양극 정리

수학에서 조울증 정리는 세트의 조울증(극의 극성)을 특징짓는 기능 분석의 정리다.볼록 분석에서, 양극성 정리는 원뿔이 양극성과 같기 위해 필요하고 충분한 조건을 가리킨다.양극성 정리는 펜첼-모로우 정리의 특수한 경우라고 볼 수 있다.^{[1]: 76–77}

예선

Suppose that ${\displaystyle X}$ is a topological vector space (TVS) with a continuous dual space ${\displaystyle X^{\prime }}$ and let ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$ for all ${\displaystyle x\in X}$ and ${\displaystyle x^{\mathrm{\prime }}\in X^{\mathrm{\prime }}.}$${\displaystyle x^{\premy }.}$ ${\displaystyle \mathrm{공동<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x^\{\backslash prime\; \}\backslash in\; X^\{\backslash prime\; \}.\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/261d436a727b99fd34ed6fdd78fed5e8759b6101"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:8.183ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="51">}}$ $,$ {\$displaystyle \operatorname$ {$co}$ A$,}$에 의해$$ 표시된 집합 A,${\displaystyle$ A$,}$의 볼록 선체는 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystystyle A.}$을 포함하는 가장 작은 볼록 세트다.$$ $A{\displaystyle }$ 세트 ${\displaystyle A}$의 볼록 균형 선체는 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle A$를 포함하는 가장 작은 볼록 균형 세트다$.$$}$

부분 집합 $A{\displaystyle }$polar ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$의 극성은 다음과 같이 정의된다$$.

$부분집합{\displaystyle }$ B${\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ X$^{\prime}}$의 전극은 다음과$$ 같다.$흔히$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ A$\subseteq$ X$,}$의 양극성은 A ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}${\$displaystyle$ A$^{\circle \circle }}$에 의해 표시되는 집합이다$$.

기능분석 명세서

$\sigma {\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$) ${\$는 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X}$의 약한 위상($$$즉{\displaystyle {}^{}}$, 모든 선형 기능을 X$displaysty$ $X$$^{\prem }$에서 연속적으로$$ 만드는$$ ${\$daysty$})$을 나타낸다$$.

양극 정리:^[2]$부분집합{\displaystyle }$ A${\displaystyle x}$ X$${\$displaystyle$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$A$\subseteq X$$}$의 $양극성$은${\displaystyle }A{\displaystyle }$ . ${\displaystyle A$의 볼록 균형 선체의 폐쇄$$$(X,X^{\prime }\rigme)$와 같다$$$.$$}$

볼록해석서

양극 정리:^{[1]: 54 [3]}일부 선형 공간 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$에 있는$$ 비어 있지 않은 원뿔 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 경우 양극 $세트{\displaystyle {}^{}}$ A ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ∘ ${\$}}}은(는) 다음을 통해 제공된다$$.

특수 케이스

A subset ${\displaystyle C\subseteq X}$ is a nonempty closed convex cone if and only if ${\displaystyle C^{++}=C^{\circ \circ }=C}$ when ${\displaystyle C^{++}=\left(C^{+}\right)$$^{+},$ 여기서$$ $A{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ A$^{+}$는 $집합{\displaystyle }$ A${\displaystyle .}$ ${\displaystyle A.}$ 또는 $보다$^[3][4] 일반적으로 C ${\displaystyle C}$이(가) 비어 있지 않은 볼록 콘인 경우 양극성 콘은 다음과 같이 주어진다.

펜첼-모로우 정리와의 관계

내버려두다

콘 $C{\displaystyle .}$ ${\displaystyle C}$의 표시기 함수가 되고, 그 다음 볼록 결합,$C{\displaystyle }$, ${\displaystyle C,}$ $및{\displaystyle {}^{}}$ f$$ ${\displaystyle {}^{}x}$) =${\displaystyle \Delta (x}$ ${\displaystyle C{}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle f^{***(x)=\delta(x$ C$^{\circircle })$에 대한 지원 기능이다.$}$ 따라서$$ $f{\displaystyle }$=${\displaystyle {}^{}}$ = f ∗ . ${\$만약에$$ 그리고 만일 f = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$. ${\displaystyle f=f^{**}.$$}$^{[1]: 54 [4]}

참고 항목

• 이중 시스템
• 펜첼-모로우 정리 - 양극 정리의 일반화.
• 극지 세트 – 듀얼의 특정 포인트에 의해 경계되는 모든 포인트의 부분 집합(듀얼 페어링)

참조

참고 문헌 목록

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.