is an open set of $X$ such that $V \notin 𝒞$ then $𝒞 \cup {V}$ has a finite subcover, which must necessarily be of the form ${V} \cup 𝒞 V$ for some finite subset $𝒞 V$ of $𝒞$ (this finite subset depends on the choice of $V$ ).

우리는 𝒞∩ ∩ $이$ $X$ 의 표지가 아니라는 것을 보여주는 것으로 시작할 것이다. $𝒞$ ∩ ∩ $이$ $X$ 의 표지로, 특히 𝒞 $\cap이$ $𝒮$ 의 요소에 의한 $X$ 의 표지로 함축된다고 가정한다. $𝒮$ 에 대한 정리의 가설은 $X$ 를 포괄하는 𝒞∩ ∩의 유한 부분집합이 존재한다는 것을 내포하고 있으며, 이는 동시에 $𝒞$ 의 원소에 의한 $X$ 의 유한 서브커버가 될 것이다( ( ∩ ∩ ⊆ ⊆ $since$ 이후).그러나 이는 𝒞∈ $\mathbb {S}$ ${\$ 과 모순되는 것으로, $\mathbb {S}$ $𝒞$ ∩ ∩ ∩ $이$ X를 $다루지$ 않는다는 것을 증명한다.

$𝒞$ ∩ ∩ $X$ 는 $X$ 를 포함하지 않기 때문에 $some$ ∩ ∩ ∩ ∩에서 다루지 않는 일부 $x$ ∈ $X$ 가 존재한다( $즉$ , x는 𝒞 $\cap$ 의 어떤 요소에도 포함되어 있지 않다).그러나 $𝒞$ 이 $X$ 를 커버하기 때문에, $x$ ∈ $U$ 와 같은 $일부$ $U$ also도 존재한다. $𝒮$ 은 X의 위상을 생성하는 하위 기준이기 때문에, $𝒮$ 에 의해 생성된 위상의 정의로부터, S, ..., $S n$ ∈ 𝒮의 하위 기본 오픈 세트 $S 1,$ ..., $𝒮$ 의 유한 집합이 존재해야 한다.

x

∈

S 1

∩

\cdot\cdot\cdot

∩

u n

U.

We will now show by contradiction that $S i \notin 𝒞$ for every $i = 1, ..., n$ . If $i$ was such that $S i \in 𝒞$ , then also $S i \in 𝒞 \cap 𝒮$ so the fact that $x \in S i$ would then imply that $x$ is covered by $𝒞 \cap 𝒮$ , which contradicts how $x$ was chosen (recall that $x$ was chosen specifically so that it was not covered by $𝒞 \cap 𝒮$ ).

앞에서 언급한 바와 같이 $\mathbb {S}$ ${\$ 에서 $𝒞$ 의 최대성은 모든 $i$ = 1, $... n$ , n에 대해 { $S i}$ ∪ ∪ $이 S i$ $X$ 의 유한 표지를 형성하는 유한 부분 $집합$ $𝒞$ 이_{S_i} 존재함을 의미한다 $\mathbb {S}$ .정의

𝒞 F := 𝒞 S 1 \cup \cdot\cdot\cdot \cup 𝒞 S n

.

$which$ 의 유한 부분 집합이다. $모든$ i = 1, $...,$ $n$ $,$ { $S i \cup$ ∪ ∪ $은 F$ $X$ 의 유한 표지이므로 모든 $𝒞$ 을_{S_i} $𝒞$ 으로_F 대체하자.

$\cup$ ∪ $은 F$ $𝒞 F$ ( $X$ 의 개방된 부분집합)에 있는 모든 세트의 결합을 나타내며, $Z$ 는 $X$ 에 있는 in $𝒞$ 의_F 보완을 나타낸다.모든 하위 $집합$ A ⊆ $X$ , { $A$ }∪ ∪ $은 F$ Z if $A$ 인 $경우$ 에만 X를 포함한다는 점을 준수하십시오.In particular, for every $i = 1, ..., n$ , the fact that ${S i} \cup 𝒞 F$ covers $X$ implies that $Z \subseteq S i$ . Since $i$ was arbitrary, we have $Z \subseteq S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n$ . Recalling that $S 1 \cap \cdot\cdot\cdot \cap S n \subseteq U$ , we thus have $Z \subseteq U$ , which is equivalent to ${U} \cup 𝒞 F$ being a cover of $X$ .더욱이 { $U$ }∪ $𝒞 F$ 𝒞은 { $U$ }∪ ∪ ⊆ $with F$ with with으로 $X$ 의 유한 표지다.따라서 $𝒞$ 은 $X$ 의 하위 커버가 유한하므로 𝒞∈ $\mathbb {S}$ ${\$ 과(와) 모순된다. 따라서 $X$ 가 콤팩트하지 않다는 원래의 가정은 틀려야 하며, 이는 $X$ 가 콤팩트하다는 것을 증명한다 $\mathbb {S}$ ∎

