유사콘벡스 함수

수학의 양쪽 가지인 볼록 분석과 변동의 미적분학에서 가성 콘벡스 함수는 국소 미니마 발견에 관해서 볼록함수처럼 작용하는 함수지만 실제로 볼록할 필요는 없다.비공식적으로, 포지티브 방향 파생물이 있는 어떤 방향으로든 증가하고 있는 경우, 차별화할 수 있는 함수는 유사점이다.이 속성은 모든 기능 영역을 보유해야 하며, 인근 지점에만 보유해서는 안 된다.

형식 정의

Consider a differentiable function $f:X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ , defined on a (nonempty) convex open set $X$ of the finite-dimensional Euclidean space $\mathbb {R} ^{n}$ .이 함수는 다음과 같은 속성이 유지될 경우 유사성이라고 한다.^[1]

모든

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

,

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

:

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

( x

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

)

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

⋅ (

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

-

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

)

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

f

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

( y

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

)

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

(

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

)

x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)

f ( )

\displaysty

x

,y\in X:\quad \nabla

f

(x)\cdot

(

y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq

f

(x

동등하게:

모든

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

,

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

X

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

:

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

(

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

)

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

<

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

( x

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

)

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

(

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

)

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

( y

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

- x )

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

( )

<

<

x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0

{\

displaystyle

x

,y\in X:\quad f(x)\

quad f(x

)\

오른쪽

화살표 \nabla f(x)\cdot(y-x)<0

Here $\nabla f$ is the gradient of $f$ , defined by: ${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).$ $}$

이 정의는 벡터 $v=y-x$ = $v=y-x$ - x $v=y-x$ 이 $f$ 가) $f$ 하는 방향으로f {\ $displaystyle$ f}의 방향 파생 모델 측면에서도 명시될 수 있다는 점에 유의하십시오 $v=y-x$ $f$ 는 f $f$ 이 $f$ (가) 다를 수 있기 때문에 이 방향 파생상품은 다음과 같이 제공되기 때문이다.

{\frac {\property f}{\put v}(x)=\cdot v=\cdot(x)\cdot(y-x)

특성.

다른 유형의 "공백성"과의 관계

모든 볼록함수는 유사 콘벡스지만, 그 역은 사실이 아니다.예를 들어 $f(x)=x+x^{3}$ f $f(x)=x+x^{3}$ $f(x)=x+x^{3}$ ) = $f(x)=x+x^{3}$ + $f(x)=x+x^{3}$ 3 $f(x)=x+x^{3}$ {\ $displaystyle$ f $(x)=x+x^{3$ $}}}}}}}}}$ 은 $f(x)=x+x^{3}$ (는) 유사콘벡스지만 볼록하지는 않다마찬가지로 모든 유사콘벡스 함수는 퀘이콘벡스인데, $f(x)=x^{3}$ f( x ) $f(x)=x^{3}$ = $f(x)=x^{3}$ $f(x)=x^{3}$ ${\$ 는 $f(x)=x^{3}$ 유사콘벡스가 아니라 퀘이콘벡스이기 때문에 그 반대는 사실이 아니다.이를 개략적으로 다음과 같이 요약할 수 있다.

볼록한

\Rightarrow

\Rightarrow

유사 conconvx

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow

Quasiconvx

\Rightarrow

.

Functions x^3 (quasiconvex but not pseudoconvex) and x^3 + x (pseudoconvex and thus quasiconvex). None of them is convex.

함수 x^3(quasiconvex는 아니지만 유사 conconvex는 아님) 및 x^3 + x(pseudoconvex 및 따라서 quasiconvex).그들 중 볼록한 것은 하나도 없다.

To see that $f(x)=x^{3}$ is not pseudoconvex, consider its derivative at $x=0$ : $f^{\prime }(0)=0$ . Then, if $f(x)=x^{3}$ was pseudoconvex, we should have:

f^{\premy }(0)(y-0)=0\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(0),\quad \ forall \,y\in \mathb {R}.

$y=-1$ $y=-1$ = $y=-1$ - 1 ${\displaystyle y=-1$ 에 대해서는 참이어야 하지만, $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ ( $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ - $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ ) $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ = $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ ( $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ - 1 $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ ) $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ = $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ - $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ < $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ ( $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ ) $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ = $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$ 처럼은 아니다 $f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0$

충분한 최적 조건

모든 다른 기능을 위해 우리는 F {\ $displaystyle$ $f$ $}$ 이(가 $)$ $x^{*}$ $x^{*}$ ${\$ x $^{*}},$ $x^{*}$ $x^{*}$ ${\$ x $^{*}$ 에서 로컬 최소값을 가질 $f$ 경우, f ${\displaystyf}$ 의 정지점이어야 $x^{*}$ 한다( $f$ 즉: $\nabla f(x^{*})=0$ ( $\nabla f(x^{*})=0$ $\nabla f(x^{*})=0$ ) = $\nabla f(x^{*})=0$ 0 $di$ ). $splaystyle \nabla f(x^{*}=0}$ $\nabla f(x^{*})=0$ )

