적절한 볼록 함수

수학 분석에서, 특히 볼록 분석과 최적화의 하위 영역인 적절한 볼록 함수는 비 빈 도메인을 갖는 확장된 실제 값 볼록함수로서,${\displaystyle \mathrm{}}$never {\$displaystyle$ -$\inflt }$ 값을 결코 차지하지 않으며$$$,{\displaystyle }$ 또한 + ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$. ${\displaystyle +\inft.}$과 동일하지 않다.

어디 f{\displaystyle f}그 확장된 실수 라인[− ∞, ∞]에서 평가된다 볼록한 분석과 변분 분석에서, 어떤 일정한 함수 f{\displaystyle f}을 최소화라는 점을(도메인에서)일반적으로,=R∪{± ∞}.{\displaystyle[,\infty-\infty]=\mathbb{R}\cup \{\pm\infty)}.}주석[1]고 있다.한 h점(존재하는 경우)은 함수의 글로벌 최소점이라고 하며, 이 지점에서 그 값을 함수의 글로벌 최소값(값)이라고 한다.함수가 값으로$$ -${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle$ -$\backslash {\displaystyle }$$inflt$$}$을(를)${\displaystyle \mathrm{}}$사용한다면$$- $display$ {\displaystyle -$\inflt$ }은(는) 글로벌 최소값이고$$ 최소화 문제는 대답될 수 있다. 이것이 궁극적으로 "property"의 정의가 함수가 절대 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaysty$ -$\}$을 값으로 사용하지 않도록$$ 요구하는 이유다.이것을 가정할 때, 기능의 영역이 비어 있거나 기능이 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\inflt }$과 동일하다면, 최소화 문제는 다시 한 번 즉각적인 해답을 얻게 된다$$.이러한 세 가지 사소한 경우 중 어느 하나라도 최소화 문제가 해결되지 않는 확장된 실질 가치 함수는 정확히 적절한 기능이라고 불리는 기능이다.함수가 적절해야 한다는 가설을 가진 많은 (전부는 아니지만) 결과들은 이러한 사소한 경우를 제외하기 위해 특별히 이 요구사항을 추가한다.

만약 문제가 대신에 최대화 문제(볼록스보다는 오목하게 되는 함수 등 명확하게 표시될 것임)인 경우, "속성"의 정의는 유사(기술적으로는 다르지만 기술적으로는 다르다) 방식으로 정의된다. 즉 최대화 문제에 즉시 답변할 수 있는 경우는 제외하는 것이다.구체적으로, $오목함수{\displaystyle }$ g$$${\displaystyle$ $g$$}$의 부정이 ${\displaystyle 위}$에서 정의한 의미에서 적절하다면$,{\displaystyle }$ 그 부정이 적절하다고 한다$$${\displaystyle .}$

정의들

Suppose that ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ is a function taking values in the extended real number line ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$ If ${\displaystyle f}$ is a convex function or if a minimum point of ${\displaystyl$$e f}$이(가) 검색되고$$ $있는{\displaystyle }$ 경우 f ${\displaystyle f}$이(가) 적절한 것으로 호출됨$$

( )> - ${\displaystyle f(x)}-\inflt }$ ${\displaystyle \mathrm{모든<img\; alt="f(x)>-\backslash infty\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/405d01adc85f75d34a0c545358e2d7e8fb9a0ff6"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:11.648ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="73">}}$ x ${\displaystyle \in }$ 도메인 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in \operatorname$ {$domain} f}$

그리고 해당 도메인 내에 다음과$$ 같은 점 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 있는 경우

${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\nfty .}$

.[2]이는 일부)∈ 도메인⁡ f{\displaystylex\in \operatorname{도메인}f}에 f())∈ R{\displaystyle f())\in \mathbb{R}이 존재하}와 f{\displaystyle f}또한 있다는 것을 의미한다면, 효율적인 도메인 비공의:함수는 적절하고, 가치 ∞{-\infty\displaystyle}−을 확보하지 않다. never는 -${\displaystyle \mathrm{}\infty .}$ ${\displaystyle -\infit.}$ 적절하지 않은 볼록함수를$$ 부적절한 볼록함수라고 한다.^[3]

적절한 오목함수는 ${\displaystyle \mathrm{정의상}}$ 모든 $함수{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle$ g$:X\to [-\infit,\$infit,\$infit ]}$으로 $f{\displaystyle }$ :=${\displaystyle }$- ${\displaystyle$ f$:==-g}$가 적절한$$ 볼록함수인 것이다.Explicitly, if ${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$ is a concave function or if a maximum point of ${\displaystyle g}$ is being sought, then ${\displaystyle g}$ is called proper if its domain is not empty, it never takes on the value ${\displaystyle +\infty ,}$ and it is not identically-${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle$ -$\infully.}$과(와 같음

특성.

For every proper convex function ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ],}$ there exist some ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ such that

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-r}$

모든 $x{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle x\in$ X$.}$에 대해

두 가지 적절한 볼록함수의 합은 볼록하지만 반드시 적절한 것은 아니다.^[4]For instance if the sets ${\displaystyle A\subset X}$ and ${\displaystyle B\subset X}$ are non-empty convex sets in the vector space ${\displaystyle X,}$ then the characteristic functions ${\displaystyle I_{A}}$ and ${\displaystyle I_{B}}$ are proper convex functions, but if ${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \varnothing }${\$displaystyle$A\$cap$ B$=\varnothing }$ 다음에$$ $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$+ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$I_{B}}$은$({\displaystyle }$는) +$\$ .${\displaystyle }${\$디스플레이$ 스타일 $+\비중$ .}과(와) 동일하다$.$

두 가지 적절한 볼록함수의 극미미한 경련은 볼록하지만 반드시 적절한 볼록한 것은 아니다.^[5]

참고 항목

• 유효 도메인

인용구

참조

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.