배럴드 스페이스

수학의 기능적 분석과 관련 영역에서 바레라로 된 공간(또한 쓰여진 바레라로 된 공간)은 그 공간에 설정된 바레라인이 모두 제로 벡터의 이웃인 위상학적 벡터 공간(TV)이다.위상 벡터 공간의 바레일 세트 또는 배럴은 볼록하고 균형잡히고 흡수되고 닫히는 세트다.바렐로 된 공간은 바나흐-슈타인하우스 정리의 형태가 여전히 그들을 지탱하고 있기 때문에 연구된다.바레인이 있는 공간은 부르바키(1950년)에 의해 소개되었다.

통

실제 또는 복잡한 벡터 공간의 볼록하고 균형 잡힌 부분집합을 디스크라고 하며 디스크, 절대 볼록 또는 볼록 밸런스라고 한다.

위상학적 벡터 공간(TV)에 설정된 배럴 또는 바레인은 폐쇄 흡수 디스크인 서브셋이다. 즉, 배럴은 볼록하고 균형 잡히고 닫히고 흡수되는 서브셋이다.

모든 통에는 기원이 들어 있어야 한다.If ${\displaystyle \dim X\geq 2}$ and if ${\displaystyle S}$ is any subset of ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle S}$ is a convex, balanced, and absorbing set of ${\displaystyle X}$ if and only if this is all true of ${\displaystyle S\cap Y}$ in ${\displaystyle Y}$ for e아주 2{2\displaystyle}-dimensional 벡터 부분 공간 Y,{\displaystyle Y.}따라서는 어둑하⁡ X>2{\displaystyle \dim X>2} 다음 요건 X{X\displaystyle}의 2{2\displaystyle}(이하)-dimensional가 있담에 의존하지 않는다가 배럴당는 닫힌 부분 집합이 있는 유일한 정의하는 속성입니다.sctor$X{\displaystyle }$ .${\displaystyle$ X$.}$의 간격

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) TVS일 경우, 원점의 모든 폐쇄 볼록하고 균형 잡힌 주변은 $반드시{\displaystyle }$X {\$displaystyle$ X$}$의 배럴이 된다($$원점의 모든 주변은 반드시 흡수적인 하위 집합이기 때문이다).사실, 모든 국소 볼록한 위상 벡터 공간은 완전히 배럴로 구성된 근린 기반을 가지고 있다.그러나 일반적으로, 원산지 주변이 아닌 통이 존재할 수 있다; "배럴이 있는 공간"은 정확히 모든 통이 반드시 원산지 주변지역인 TVS이다.모든 유한 치수 위상 벡터 공간은 바레인이 있는 공간이기 때문에 원점 부근이 아닌 배럴의 예는 무한 치수 공간에서만 찾을 수 있다.

배럴 및 비배럴의 예

볼록하고 균형잡히고 흡수되는 부분집합은 통이다.이것은 어떤 볼록한 부분집합(존중, 어떤 균형, 어떤 흡수적인 부분집합)의 닫힘은 이와 같은 성질을 가지기 때문이다.