유사성(pseudoconexity)은 최적화 영역에 큰 관심을 가지고 있는데, 그 역은 유사성(pseudoconvex) 함수에 대해서도 사실이기 때문이다.즉,^[2] $∗{\$ 가 유사 $x^{*}$ 콘벡스 함수 $f$ $f$ 의 정지점이라면 $,$ $f$ ${\$ $x$ $^{*}}$ 로 글로벌 최소값을 $x^{*}$ 보장한다는 $f$ 점에 유의하십시오 $x^{*}$

이 마지막 결과는 볼록함수에도 해당되지만 퀘이콘벡스함수에는 해당되지 않는다.퀘이콘벡스 함수를 예로 들어보자.

f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}

x

f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}

)

f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}

= e

f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}

f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}

2 +

f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}

+ 1

f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}

x

{\

f

(x)={\frac{e^{x}}{

x^{x}}}{

x^{2}}+{\frac{1}{e^{x

이 함수는 유사수치가 아니라 퀘이콘벡스다. $x=0$ x $x=0$ = $x=0$ $x=0$ 은 f $f$ $f^{\prime }(0)=0$ ( $f^{\prime }(0)=0$ ) $f^{\prime }(0)=0$ = $f^{\prime }(0)=0$ $displaystyle$ $f$ $^{\prime }(0)=0$ 으로 $f$ ${\$ $displaystyle$ $f$ $}$ 의 임계점이지만 $x=0$ $f$ , $f$ $x=0$ ${\$ $displaysty$ x $=0}($ 현지 최소값도 아님).

유사 콘벡스가 아닌 퀘이콘벡스 함수의 예.함수는

x=0

=

x=0

x=0

에 임계점이 있지만, 이는 최소값이 아니다

x=0

마지막으로, 유사 콘벡스 함수는 어떤 임계점을 가지고 있지 않을 수 있다는 점에 유의한다.Take for example the pseudoconvex function: $f(x)=x^{3}+x$ , whose derivative is always positive: $f^{\prime }(x)=3x^{2}+1>0,\,\forall \,x\in \mathbb {R}$ .

예

볼록하지 않지만 유사 콘벡스인 함수의 예는 $f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.$ 과 같다: f ( $f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.$ ) $f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.$ = $f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.$ $f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.$ + $f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.$ k $f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.$ > $f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.$ ${\displaystyle f(x)={\x^{2}}:{x^{2}}:{x^{$ 2}+k},\, $k>0}.}.$ $k=0.2$ 은 $f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.$ k $k=0.2$ = $k=0.2$ .2 ${\displaystystyle$ k $=0.2$ 이 예는 다음과 같이 두 변수로 일반화될 수 있다.

f(x)={\frac {x^{2}+y^{2}}:{x^{2}+y^{2}+k}},\,k>0.

Pseudoconvex function that is not convex: x^2 / (x^2+0.2)

볼록하지 않은 유사 콘벡스 함수.

앞의 예를 수정하여 볼록함수나 유사콘벡스가 아니라 퀘이콘벡스인 함수를 얻을 수 있다.

f(x)={\frac { x ^{p}}{x ^{p}+k},\,k>0,\,p\in(0,1).

$k=0.5,p=0.6$ 은 k $k=0.5,p=0.6$ = 0 $k=0.5,p=0.6$ p $k=0.5,p=0.6$ = $k=0.5,p=0.6$ . $k=0.5,p=0.6$ 인 경우에 대해 이 기능을 보여준다 $k=0.5,p=0.6$ 보시다시피 이 함수는 결점 때문에 볼록하지 않으며, $x=0$ = $x=0$ $x=0$ 에서 다를 수 없기 때문에 유사성 콘벡스가 아니다 $x=0$

Quasiconvex function that is not convex, nor pseudoconvex:

볼록하지 않은 퀘이콘벡스 함수, 또는 유사 콘벡스 함수.

구별할 수 없는 함수에 대한 일반화

유사성 개념은 다음과 같이 구별할 수 없는 함수로 일반화할 수 있다.^[3]함수 $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ : $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ → $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ ${\$ 을(를) 고려할 때, 다음과 같이 $f$ $f$ $f$ 의 상위 Dini 파생 모델을 정의할 수 있다.

f^{+}(x,u)=\limsup _{h\to 0^{+}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h};

여기서 u는 어떤 단위 벡터다.함수는 상위 디니파생물이 양성이 되는 어떤 방향으로든 증가하고 있다면 유사점이라고 한다.좀 더 정확히 말하면, 이는 다음과 같이 $\partial f$ 하위 차동 $\partial f$ $\partial f$ $\partial f$ 의 관점에서 특징지어진다.