비록 이 증거가 조른의 레마마를 이용하지만, 그 증명에는 선택의 완전한 힘이 필요하지 않다.대신 중간 울트라필터 원리에 의존한다.^[2]

위의 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\$ 에 대한 하위 베이스와 함께 이 정리를 사용하면 $\mathbb {R}$ ${\$ 의 경계 폐쇄 간격이 콤팩트하다는 매우 $\mathbb {R}$ 쉬운 증거를 제시할 수 있다.보다 일반적으로 비어 있지 않은 콤팩트한 공간의 산물이 콤팩트하다고 기술한 타이코노프의 정리는 알렉산더 서브베이스 정리를 사용한다면 짧은 증거를 가지고 있다.

증명

$π i$ $X$ 의_i 제품 토폴로지는 정의상 하나의 인자에 오픈 세트의 역투영인 실린더 세트로 구성된 서브 베이스를 가지고 있다.유한 하위 커버가 없는 제품의 하위 기본 패밀리 $C$ 를 고려할 때, 우리는 $C$ = $i c i$ C를 주어진 요소 공간에 해당하는 정확히 그러한 실린더 세트로 구성된 하위 패밀리로 분할할 수 있다.가정으로 $C i$ ≠ $\emptyset$ 이면 $C$ 는_i 유한 서브커버를 가지고 있지 않다.실린더 세트가 된다는 것은 $X$ 에_i 대한 그들의 투영에는 유한 서브커버가 없다는 것을 의미하며, 각 X는 $소형$ 이기_i 때문에 $X$ 에_i $대한 i$ C의 투영에 의해 다루어지지 않는 점 $x i find i$ X를 찾을 수 있다.그러나 ( $x i) i$ ∈ ∈ $X$ 는_i_i $C$ . ∎에서 다루지 않는다.

참고로, 마지막 단계에서 우리는 ( $x i)$ 의 존재를 확실히 하기 위해 (실제로 조른의 보조마사와 동등한) 선택의 공리를 암묵적으로 사용했다는 점에 주목한다 $. i$

참고 항목

기준(토폴로지)

메모들

^ $ν$ 은 $Y$ 의 위상이고 $Y$ 는( $X,$ τ)의 공개 부분집합이므로, { $X$ } ∪ ∪ $ν$ 은 $X$ 의 위상임을 쉽게 확인할 수 있다 $.$ $ν$ 은 $X$ 의 위상이 아니기 때문에, { $X$ }∪ $ν$ ν은 $ν$ )를 포함하는 $X$ 에서 가장 작은 위상임이 분명하다.

참조

^ Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods in Chemistry. John Wiley & Sons. p. 17. ISBN 0-471-83817-9. Retrieved 13 June 2013. A collection $S$ of subsets that satisfies criterion (i) is called a subbasis for a topology on $X$ .
^ ^a ^b ^c Muger, Michael (2020). Topology for the Working Mathematician.

Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

[2] $ν$ 은 $Y$ 의 위상이고 $Y$ 는( $X,$ τ)의 공개 부분집합이므로, { $X$ } ∪ ∪ $ν$ 은 $X$ 의 위상임을 쉽게 확인할 수 있다 $.$ $ν$ 은 $X$ 의 위상이 아니기 때문에, { $X$ }∪ $ν$ ν은 $ν$ )를 포함하는 $X$ 에서 가장 작은 위상임이 분명하다.

[1] Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods in Chemistry. John Wiley & Sons. p. 17. ISBN 0-471-83817-9. Retrieved 13 June 2013. A collection $S$ of subsets that satisfies criterion (i) is called a subbasis for a topology on $X$ .

[Muger2020-3] Muger, Michael (2020). Topology for the Working Mathematician.

[1]

[note 1]

[2]

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