예제 제품군:$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$복잡한 벡터 공간으로 간주되는 경우) 또는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$실제 벡터 공간으로 간주되는 경우)과 동일하다고 가정해 보십시오.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 실제 벡터 공간인지 아니면 복잡한 벡터 공간인지에 관계없이 X ${\displaystyle$ $X$$}$의 모든 배럴은 반드시$$ 원점 부근(따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$은 바레인 공간의 예)이다.Let ${\displaystyle R:[0,2\pi )\to (0,\infty ]}$ be any function and for every angle ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ),}$ let ${\displaystyle S_{\theta }}$ denote the closed line segment from the origin to the point ${\displaystyle R(\theta )e$$^{i\theta }\in \mathbb {C} .}$ Let ${\displaystyle S:=\cup _{\theta \in [0,2\pi )}S_{\theta }.}$ Then ${\displaystyle S}$ is always an absorbing subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (a real vector space) but it is an absorbing subset of ${\displaystyle \mathbb {C}$$}}($복잡한 벡터 공간)(원점 부근일 경우에만 해당).R2{\displaystyle \mathbb{R}^{2}더구나 S{S\displaystyle}은 균형 부분 집합}만일 R(θ))R마다 0≤θ<>에{R(\theta)=R(\pi +\theta)\displaystyle}(π+θ), π{\displaystyle 0\leq \theta<>\pi}( 이러한 경우를 그 R{R\displaystyle}과 S{\displaystyle.S}are completely determined by ${\displaystyle R}$'s values on ${\displaystyle [0,\pi )}$) but ${\displaystyle S}$ is a balanced subset of ${\displaystyle \mathbb {C} }$ if and only it is an open or closed ball centered at the origin (of radius ${\displaystyle 0<r\leq \infty }$).특히 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 배럴은 정확히$$${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,\mathrm{}}$∞ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle(0,\fty$ ])의 반지름이 있는 원점을 중심으로 한 폐쇄형 공이다$.$$}$ If ${\displaystyle R(\theta ):=2\pi -\theta }$ then ${\displaystyle S}$ is a closed subset that is absorbing in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ but not absorbing in ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ and that is neither convex, balanced, nor a neighborhood of the origin in ${$$\displaystyle X.}$ $기능{\displaystyle }$ R${\displaystyle }$, ${\displaystyle R$$,}$을$($를) 적절하게 선택하면$$ 닫히지도 볼록하지도 않은 $R$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}의 균형적이고 흡수적인 부분 집합이$$ 될 수도 있다.로:0≤θ<>π,{0\leq \theta<>\pi\displaystyle,}에 따르R2{\displaystyle \mathbb{R}^{2}S{S\displaystyle}가 되고 흡수, 시스템과 폐쇄적 균형 잡힌 부분 집합}는 것도 볼록도 기원이 있는 지역 가지려면,[0, π){\displaystyle -LSB- 0,\pi)}에 R{R\displaystyle}을 정의 내린다. 알려 주세요${\displaystyle R(\theta ):$계속해서, θ ↘ 0R(θ))R(0)을 lim을 보장하지 않는 미분 가능은 =\pi -\theta}([0에 대안이 될 수 있는 긍정적인 기능, π){\displaystyle -LSB- 0,\pi)};0{\displaystyle \lim_{\theta \searrow 0}(\theta)=R(0)>. 0}일 경우, S{S\displaystyle}, 그리고 만족이 닫혀 있다.${\displaystyle \lim _{\theta \nearrow \pi }R(\theta )=0,}$ which prevents ${\displaystyle S}$ from being a neighborhood of the origin) and then extend ${\displaystyle R}$ to ${\displaystyle [\pi ,2\pi )}$ by defining ${\displaystyle R(\theta ):$$=R(\theta$ -$\pi )}$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{$$2$}에서 균형을 이루도록$$ 보장한다$$.$}$

배럴의 특성

• 위상 벡터 공간(TV) $X$에서${\displaystyle ,}$X ${\displaystyle X}$의 모든$$ 배럴은 $X$의 모든 콤팩트 볼록 부분 집합을 흡수한다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$
• 로컬 볼록한 Hausdorff TVS $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $X$$}$에서 X ${\displaystyle$ X$}$의 모든$$ 배럴은 $X$의 볼록한 전체${\displaystyle }$부분$$ 집합을$$X {\$displaystyle X}$
• If ${\displaystyle X}$ is locally convex then a subset ${\displaystyle H}$ of ${\displaystyle X^{\prime }}$ is ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-bounded if and only if there exists a barrel ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$${\displaystyle H\subseteq$
• $({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle (X,Y,b)}$을(를) 쌍으로 하고$$ $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$}을$$(를) 이중성과 $일치$하는 X ${\displaystyle$X}의 로컬 볼록 위상이 되게 한다.Then a subset ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle X}$ is a barrel in ${\displaystyle (X,\nu )}$ if and only if ${\displaystyle B}$ is the polar of some ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-bounded subset of ${\displaystyle Y.}$^[1]
• Suppose ${\displaystyle M}$ is a vector subspace of finite codimension in a locally convex space ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle B\subseteq M.}$ If ${\displaystyle B}$ is a barrel (resp. bornivorous barrel, bornivorous disk) in ${\displaystyle M}$ then there exists a barrel (resp. bornivorous barrel, bornivorous disk) B${\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$$display$ M. {\$displaystyle$ B=C\$cap$ M${\displaystyle .\}}$과 $X$${\displaystyle$ X$}$의 C ${\$$displaystyle$ $C$$}$

