복합결합벡터공간

수학에서 복합 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\$ V$\}$의 복합 결합은 복합 벡터 공간 $V{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $'{\$로$,$ $V{\displaystyle }$, ${\displaystyle V}$와 원소 및 첨가 그룹 구조가 동일하지만$$ 스칼라 곱셈은 스칼라의 결합을 수반한다.즉, $V$의 ${\$의 스칼라 곱셈이 만족하는$$ 것이다.

where ${\displaystyle *}$ is the scalar multiplication of ${\displaystyle {\overline {V}}}$ and ${\displaystyle \cdot }$ is the scalar multiplication of ${\displaystyle V.}$ The letter ${\displaystyle v}$ stands for a vector in ${\displaystyle V,}$${\displaystyle \alpha }$ is a comp렉스 번호와 $\alpha$의${\$displaystyle \$property$}}은$($는) $\alpha {\displaystyle }$.${\displaystyle$\$\.}$의 복합 결합체를 의미한다.

구체적으로는 복잡한 결합 벡터 공간은 결합 선형 복합 구조 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}($$i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 의한 다른 곱셈)과 동일한 기초의 실제 벡터 공간(점 집합, 동일한 벡터 추가 및 실제 스칼라 곱셈)이다.$$

동기

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ $및$ W ${\displaystyle W}$이(가) 복잡한 벡터 공간인$$ 경우 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:$$V\to W}$은(는) 다음과 같은 경우 반선형입니다.

결합 벡터 공간 ${\${\$overline{V}}$을$($를) 사용하여 반선형 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ W ${\displaystyle f:$$V\to W}$ 유형의 $일반{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 선형 지도 →${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle {\overline{V}\to$ W$.}$ 참조로 선형성을$$ 확인할 수 있다$$.반대로 $V$의${\$에 정의된 선형 지도는 $V$. ${\displaystyle$ V$.}$에 반선형 지도가 나타난다.

$이$는 $오른쪽{\displaystyle {}^{}}$ R ${\$$displaystyle$ $R$$}$ -모듈을 왼쪽 $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle o^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$$displaystyle$ R$^{$${\displaystyle \mathrm{op}}$$}$ -모듈로$$ 간주할 수 있도록$$ 반대쪽 링을 $정의$할 때와 ${\displaystyle {같은}^{}}$ $기본$ 원리다$.$${\displaystyle C^{op}\to D.$$}$

복합 결합 펑터

선형 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ W ${\$$V\to W\}$은${\displaystyle \stackrel{}{(}}$는) 해당하는 선형 지도 $f$를 생성하는데${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 이}$는 $f{\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle$f.} {\$displaystyle$ f$.}$과(와) 동일한 동작을 하는$$ ${\displaystyle f.}{\$$displaystyle$ {$f}$은(는) 스칼라 곱셈을 보존하기$$ 때문이다${\displaystyle \stackrel{}{.}}$

따라서 복합 결합 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle V\stackrel{}{}}$↦ V ${{\$ $및$ f ${\displaystyle \mapsto }$ $↦{\$는 복합 벡터 공간의 범주에서 functor를 자체로 정의한다$$.

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 및$$ W ${\displaystyle$ $W$$}$이(가) 유한 치수이고 지도 $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle f$$}$이(가) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$의 B$$$$ ${\displaystystyle {B}$ 및${\displaystyle }$$C$ ${\displaystytype {C}$에 대한$$ 설명인 $,$${\displaystyle W,}$ then the map ${\displaystyle {\overline {f}}}$ is described by the complex conjugate of ${\displaystyle A}$ with respect to the bases ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ of ${\displaystyle {\overline {V}}}$ and ${\displaystyle {\overline {\mathcal$$W$의 ${\displaystyle \stackrel{}{\{\{}}$$C}}}.$${\displaystyle {\overline {W}}.$$}$

접합부의 구조

벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$과(와) $V$의${\$은(는) 복잡한 숫자에 대해 동일한 치수를 가지므로$$ 복잡한 벡터 공간과 같은 이형성이 있다.그러나 V ${\displaystyle V}$에서 $V$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$.${\displaystyle {\overline {V}$까지 자연적인 이형성은 존재하지 않는다.$}$

이중접합 $V$의${\$displaystyle${V}}}$은(는) $V{\displaystyle .}${\$displaystyle V.}$와 동일하다${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{.}}}$

힐버트공간의 복합적 결합

Given a Hilbert space ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (either finite or infinite dimensional), its complex conjugate ${\displaystyle {\overline {\mathcal {H}}}}$ is the same vector space as its continuous dual space ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }.}$ There is one-to-one antilinear correspon연속 선형 함수와 벡터 사이의 dence즉, $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대한 모든 연속 선형 기능은 어떤 고정 벡터에 대한 내부 곱셈이며$$,^{[citation needed]} 그 반대의 경우도 마찬가지다.

따라서 $벡터{\displaystyle }$ v${\displaystyle }$, ${\displaystyle v,$ 특히$$ 유한 치수 사례에서 복합 결합체는 $v{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\$v-dager, column v 벡터 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ v$})$로 나타낼 수 있다.$$$$양자역학에서 케트 벡터${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \, \psi \angle }$에 대한 결합은 $⟨{\displaystyle }$ ⟨ ${\displaystyle \psi }$ ψ $displaystyle \langle \psi \,}$ $$– 브라 벡터(브라켓 표기법 참조)로 표시된다$$.

참고 항목

• 반물질적 공간
• 선형 복합구조 – 수학 개념
• 리에즈 표현 정리

참조

추가 읽기

• 부디니치, P.와 트라우트만 A.스피노럴 체스 보드.스프링거-베를라크, 1988년ISBN 0-387-19078-3. (복합 결합 벡터 공간은 섹션 3.3, 페이지 26에서 논의한다.)