이린린 지도

수학에서 이선형 지도는 두 벡터 공간의 원소를 결합하여 제3 벡터 공간의 원소를 산출하는 함수로서, 그 각 주장에서 선형이다. 매트릭스 곱셈이 한 예다.

정의

벡터 공간

$V{\displaystyle }$, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V,W}$ 및 $X$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 동일한 기본 필드 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 대한 세 개의 벡터 공간이 되도록$$ 두십시오$.$ 이선형 맵은 함수입니다.

예를 들어 모든 w ${\displaystyle w}$W ${\displaystyle w\in W}$에$$대해 지도 ${\displaystyle B_{}}$ w ${\$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$까지의 선형 지도와 모든 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in$ V$\}$에 대한 지도 ${\displaystyle B_{}}$ $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $즉$$$$,$ 두 번째 $항목$을 변경하면서${\displaystyle }$이선형 $맵$의 첫 번째 항목을 고정하면 선형 연산자가 되며,$$두 번째 항목을 고정했을 때와 마찬가지로 두 번째 항목을 고정했을 때도 마찬가지로 선형 연산자가 된다$.$

이러한 맵 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 다음 속성을 만족한다$$.

• 모든 $\$ F {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ \$lambda \$in F$\},$ $B{\displaystyle (w}$v${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ )${\displaystyle }$= B${\displaystyle (v}$ ,${\displaystyle w}$ ${\displaystyle )}$=$λB(\lambda v,w)=B(v,\lambda$ w$)=\lambda B(v,$w)=\lambda B(v,$w).$$}$
• The map ${\displaystyle B}$ is additive in both components: if ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ and ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}$ then ${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ and ${\displaystyle B}$${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1}}+B(v,w_{2$$}$

V${\displaystyle }$= ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=W}$이고 ${\displaystyle \mathrm{모든}}V$에 대해 B(v, w) = B(w,$$v)가 있다면$,$ $우리는 B$가 대칭이라고 $말한다$. X가 기준 필드 F인 경우 지도를 이선형이라고 하며, 이선형(예: 스칼라 제품, Inner 제품, 2차 형태 참조)이 잘 학습되어 있다.

모듈.

필드 F 위에 벡터 공간이 있는 대신에 우리는 정류 링 R 위에 모듈을 사용한다면 정의는 아무런 변화 없이 작동한다. n-ari 함수로 일반화되며, 여기서 적절한 용어는 다중선이다.

For non-commutative rings R and S, a left R-module M and a right S-module N, a bilinear map is a map B : M × N → T with T an (R, S)-bimodule, and for which any n in N, m ↦ B(m, n) is an R-module homomorphism, and for any m in M, n ↦ B(m, n) is an S-module homomorphism. 이것으로 만족하다.

B(r ⋅ m, n) = r ⋅ B(m, n)

B(m, n ⋅ s) = B(m, n) ⋅ s

모든 m in M, n in N, r in R 및 s에 대해, 그리고 B는 각 인수에 첨가된다.

특성.

정의의 즉각적인 결과는 v = 0_V 또는 w = 0일_W 때마다 B(v, w) = 0이라는_X 것이다. 이는 0 벡터 0을_V 0 ⋅ 0으로_V 쓰고(그리고 이와 유사하게_W 0에 대해) 스칼라 0을 B 앞에 선형으로 이동시킴으로써 알 수 있다.

모든 이선형 맵의 설정 L(V, W; X)은 V × W에서 X까지 모든 맵의 공간(viz. 벡터 공간, 모듈)의 선형 하위 공간이다.

V, W, X가 유한 치수라면 L(V, W; X)도 유한하다. $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle X=F,},$ 즉$$ 이선형 형태에 대해 이 공간의 치수는 딤 V × 딤 W( 반면에 선형 형태의 공간 L(V × W; F)는 치수 딤 V + 딤 W이다. 이를 보려면 V와 W에 대한 기준을 선택한 다음 각 이선형 맵을 행렬 B(e_i, f_j)로 고유하게 나타낼 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지다. 자, 만약 X가 더 높은 차원의 공간이라면, 우리는 분명히 희미한 L(V, W; X) = 딤 V × 딤 W × 딤 X를 가지고 있다.