막대형 공간의 특성화

$L{\displaystyle }$${\displaystyle (X;}$ Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle L(X;Y)}$을(를) 기준으로 X ${\displaystyle X}$에서 $Y{\displaystyle }$. ${\displaystyle Y}$까지의 연속$$ 선형 맵 공간 표시

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$이(가) 연속 이중 공간 $′{\$을(를) 가진 Hausdorff 위상학적 벡터 공간(TV)이라면$$, 다음은$$ 동등하다.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 바라인으로 지정되어$$ 있다.
2. 정의:$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 배럴은 원산지 부근이다$$.
   • 이 정의는 색슨[1974년]이 입증한 Baire TVS의 특성화와 유사하며, 그는 모든 흡수 균형 잡힌 $부분집합$이 Y ${\displaystyle Y}$의 특정 지점 부근($$원점은 아님)인 경우에만 TVS $Y{\displaystyle }$ ${\displaysty Y}$가 Baire 공간임을 증명했다.^[2]
3. 모든 Hausdorff TVS $Y{\displaystyle }$. ${\displaystyle Y.}$에 대해 L$($ ; $Y{\displaystyle }$) $displaystyle L(X;Y)}$의 점 경계 부분 집합은$$ 동일하다$$.^[3]
4. 모든 F-공간 ${\displaystyle }$. ${\displaystyle Y.}$에 대해 $L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle L(X;Y)}$의 점 경계 부분 집합은$$ 등거리이다$$.^[3]
   • F-스페이스는 완전한 측정 가능한 TVS이다.
5. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 완전한 측정 가능한 TVS로 연결되는$$ 모든 폐쇄 선형 연산자는 연속적이다.^[4]
   • 선형 지도 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\$$displaystyle$ $F:X\$$to$ Y$}$의 그래프가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ $Y$의 닫힌 부분 집합인 경우 $닫힘$이라고 부른다$$$.$
6. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X}$의 모든$$$$ Hausdorff TVS 토폴로지 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\tau$} -closed$$ set는 $neighborhood$보다 과정임${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \tau.}$

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$이(가) 로컬 볼록한 공간인$$ 경우, 이 목록은 다음을 추가하여 확장할 수 있다.

7. TVS $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 비구체 위상(특히 $Y{\displaystyle }$ ≠${\displaystyle }${${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}${\$displaystyle$ Y$\neq$\{$0$$\backslash \})$을 포함하지$$ 않으므로 $(X$; $)$의 점 경계 $부분집합$은 모두$$ 동일하다.^[2]
8. 로컬 볼록한 TVS $Y{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ Y$}$의 경우 $L{\displaystyle (X}$; Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle L(X;Y)}$의 모든$$ 점 경계 부분 집합은 등거리이다$$.^[2]
   • 지역적으로 볼록한 TVS 클래스에서 바울링된 공간은 균일한 경계 주체가 가진 공간이라는 것은 위의 두 가지 특성에서 따온 것이다.
9. 모든 $\sigma {\displaystyle (X{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle X}$) ${\$$)}$ 경계$$ 부분 $집합$은 등거리$($Banach-Steinhaus 정리와의 부분적인 반전을 제공한다.^[2][6]
10. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$에는 강력한 이중 토폴로지 $\beta {\displaystyle ({}^{}}$, X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ) . $displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right$)가$$ 탑재된다$.$$}$^[2]
11. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 하위 세미콘틴 세미몬은 연속적이다$$.^[2]
12. 로컬 볼록 공간 $Y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle Y$$}$에 들어가는 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 선형 지도 F : X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\$$displaystyle$ F$:X\to$ Y$}$은 거의 연속적이다.^[2]
    • A linear map ${\displaystyle F:X\to Y}$ is called almost continuous if for every neighborhood ${\displaystyle V}$ of the origin in ${\displaystyle Y,}$ the closure of ${\displaystyle F^{-1}(V)}$ is a neighborhood of the origin in ${\displaystyle X.}$
13. 모든 돌출 선형 지도 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle F:$로컬 볼록 공간 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 $Y\to X}$이(가)^[2] 거의 열려 있음
    • 즉, 모든 이웃 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $V$$}($$Y{\displaystyle ),}$ ${\displaystyle$ Y$,}$에 대해 F${\displaystyle (V)}$ ${\$$displaystyle F$$(V)}$의 닫힘이$$ $X$에서 0의 이웃임을 의미한다$.$
14. $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이($가)$ {\$displaystyle \tau }$ -closed$$ 집합으로 구성된 원점에 근린 기반이 있는$$ $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\omega}$의 로컬 볼록 위상이라면 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \tau}$보다 약하다$$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff 로컬 볼록 공간인 경우 다음을 추가하여 이 목록을 확장할 수 있다.

