경구(수학)

수학에서 함수 f의 비문 또는 supergraph[1]:X[− ∞, ∞])R}집합,epi ⁡ f에 의해 표시된,{\displaystyle \operatorname{epi}f,}{± ∞}{\displaystyle[,\infty-\infty]=\mathbb{R}\cup \{\pm\infty)}∪[− ∞, ∞]{\displaystyle f:X\to[,\infty-\infty]}그 확장된 진짜 숫자에 가치가 →. 의 Cartesian 제품 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$의 모든 포인트가 그래프 위 또는 위에 표시됨$$.^[2] 엄밀한 경구 ${\displaystyle {에피}_{}}$ S ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$는 그래프 위에 완전히 놓여$$ 있는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$의 점 집합이다$$.

Importantly, although both the graph and epigraph of ${\displaystyle f}$ consists of points in ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ],}$ the epigraph consists entirely of points in the subset ${\displaystyle X\times \mathbb {R} ,}$ which is not necessarily true of the graph of ${\displays$$tyle f.}$ If the function takes ${\displaystyle \pm \infty }$ as a value then ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ will not be a subset of its epigraph ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$ For example, if ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=\infty }$ then the point ${\displaystyle }$${\displaystyle \left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)}$ will belong to ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ but not to ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$ These two sets are nevertheless closely related because the graph 언제나 경구로부터 재구성될 수 있으며, 그 반대의 경우도 마찬가지 입니다.

실제 분석에서 연속적인 실질 가치 함수에 대한 연구는 전통적으로 이러한 함수에 대한 기하학적 정보(및 직관)를 제공하는 집합인 그들의 그래프 연구와 밀접하게 연관되어 왔다.^[2] 경구석은 벡터 공간($예{\displaystyle \mathbb{}}$: R ${\$ 또는$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ \mathb {R})에서 평가되는 연속$$ 함수 대신${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{-}}$ ,$$ $displaystystyle [-\infitty,\infty ]}}$에서 평가된 볼록 함수에 초점을 맞추는 볼록 분석 및 변동 분석 분야에서 이와 동일한 목적을 제공한다.$\mathb {R} ^{$^[2]$2}}.$ 왜냐하면 일반적으로 그러한 기능에 대해서는 기하학적 직관력을 그래프보다 함수의 경구로부터 더 쉽게 얻을 수 있기 때문이다.^[2] 실제 분석에서 그래프를 사용하는 방법과 유사하게, 비문자는 종종 볼록함수의 성질에 대한 기하학적 해석을 제공하고, 가설을 공식화하거나 입증하거나, 또는 백록샘플을 구성하는 데 도움을 주기 위해 사용될 수 있다.

정의

경구 정의는 $함수{\displaystyle }$ 그래프의 정의에서 영감을 얻었으며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$f : X →$$ {\$displaystyle f:X$\to $Y}$의 그래프는 집합으로 정의된다$$.

${\displaystyle \operatorname {graph}f:=\left\{(x,y)\in X\time Y~:~y=f(x)\right\}.}$

The epigraph or supergraph of a function ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ valued in the extended real numbers ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ is the set^[2]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}\{x\}\times [f(x),\infty )~~~{\text{ (all sets being unioned are pairwise disjoint). }}}\end{aignedat}}$

In the union over ${\displaystyle x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}$ that appears above on the right hand side of the last line, the set ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty )}$ may be interpreted as being a "vertical ray" consisting of ${\displaystyle (x,f(x))}$ and all p$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$의 연고 "$$직접적으로 위". 마찬가지로, 함수의 그래프 위 또는 아래에 있는 점 집합은 해당 그래프의 하이픈이다.

엄밀한 비문은 그래프를 제거한 비문이다.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} _{S}f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r>f(x)\right\}\\&=\operatorname {epi} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\{x\}\times (f(x),\infty )~~~{\text{ (all sets being unioned are pairwise disjoint, some may be empty). }}}\end{aignedat}}$

다른 집합과의 관계

Despite the fact that ${\displaystyle f}$ might take one (or both) of ${\displaystyle \pm \infty }$ as a value (in which case its graph would not be a subset of ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$), the epigraph of ${\displaystyle f}$ is nevertheless defined to be a subset of ${\displaystyle X$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$. {\$displaystyle$ X$\time [-\inful,\inful ]$이 아닌$$ $\times$ \$mathb {R}}.$때문에 X{X\displaystyle}은 벡터 공간 그때는 엑스}이 R×{\displaystyle X\times \mathbb{R}}지만 X×[− ∞, ∞]{\displaystyle X\times[,\infty-\infty]}은 결코 벡터 space[2]그 확장된 실수 라인부터([− ∞, ∞]{\displaystyle[,\infty-\infty]}가 아니다 vect는 의도적이다.또는 보다 일반적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 일부 벡터 공간의 비어 있지 않은 부분 집합에 불과할$$ 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle X\time [-\inflit,\infit ]}$은(는) 벡터 공간의 부분 집합도 아니다$$. 비문은 벡터 공간의 서브셋으로 실제 분석 및 기능 분석(및 기타 분야)과 관련된 도구를 보다 쉽게 적용할 수 있다.

