인수(복소수 분석)

수학(특히 복소해석학)에서 arg(z)로 표기되는 복소수 z의 인수는 그림 1의$\theta {\displaystyle }$ {$displaystyle \varphi }$와 같이 복소수 평면에서 원점과 z를 연결하는 선 사이의 각도이다.0이 아닌 복소수로 동작하는 다중값 함수입니다.단일값 함수를 정의하려면 인수의 주요 값(Arg z라고도 함)이 사용됩니다.이 값은 간격(- ', ')^[1][2] 내에 있는 인수의 고유한 값으로 선택되는 경우가 많습니다.

정의.

복소수 z = x + iy의 인수(arg(z))는 다음과 같은 두 가지 방법으로 정의된다.

1. 기하학적으로 복소평면에서는 양의 실축에서 z를 나타내는 벡터까지의 2D $(\displaystyle$ \$varphi)$로 한다.숫자 값은 라디안 단위의 각도로 제공되며 시계 반대 방향으로 측정하면 양수입니다.
2. 대수적으로, 임의의 실수량으로서$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \varphi)$는 다음과 같습니다.
   $$(\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi })$$

   
   몇 가지 양의 실수 r에 대해 설명합니다(오일러 공식 참조).수량 r은 z의 계수(또는 절대값)로, z:
   $${\displaystyle r=syslogrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

   

계수의 경우 size, 인수의 경우 ^[3][1]phase라는 이름이 동일하게 사용되는 경우가 있습니다.

두 정의 모두 0이 아닌 복소수의 인수는 많은 가능한 값을 가지고 있음을 알 수 있다. 첫째, 기하학적 각도로서 전체 원의 회전은 점을 바꾸지 않으므로 오른쪽 그림 2와 같이 2µ 라디안의 정수 배수(완전한 원)에 의해 다른 각도는 동일하다.마찬가지로, sin과 cos의 주기성으로부터, 두 번째 정의도 이 속성을 가지고 있다.0 인수는 일반적으로 정의되지 않은 상태로 유지됩니다.

대체 정의

복잡한 인수는 또한 복잡한 근의 관점에서 대수적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

이 정의는 아크탄젠트와 같이 계산하기 어려운 다른 함수에 대한 의존을 제거할 뿐만 아니라 분할 정의의 필요성을 제거합니다.루트의 관점에서 정의되기 때문에 제곱근의 주요 분기도 자신의 주요 분기로 상속됩니다.z$${$displaystyle$ z$}$를 z${\displaystyle }${$displaystyle$ z$}$로 나누어 정규화하는 것은 올바른 값으로 수렴하기 위해 필요하지 않지만 수렴 속도를 높이고 arg$style$ ( 0 ) ${displaystyle$ \$arg ($0${\displaystyle }$)를 정의하지 않도록 ${\displaystyle \mathrm{합니다}}$.

원금값

원점 주위를 완전히 회전하면 복잡한 숫자가 변경되지 않기 때문에 원점을 여러 번 돌리면 ${\$ { $displaystyle$\ $varphi$}를 선택할 수 있습니다.이는 다치(설정값) $함수{\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ,y}$ ) $=$ ${\displaystyle \arg }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle i}$y $){displaystyle$ f$(x,y$)=\$displaystyle(x+iy$의 표현인 그림 2에 나타나 있습니다. 여기서 수직선(그림에 표시되지 않음)은 해당 포인트에 대해 가능한 모든 선택 각도의 높이를 나타냅니다.

잘 정의된 함수가 필요한 경우 주값으로 알려진 일반적인 선택은 개방 닫힘 간격(-π rad, π rad)의 값, 즉 -π ~ rad radians(-180° 자체를 제외한 -180 ~ +180도)입니다.이것은 양의 실제 축에서 어느 방향으로든 최대 반원까지의 각도를 나타냅니다.

일부 저자는 주 값의 범위를 닫힌 개방 간격에 있는 것으로 정의한다[0, 2µ].

표기법

주요 값은 Arg z와 같이 첫 글자가 대문자로 표시되는 경우가 있습니다.특히 인수의 일반 버전도 고려되고 있는 경우에는 더욱 그렇습니다.표기법이 다르기 때문에 arg와 arg는 다른 텍스트로 교환될 수 있습니다.

인수의 가능한 모든 값의 집합은 Arg로 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

$\displaystyle \displaystyle(z)=\{\operatorname {Arg}(z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.$

현실과 상상의 부분으로부터 계산

복소수가 실수와 허수의 관점에서 알려져 있는 경우, 주값 Arg를 계산하는 함수를 2변수 아크탄젠트 함수 atan2라고 합니다.

$displaystyle \operatorname {Arg$$\operatorname {atan2}(y,,x$

atan2 함수(arctan2 또는 기타 동의어라고도 함)는 많은 프로그래밍 언어의 산술 라이브러리에서 사용할 수 있으며 일반적으로 (-π, ^[1]π) 범위의 값을 반환합니다.

많은 텍스트에서 y/x는 기울기이고 arctan은 기울기를 각도로 변환하기 때문에 값이 arctan(y/x)으로 지정된다고 합니다.이것은 x > 0일 때만 정확하기 때문에 몫이 정의되고 각도가 -θ/2와 θ/2 사이에 있지만, 이 정의를 x가 양수가 아닌 경우로 확장하는 것은 상대적으로 중요합니다.구체적으로는 2개의 하프플레인x > 0과 x <0(부정 x축에 대해 분기 절단을 원하는 경우 2개의 사분면으로 구분), y > 0, y < 0에 각각 인수의 주요 값을 정의하고 패치를 적용할 수 있습니다.