15. 닫힌 그래프 정리:Banach 공간 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 들어가는 모든 닫힌 선형 ${\displaystyle }$ F${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle F:X\to$ Y$}$^[7]는 연속적이다.
    • 선형 연산자의 그래프가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle$ X$\time Y.}$의 닫힌 부분 집합인 경우 선형 연산자를 closed라고 부른다.
16. $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$의 연속 이중 공간 중 $모든$$$부분 집합 A {\$displaystyle A}$에 대해 다음$$ 속성은 동일하다.${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$은^[6](는)
    1. 등거리의
    2. 상대적으로 약하게 소형인
    3. 경계가 강한
    4. 약하게 경계한
17. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 0-근접성 베이스와$$ $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}^{}}$ β ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$의 경계 집합의 기본 계열은 극성에 의해 서로 대응된다$$.^[6]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 측정 가능한 위상 벡터 공간인 경우 다음을 추가하여 이 목록을 확장할 수 있다.

18. 모든 완전한 측정 가능한 $TVS{\displaystyle }$Y .$${\$displaystyle$ Y$.}$의 L(X;${\displaystyle Y}$)${\displaystyle L(X;Y)}$의 점 경계 시퀀스는 동일하다$$.^[3]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬 볼록 메트리징 가능한 위상 벡터 공간인 경우, 이 목록은 다음을 추가하여 확장할 수 있다.

19. (속성 S):$′{\$의 약한* 위상은 순차적으로 완성된다$$.^[8]
20. (Property $C{\displaystyle {}^{}}$): X$′{\$ X$^{\prime}}$의 모든 약한* 경계 부분 $집합$은 ${\displaystyle x{}^{}}$(X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle X}$ ) ${\$ -상대적으로 압축된다.^[8]
21. (barreel)$′{\$의 모든 카운트할 수 있는 약* 경계 부분 집합은$$ 동일하다.^[8]
22. (바이어 유사): $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 어디에도 없는 고밀도 디스크의 증가 시퀀스의 조합이 아니다.^[8]

예제 및 충분한 조건

다음과 같은 위상 벡터 공간은 각각 바레인으로 표시된다.

1. Baire 공간인 TVs.
   • 결과적으로, 그 자체로 두 번째 범주에 속하는 모든 위상학적 벡터 공간은 제한된다.
2. F-스페이스, 프레셰트 공간, 바나흐 공간, 힐버트 공간.
   • 그러나 바레인이 없는 표준 벡터 공간이 존재한다.예를 들어 ${\displaystyle L^{}}$ $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ -space$$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}([0}$, 1 ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle$ L$^{2}([0,1])$을 L ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}(}$[${\displaystyle 0}$, $]),$ {\$displaystyle$ L$^{1}([0,1$))의 하위 공간으로 토폴로지하면 바레인이$$ 되지 않는다$.$
3. 완전한 가위측정 가능한 TV.^[9]
   • 결과적으로, 모든 유한차원 TVS는 제한된다.
4. 몬텔 공간.
5. Montel 공간의 강한 이중 공간(Montel 공간은 반드시 Montel 공간의 강한 이중 공간.
6. 국소적으로 볼록한 준봉선 공간이며, 또한 σ봉선 공간이다.^[10]
7. 순차적으로 완전한 quasibared 공간.
8. 준완전한 하우스도르프는 국소적으로 볼록한 초자연적인 공간이다.^[2]
   • TVS는 닫히고 경계된 모든 부분집합이 완료되면 준완전이라고 불린다.
9. 촘촘한 막대형 벡터 서브스페이스가 있는 TVS.^[2]
   • 따라서 바레인이 있는 공간의 완성은 바레인이 된다.
10. Hausdorff 지역적으로 볼록한 TVS와 밀집한 기라성 벡터 서브 스페이스.^[2]
    • 따라서 기괴한 하우스도르프 지역 볼록한 공간의 완성은 금지된다.^[2]
11. 대차원을 계산할 수 있는 막대형 공간의 벡터 하위 공간.^[2]
    • 특히 막대형 공간의 유한 코드차원 벡터 서브공간이 바레인을 이룬다.
12. 지역적으로 볼록한 울트라베이스 TV.^[11]
13. Hausdorff 로컬 볼록 TVS $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 연속 이중 공간의 모든 약하게 경계된 부분 집합이 등거리인 경우$$.^[12]
14. Banach 공간 $B{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$에 대해 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) B ${\displaystyle B}$에 대한 닫힌$$ 선형 지도가 $반드시{\displaystyle }$ 연속적이어야$$ 한다$.$^[13]
15. 바레인이 있는 공간의 제품.^[14]
16. 국부적으로 볼록한 직접 합과 바렐록된 공간 계열의 귀납 한계.^[15]
17. 바레인이 있는 공간의 몫.^[16][15]
18. Hausdorff는 순차적으로 quasibarated summit TVs를 완성한다.^[17]
19. 국소적으로 볼록한 하우스도르프 반사 공간이 바레인으로 되어 있다.