함수의 도메인(코도맹이 아닌)은 이 정의에 특별히 중요하지 않다. 즉, $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ {\$displaystyle \mathb{R$} ^{$n}}$ 대신 어떤 선형 공간이나^[1] 임의 집합일^[3] 수도 있다$.$

엄밀한 경구 ${\displaystyle {\mathrm{에피}}_{}}$ S ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$와 ${\displaystyle \mathrm{그래프}}$ ${\displaystyle }$ f ${\displaystyle \operatorname {graph}f}$은(는) 항상 분리된다$$.

함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f:X\to [-\fty,\ft ]$는 그 그래프와 관련성이 있으며$$, 다음에 의해 엄밀한 비문이 된다.

${\displaystyle \,\operatorname {epi}f\,\subseteq \,\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph}f}$

$여기$서 f ${\displaystyle f}$이(가) 실제 값인 경우에만 설정 균등이 유지된다. 그러나

${\displaystyle \operatorname {epi}f=\왼쪽[\operatorname {epi} _{S}f\,\cupername {graph}f\right]\,\cap \,\\cap \times \mathb {R}\right]}$

항상 가지고 있다.

비문으로부터 함수 재구성

비문은 함수가 무한과 동일할 경우에만 비어 있다.

모든 함수를 그래프에서 재구성할 수 있듯이, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$의 확장된 실제 값 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$도 해당 $경구{\displaystyle }$ E ${\displaystyle :=\mathrm{epi}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi}$ f$}$에서 재구성할$$$$$$ 수 있다($$$f$ ${\displaystyley \pm$\pm \pm \pm \pm \pm \f}). 값. Given ${\displaystyle x\in X,}$ the value ${\displaystyle f(x)}$ can be reconstructed from the intersection ${\displaystyle E\cap \left(\{x\}\times \mathbb {R} \right)}$ of ${\displaystyle E}$ with the "vertical line" ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} }$ pass$다음$과 같이$$ x ${\displaystyle x}$을(를) 통해 입력:

• 사례 1: $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$(${\displaystyle }${ ${\displaystyle x\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \times }$ R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle E\cap \left(\{x\}\times \mathb {R} \right)=\varnothes}$인 경우에만, f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) =${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaysty f$(x)=\$infty ,}$
• $사례{\displaystyle }$ 2: $E{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle \cap }$(${\displaystyle }${ x ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ f$(x)=-infty}$인 경우에만$$ 해당된다.
• case 3: otherwise, ${\displaystyle E\cap \left(\{x\}\times \mathbb {R} \right)}$ is necessarily of the form ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty ),}$ from which the value of ${\displaystyle f(x)}$ can be obtained by taking the infimum of the interval.

위의 관찰을 결합하여 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \mathrm{epi}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$. ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f.}$ 특히$$, 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ x$\in$ X$,}$의 관점에서$$ $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystystyle f(x)$에 대한 단일 공식을 제공할 수 있다.

${\displaystyle f(x)=\inf _{}\{r\in \mathb {R} ~:(x,r)\in E\}$

여기서 정의상 inf${\displaystyle \underset{}{}\underset{}{inf}}$ ${\displaystyle :=\mathrm{}\infty .}$ ${\$$displaystyle$ $\inf _{}\varnot :=\infit.}$ 이 공식을$$ 사용하여 $엄격$한 경구 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {\mathrm{epi}}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f}$. ${\displaystyle$ E$:=\operatorname {e}{S}f$$}$f를$$ 재구성할 수도 있다$.$$}$

함수의 특성과 비문 사이의 관계

함수는 비문이 볼록한 집합인 경우에만 볼록하다. 실제 아핀 $함수{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}{}^{}}$→ R ${\$ g$:\mathb {R} ^{n}\to \mathb {R}}}$의 경간은 R ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{n+1$}의 반공간이다$.$$}$

함수는 비문이 닫힌 경우에만 반시점 이하가 된다.

참고 항목

• 유효 도메인
• 하이포그래프(수학)
• 적절한 볼록 함수

인용구

참조

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.
• Rockafellar, Ralph Tyrell (1996년), 볼록스 분석, 프린스턴 대학 출판부, NJ. ISBN 0-691-01586-4.