예

• 매트릭스 곱셈은 이선형 지도 M(m, n) × M(n, p) → M(m, p)이다.
• 실제 숫자 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 벡터 공간 V가 내부 제품을 운반하는 경우 내부$$ 제품은 양면 지도 V ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle V}$→ $.$ {\$displaystyle V\time V\to \mathb {R}}}$이다$.$
• 일반적으로 필드 F 위에 있는 벡터 공간 V의 경우, V에 있는 이선형식은 이선형 지도 V × V → F와 동일하다.
• V가 이중 공간 V를^∗ 가진 벡터 공간인 경우, 애플리케이션 운영자 b(f, v) = f(v)는^∗ V × V에서 베이스 필드로 가는 이선형 맵이다.
• V와 W를 동일한 기본 필드 F 위에 벡터 공간이 되도록 한다. f가 V의^∗ 멤버이고 g가 W의^∗ 멤버인 경우 b(v, w) = f(v)g(w)는 이선형 지도 V × W → F를 정의한다.
• $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 교차 제품은 이선형 지도 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{3}\time \mathb {R}\mathb${R}\$cH$}\mathb {$R}{3}$ ^3$$}}}}}.$}$
• ${\displaystyle \mathrm{Let}}$ B${\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \times }$ W${\displaystyle }$→ X ${\displaystyle B:$$V{\displaystyle }$$\time W\to X}$은(는) 이선형 맵이고$$ L${\displaystyle }$: U${\displaystyle }$→ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L:$$U\to W}$는 선형 지도가 되고$$, 그러면 (v, u) ↦ B(v, Lu)는 V × U에 이선형 지도가 된다.

연속성 및 분리 연속성

$X{\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{Y}}$, ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X,Y,{\text{$및$}}이($가) 위상학적 벡터 공간이며 $b{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$→ Z ${\displaystyle b:X\time Y\to Z}$이(가) 양면 지도가 되게$$ 한다고 가정합시다. 그 다음 두 조건이 유지될 경우 b는 별도로 연속된다고 한다.

1. 모든 $x{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle X}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle x\in X}$에 대해 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ b${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$이(가) 제공한$$ $지도$ Y${\displaystyle }$→ Z ${\displaystystyle$ $\to$ Z$}$은 연속형이며$$,
2. 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle y\in Y}$에 대해, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mapsto }$ b${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$이(가) 제공한 ${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $X{\displaystyle }$→ Z ${\displaystystyle$ X$\to$ Z$}$은 연속이다$$.

연속성이 아닌 별개로 연속성이 없는 많은 이선형들은 추가적인 속성인 저선량성을 만족한다.^[1] 모든 연속 이선형 지도는 저선형이다.

연속성을 위한 충분한 조건

실제로 일어나는 많은 이선형 지도는 별도로 연속되나 모두 연속되는 것은 아니다. 우리는 여기에 별도로 연속된 이선형들이 연속적이 될 수 있는 충분한 조건들을 열거한다.

• X가 Baire 공간이고 Y를 메트리징할 수 있는 경우, 각각의 개별적인 연속 $이선형{\displaystyle 맵}$ b :${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ Y → ${\displaystyle Z}${\$displaystyle b:X\time Y\to$ Z$}$은 연속적이다$$.^[1]
• $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X,Y,{\text{ 및$}}}이$($^[1]가) Fréchet 공간의 강력한 이중이라면, 각각의 개별적인 연속 이선형 맵 $b{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle Z}$ ${\\displaystyle$ b$:X\time Y\times}$은 연속형이다$$.
• 이선형 지도가 (0, 0)에서 연속이면 도처에서 연속된다.^[2]

구성지도

Let ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ be locally convex Hausdorff spaces and let ${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$ be the composition map defined by ${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$ In general, the bilinear map ${\di$$splaystyle C}$은(선형 맵의 공간은 어떤 위상이 주어지든) 연속적이지 않다. 그러나 우리는 다음과 같은 결과를 가지고 있다.

선형 맵의 세 칸을 모두 다음 위상 중 하나로 지정하십시오.

1. 세 가지 모두에 경계 수렴 토폴로지를 부여한다.
2. 세 가지 모두에 콤팩트 컨버전스 토폴로지를 부여한다.
3. 세 가지 모두에 점적합성의 토폴로지를 부여한다.

• If ${\displaystyle E}$ is an equicontinuous subset of ${\displaystyle L(Y;Z)}$ then the restriction ${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:$$L(X;Y)\time E\to L(X;Z)}$은(는) 세 가지 토폴로지 모두에 대해 연속적이다$$.^[1]
• If ${\displaystyle Y}$ is a barreled space then for every sequence ${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ converging to ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle L(X;Y)}$ and every sequence ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty$$}}$ converging to ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle L(Y;Z),}$ the sequence ${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ converges to ${\displaystyle v\circ u}$ in ${\displaystyle L(Y;Z).$$}$ ^[1]

참고 항목

• 텐서 제품 – 벡터 공간에 대한 연산, 수학 전반에 걸쳐 일반화
• Sesquilinar 형식 – 한 변수에 선형이고 다른 변수에 결합 선형의 두 복합 변수에 대한 스칼라 값 함수
• 양면 필터링
• 다중선 지도 – 다중 벡터의 벡터 값 함수, 각 인수에서 선형

참조

참고 문헌 목록

• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

외부 링크

• "Bilinear mapping", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]