For all

x,y\in X

: if

x^{*}\in \partial f(x)

is such that

\langle x^{*},y-x\rangle \geq 0

, then

f(x)\leq f(z)

, for all

z\in [x,y]

;

여기서 [ $[x,y]$ , $[x,y]$ $[x,y]$ $[x,y]$ 은(는) x와 y에 인접한 선 세그먼트를 나타낸다 $[x,y]$ .

참고 항목

메모들

^ 망가사리안 1965년
^ 망가사리안 1965년
^ 플루다스 & 파르달로스 2001
^ 랍삭 1991
^ 5장:Craven, B. D. (1988). Fractional programming. Sigma Series in Applied Mathematics. Vol. 4. Berlin: Heldermann Verlag. p. 145. ISBN 3-88538-404-3. MR 0949209.
^ Kruk, Serge; Wolkowicz, Henry (1999). "Pseudolinear programming". SIAM Review. Vol. 41, no. 4. pp. 795–805. doi:10.1137/S0036144598335259. JSTOR 2653207. MR 1723002.
^ Mathis, Frank H.; Mathis, Lenora Jane (1995). "A nonlinear programming algorithm for hospital management". SIAM Review. Vol. 37, no. 2. pp. 230–234. doi:10.1137/1037046. JSTOR 2132826. MR 1343214.
^ Ansari, Qamrul Hasan; Lalitha, C. S.; Mehta, Monika (2013). Generalized Convexity, Nonsmooth Variational Inequalities, and Nonsmooth Optimization. CRC Press. p. 107. ISBN 9781439868218. Retrieved 15 July 2019.
^ Mishra, Shashi K.; Giorgi, Giorgio (2008). Invexity and Optimization. Springer Science & Business Media. p. 39. ISBN 9783540785613. Retrieved 15 July 2019.

참조

Floudas, Christodoulos A.; Pardalos, Panos M. (2001), "Generalized monotone multivalued maps", Encyclopedia of Optimization, Springer, p. 227, ISBN 978-0-7923-6932-5.
Mangasarian, O. L. (January 1965). "Pseudo-Convex Functions". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series A. 3 (2): 281–290. doi:10.1137/0303020. ISSN 0363-0129..
Rapcsak, T. (1991-02-15). "On pseudolinear functions". European Journal of Operational Research. 50 (3): 353–360. doi:10.1016/0377-2217(91)90267-Y. ISSN 0377-2217.

[1] 망가사리안 1965년

[2] 망가사리안 1965년

[3] 플루다스 & 파르달로스 2001

[4] 랍삭 1991

[5] 5장:Craven, B. D. (1988). Fractional programming. Sigma Series in Applied Mathematics. Vol. 4. Berlin: Heldermann Verlag. p. 145. ISBN 3-88538-404-3. MR 0949209.

[6] Kruk, Serge; Wolkowicz, Henry (1999). "Pseudolinear programming". SIAM Review. Vol. 41, no. 4. pp. 795–805. doi:10.1137/S0036144598335259. JSTOR 2653207. MR 1723002.

[7] Mathis, Frank H.; Mathis, Lenora Jane (1995). "A nonlinear programming algorithm for hospital management". SIAM Review. Vol. 37, no. 2. pp. 230–234. doi:10.1137/1037046. JSTOR 2132826. MR 1343214.

[Ansari2013-8] Ansari, Qamrul Hasan; Lalitha, C. S.; Mehta, Monika (2013). Generalized Convexity, Nonsmooth Variational Inequalities, and Nonsmooth Optimization. CRC Press. p. 107. ISBN 9781439868218. Retrieved 15 July 2019.

[Mishra2008-9] Mishra, Shashi K.; Giorgi, Giorgio (2008). Invexity and Optimization. Springer Science & Business Media. p. 39. ISBN 9783540785613. Retrieved 15 July 2019.

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[4]

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[9]

v t 볼록 분석 및 변동 분석
주제(목록)	초케 이론 볼록 기하학 볼록 최적화 이중성 라그랑주 승수 레전드르 변환 국소 볼록한 위상 벡터 공간 심플렉스
지도	볼록 결합 오목한 (폐쇄) K- 로그로 적절한 사이비- 준-) 볼록함수 인벡스 함수 레전드르 변환 반연속성 하위생성
주 결과(목록)	에클랜드의 변이 원리 펜첼-모로우 정리 펜첼영 부등식 젠센의 부등식 헤르미트-하다마드 부등식 크레인-밀만 정리 마주르의 보조정리 샤플리-폴크만 보조정리 로빈슨우르세스쿠 시몬스 우르세스쿠
놓다	볼록 선체 (Pseudo-) 볼록 세트 유효 도메인 비문 하이포그래프 존 타원체 조노토프
시리즈	볼록 시리즈 관련 (cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하위) 이상 볼록, (Hx), (Hx)
이중성	이중 시스템 이중성격차 강한 이중성 약한 이중성

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