${\displaystyle\operatorname{Arg}(x+iy)=\operatorname{atan2}(y,\,x)={\begin{경우}\arctan \left({\frac{y}{x}}\right)&,{\text{만약}}x>, 0,\\\arctan \left({\frac{y}{x}}\right)+\pi&{\text{만약}}x<, 0{\text{과}}y\geq0,\\\arctan \left({\frac{y}{x}}\right)-\pi&{\text{만약}}x<, 0{\text{과}}y<, 0,\\+{\frac{\pi}{2}}&{\text{만약}}x=0{\text{과}}y>, 0,\\-{\frac{\p.나는}{2}}&{\text{만약}}x=0{\text{및 }}y <0,\{\text{f}}x=0xtext{및 }}y=0.\end {case}}$

4개의 겹치는 하프플레인이 있는 콤팩트 표현은

${\displaystyle\operatorname{Arg}(x+iy)=\operatorname{atan2}(y,\,x)={\begin{경우}\arctan \left({\frac{y}{x}}\right)&,{\text{만약}}x>, 0,\\{\frac{\pi}{2}}-\arctan \left({\frac{x}{y}}\right)&,{\text{만약}}y>, 0,\\-{\frac{\pi}{2}}-\arctan \left({\frac{x}{y}}\right)&,{\text{만약}}y<, 0,\\\arctan \left({\frac{y}{x}}\right)\pm\pi&{\text{만약}}x<, 0,\\{\text{한정되지 않은}.}&{\text{만약}}x=0{\text{과}}y=0.\end{case}}$

Arg가 간격 [0, 2']에 포함되도록 정의된 바리안트의 경우 음수일 때 위의 값에 2'를 더하면 값을 구할 수 있습니다.

또는 접선 반각 공식을 사용하여 원점을 제외한 함수를 균일한 방법으로 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle\operatorname{Arg}(x+iy)=\displaystyle 2\arctan \leftfrac {y}{\displayrt {x^2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if}}x>0neq0,\pi &{\text{if}x<0next{및}}}y=0,\{\text{f}}&{\text{if}}x=0neq{\neq}x}x<0,\pi&{\text{\text}}}.\end {case}}$

이는 유리함수에 의한 원의 파라메이션(음수 x축 제외)에 기초한다.이 Arg 버전은 부동 소수점 계산에는 충분히 안정적이지 않지만(영역 x < 0, y = 0 부근에서 오버플로할 수 있으므로) 기호 계산에 사용할 수 있습니다.

오버플로를 회피하는 마지막 공식의 변형은 고정밀 계산에 사용되는 경우가 있습니다.

${\displaystyle\operatorname{Arg}(x+iy)={{case}\displaystyle 2\arctan \leftfrac {\displayrt {x2}+y^{2}}-x}{y}\right}&{\text{if}}y\neq 0,\0&{\text{case}}\text {\pi}\text}\text {\text}\text}\text}}\end {case}}$

아이덴티티

주요 값 Arg를 정의하는 주요 동기 중 하나는 복소수를 계수 인수 형식으로 쓸 수 있는 것이다.따라서 임의의 복소수 z에 대해

${\displaystyle z=\left z\right e^{i\operatorname {Arg} z}.}$

이는 z가 0이 아닌 경우에만 유효하지만 Arg(0)가 정의되지 않은 형태가 아닌 불확정 형식으로 간주되는 경우에는 z = 0에 대해 유효하다고 간주할 수 있습니다.

몇 가지 신원은 다음과 같습니다.z와₁₂ z가 0이 아닌 복소수이면

${\displaystyle {begin{aligned}\operatorname {Arg}(z_{1})&\equiv \operatorname {Arg}(z_{1})+\operatorname {Arg}(z_{2}){\pmod {mathbb {R} / 2\pi \mathbbbb {Z}\opername {Arg}\opername}\opername\end { aligned}}$

z 0 0 및 n이 임의의 정수일 경우^[1]

$\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg}(z){\pmod {mathbb {R} / 2\pi \mathbb {Z}}}}.$

예

${\displaystyle \operatorname {Arg} {\frac {-1-i} {\biggr}}=\operatorname {Arg}(-1-i)-\operatorname {Arg}(i)=-{\frac {3\pi}{4}-{\fracpi}}={\frac} {i} {i}}$

복소수 로그 사용

${\displaystyle z^{}}$ $= z$ ${\displaystyle e{}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ Arg ${\displaystyle {(}^{}}$ ${\displaystyle {（}^{}}$ $z$ {$displaystyle$ z = z e$^{i\operatorname$ {$Arg}($z)}$$${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \frac{n}{}}$z${\displaystyle \frac{}{}}$\ $displaystyle \operatorname {Arg} (z$ $= iln\ frac$ {$z}$$}$ 이 ${\displaystyle \mathrm{사용}}$되면 쉽게 따라갑니다.

확장 인수

숫자 z의 확장 인수(${\displaystyle \stackrel{}{\arg }}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle z}$) {$displaystyle {overline {arg }}}(z$ )는 arg${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$z$$) { $displaystyle \arg (z)$ } modulo$$ 2$$ { $displaystyle$\pi$$^[4]$}$에 ${\displaystyle \mathrm{일치}}$하는 모든 실수의 집합입니다.

레퍼런스

참고 문헌

외부 링크

• 수학 백과사전의 논거.