카운터 예제

• 바레인이 있는 공간은 몽텔, 완전하고 메트리징 가능하며 순서가 없는 바이어와 같은 공간이나 바나흐 공간의 귀납적 한계일 필요는 없다.
• 규범화된 모든 공간에 바레인이 있는 것은 아니다.하지만 그들은 모두 기괴한 사람들이다.^[2]
• 막대형 공간의 닫힌 하위 공간은 계산상으로는 반드시 준 막대형(따라서 꼭 막대형인 것은 아님)^[18]은 아니다.
• Frechette 바레인으로 된 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 촘촘한 벡터 하위 공간이 존재하며, 바레인이 되지 않는다$$.^[2]
• 바레인이 없는 완전한 로컬 볼록한 TV가 존재한다.^[2]
• 무한 차원 벡터 공간에서 가장 훌륭한 국소 볼록 토폴로지는 그 자체의 미미한 부분집합인 하우스도르프 바렐로 된 공간이다(따라서 바이어 공간이 아니다).^[2]

막대형 공간의 속성

바나흐-슈타인하우스 일반화

막대형 공간의 중요성은 주로 다음과 같은 결과에 기인한다.

바나흐-슈타인하우스의 정리는 위의 결과의 귀결이다.^[20]벡터 공간 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 복잡한 숫자로 구성되면$$ 다음과 같은 일반화도 유지된다.

선형 지도 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ {\$displaystyle F:X\to$ Y$}$의 그래프가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$. {\$displaystyle$ X$\times$ Y$}$의 닫힌 부분 집합인 경우 닫힌 지도가 호출된다는$$ 점을 상기하십시오$.$

기타 속성

• 모든 하우스도르프 봉쇄된 공간은 준 봉쇄되어 있다.^[23]
• 막대형 공간에서 국소 볼록형 공간으로 가는 선형 지도는 거의 연속적이다.
• 국소적으로 볼록한 공간에서 바렐록된 공간으로 가는 선형 지도가 거의 열려 있다.
• 막대형 공간의 산물에서 국부적으로 볼록한 공간으로 분리되어 있는 이선형 지도가 저선형이다.^[24]
• 바레인이 있는 ${\displaystyle {TVS}_{}}$에서 B r ${\$B_{$r}$까지 닫힌 그래프가 있는 선형 지도 - 완전한$$ TVS는 반드시 연속적이다.^[13]

참고 항목

• 바레일 집합
• 제한 가능한 공간
• 기괴한 공간 – 다비드 다니엘 덩 아테니는 남수단 출신의 마갈토리아 CES라고 불리는 키지 코지(kiji koji)에서 태어났다.
• 콰시바레 공간
• 초초기파 공간
• 균일한 경계성 원리#일반성 – 점근 경계성이 균일한 경계성을 함축한다는 것을 나타내는 정리
• Ursescu 정리 – 닫힌 그래프의 일반화, 개방형 매핑, 균일한 경계 정리
• 웹베드 공간 – 열린 매핑과 닫힌 그래프 이론이 있는 공간

참조

참고 문헌 목록

• Voigt, Jürgen (2020). A Course on Topological Vector Spaces. Compact Textbooks in Mathematics. Cham: Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC 1145563701.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.