하위생성

수학에서, 하위분열, 하위분열, 하위분열은 반드시 다를 수 없는 볼록함수에 파생물을 일반화한다.하위 분자는 볼록함수에 대한 연구인 볼록 분석에서 발생하며, 볼록 최적화와 관련된 경우가 많다.

$Let{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle I\mathbb{}}$→ R ${\$$I\to \mathb {R} }$은(는) 실제 선의 열린 간격에 정의된 실제 값 볼록함수다$$.그러한 기능이 모든 점에서 다를 필요는 없다.예를 들어 절대값 함수 f(x)=x는 x=0일 때 구별할 수 없다.단, 오른쪽 그래프(파란색 f(x)에 절대값 함수와 유사한 구별할 수 없는 꼬임이 있는 경우)에서 볼 수 있듯이, 함수의 영역에 있는 x에₀ 대해 f의 그래프에 닿거나 닿는 모든 곳에 있는 점(x₀, f(x₀)을 통과하는 선을 그릴 수 있다.그러한 선의 기울기를 하위 분자(선들이 f의 그래프 아래에 있기 때문에)라고 한다.

정의

엄격히 볼록함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle I\mathbb{}}$→ R ${\$열린 간격의 점 x에₀ 있는 I\to $\mathb${R$}$ }은(는) 다음과 같은 실제 숫자 c이다.

내 안의 모든 x에 대해서.볼록함수에 대한 x의₀ 하위 계통 집합이 비어 있지 않은 간격[a, b]이며 여기서 a와 b는 단측 한계임을 알 수 있다. 그것은 존재하며 b b를 만족시킬 것을 보장한다.^{[citation needed]}

모든 하위 계통의 집합 [a, b]를 x에서₀ f함수의 하위 차등이라고 한다. f가 볼록하고 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에서 하위 계수가 정확히 하나 포함되어$$ 있다면, ${\displaystyle f_{}}$는 $x{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$에서 구별할 수 있다$.$^[1]

예

볼록한 f(x)= x 함수를 고려한다.그 다음, 원점에서의 차동차는 구간 [-1, 1]이다.임의 지점 x₀<0에서 하위 차동(subdifferential)은 싱글톤 세트 {-1}이고, 임의 지점 x₀>0에서 하위 차동(subdifferential)은 싱글톤 세트 {1}이다.이것은 부호 함수와 유사하지만, 가능한 모든 하위 계수를 포함하는 0의 단일 값 함수는 아니다.

특성.

• 볼록 함수 f:I→R은 만약 하위 차분이 x에서₀ 파생상품인 1점만 구성된다면 x에서₀ 구별할 수 있다.
• 점 x는₀ 0이 하위 차동에 포함되는 경우, 즉 위의 그림에서 f의 그래프(x₀, f(x₀))에 수평 "하위차선"을 그릴 수 있는 경우에만 볼록함수의 전역 최소값이다.이 마지막 속성은 국소적 최소치로 상이한 기능의 파생상품이 0이라는 사실을 일반화한 것이다.
• $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ $및{\displaystyle }$ g$$ ${\$$displaystyle$ $g}$이(가) 하위 차동${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{diff}}$(${\displaystyle x)}${\$displaystyle$ $\partial$ $f$$($$x$$)}$ 및$$ $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ g$(x)$가 있는 볼록 함수인$$ 경우, $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle x}$이 하나의 내부 포인트가 되는$$ $f{\displaystyle +}$ ${\data.$$\partial {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle f}$+ ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)}$이다($$여기서 추가 연산자는 민코스키 합계를 나타낸다).이것은 "합계의 하위 차분은 하위 차이의 합"으로 읽힌다.^[2]

졸업반

하위분열 및 하위차이의 개념은 여러 변수의 함수로 일반화될 수 있다.f:U→ R이 유클리드 공간 R에ⁿ 있는 볼록스 오픈 세트에 정의된 실제 값 볼록함수라면, U에 있는$$ 어떤 x에 대한 경우 그 공간의 $벡터{\displaystyle }$ v ${\displaystyle$ v$}$을(를) U에 있는 지점₀ x에서 하위 등급이라고 한다.

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot(x-x_{0})}$

여기서 점은 도트 제품을 나타낸다.x에서₀ 모든 하위 세그먼트의 집합을 x에서₀ 하위 차동이라고 하며 ∂f(x₀)로 표시한다.서브디젤은 항상 비어 있지 않은 볼록한 콤팩트 세트다.

이러한 개념은 볼록함수 f:U→ 국소 볼록 공간 V에 설정된 볼록 위의 R.이중 공간 V의$$^∗∗ 기능 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) 모든 x가 U인 경우 x에서₀ 하위 단계라고 함

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).}$

x에서₀ 모든 하위 그라데이션의 집합을₀ x에서 하위 차동(subdifferential)이라고 부르고 다시 ∂f(x₀)로 표시한다.서브디젤은 항상 볼록한 닫힌 세트다.빈 집합이 될 수 있다. 예를 들어 볼록하지만 하위 계층이 없는 무한 연산자를 고려해 보십시오.f가 연속인 경우, 하위 차동도 비빈다.

역사

볼록함수에 대한 하위 차등성은 장 자크 모로와 R에 의해 도입되었다. 1960년대 초의 Tyrrell Rockafellar.비콘벡스 기능에 대한 일반화된 하위 차동성은 1980년대 초 F.H. 클라크와 R.T. Rockafellar에 의해 도입되었다.^[3]

참고 항목

• 약한 파생상품
• 소분법

참조

• Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Convex Analysis and Nonlinear Optimization : Theory and Examples (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
• Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. World Scientific Publishing Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.

외부 링크

• "Uses of ${\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}}$". Stack Exchange. July 15, 2002.