변위성

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선형 대수학에서 n-by-n 제곱 행렬 A는 다음과 같은 n-by-n 제곱 행렬 B가 존재하는 경우, 반전성(비반변성 또는 비반감성)이라고 불린다.

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\ }$

여기서 나는_n n-by-n 아이덴티티 매트릭스를 나타내며 사용된 곱셈은 일반 매트릭스 곱셈이다. 이 경우 행렬 B는 A에 의해 고유하게 결정되며, A에⁻¹ 의해 표시된 A의 (복제) 역이라고 한다.^[1] 매트릭스 반전(Matrix Inversion)은 주어진 반전 매트릭스 A에 대한 이전 방정식을 만족하는 매트릭스 B를 찾는 과정이다.

뒤집히지 않는 정사각형 행렬을 단수형 또는 퇴행형이라고 한다. 정사각형 행렬은 그 결정 요인이 0인 경우에만 단수가 된다.^[2] 단수 행렬은 제곱 행렬의 항목이 숫자 선이나 복잡한 평면의 어떤 유한 영역에서 무작위로 선택된 경우 행렬이 단수일 확률은 0, 즉 "거의 절대" 단수일 것이라는 점에서 드물다. 비제곱 행렬(m ≠ n)은 역 행렬을 가지지 않는다. 그러나 어떤 경우에는 그러한 행렬이 왼쪽 역행 또는 오른쪽 역행렬을 가질 수 있다. A가 m-by-n이고 A의 등급이 n(n m m)과 같다면 A는 좌측 역, 즉 BA = I와_n 같은 n-by-m 행렬 B를 가지고 있고, A가 m(m n n)을 가지고 있다면 AB_m = I와 같은 우측 역, n-by-m 행렬 B를 가지고 있다.

가장 일반적인 경우는 실제 또는 복잡한 숫자에 대한 행렬이지만, 이 모든 정의는 링 위에 있는 행렬에 대해 주어질 수 있다. 그러나, 반지가 상쇄적인 경우, 사각 행렬이 반전될 수 있는 조건은 결정 인자가 링에서 반전될 수 있다는 것이며, 일반적으로 0이 아닌 것보다 엄격한 요건이다. 비확정 링의 경우, 일반적인 결정 인자는 정의되지 않는다. 계급 개념이 고리 위에 존재하지 않기 때문에, 좌뇌 또는 우뇌의 존재 조건은 더 복잡하다.

매트릭스 곱셈(및 링 R의 입력)의 작동과 함께 n × n의 반전성 행렬 집합은 그룹을 형성하며, 도 n의 일반 선형 그룹은 GL_n(R)을 나타낸다.

특성.

반전 매트릭스 정리

A를 필드 K(예: 실제 숫자의 필드 R) 위에 있는 n X 제곱 행렬이 되도록 한다. 다음 문장은 동등하다(즉, 주어진 행렬에 대해 모두 참이거나 모두 거짓이다).^[3]

AB = I_n = BA와 같은 n-by-n 행렬 B가 있다.

행렬 A는 왼쪽 역(BA = I와 같은 B) 또는 오른쪽 역(즉, AC = I와 같은 C가 존재함)을 가지며, 이 경우 왼쪽과 오른쪽 역이 모두 존재하고 B = C = A가⁻¹ 있다.

A는 되돌릴 수 없고, 즉 A는 역성을 가지고 있고, 비경화적이며, 비경화적이다.

A 행은 n-by-n ID 매트릭스 I과_n 동일하다.

A는 n-by-n ID 매트릭스 I과_n 동일하다.

A에는 피벗 위치가 n개 있다.

A에는 전체 계급이 있다. 즉, A = n 등급이다.

A=n 등급을 기준으로 Ax = 0 등식은 사소한 해법 x = 0만 가지며, Ax = b 등식은 K의ⁿ 각 b에 대해 정확히 하나의 해법이 있다.

A의 커널은 사소한 것으로서, 즉 원소로서 null 벡터만 포함하고, ker(A) = {0}.

A의 열은 선형적으로 독립적이다.

A span K의ⁿ 열.

콜ⁿ A = K.

A의 열은 K의ⁿ 기초를 이룬다.

선형 변환 매핑 x to Ax는 K에서ⁿ K로ⁿ 바이어스된다.

A를 0으로 꺾다 일반적으로 정류 링 위의 사각 행렬은 결정 인자가 해당 링의 단위인 경우에만 변환할 수 있다.

숫자 0은 A의 고유값이 아니다.

전치 A는^T 변위할 수 없는 행렬이다(A의 행은 선형적으로 독립적이며, K를ⁿ 스팬하며, K의ⁿ 기초를 형성한다).

행렬 A는 기초 행렬의 유한한 산물로 표현할 수 있다.

기타 속성

또한 다음 속성은 반전성 매트릭스 A에 대해 유지된다.

• (A⁻¹)⁻¹ = A;
• (kA)⁻¹ = 0이 아닌 스칼라 k의 경우 kA⁻¹⁻¹;
• (Ax)⁺ = A에 직교 기둥(Moore-Penrose 역기둥을 나타내며 x가 벡터인 경우 xA⁺⁻¹;
• (A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T;
• 모든 변환 불가능한 n-by-n 행렬 A 및 B의 경우, (AB)⁻¹ = BA⁻¹⁻¹. 보다 일반적으로 A₁, ..., A가_k 변환 불가능한 n-by-n 행렬이라면 (AA₁₂)AA_k−1k)⁻¹ = AA190⁻¹
  _k⁻¹
  _k−1A⁻¹
  ₂A⁻¹
  ₁;
• 멈춤⁻¹ A = (상세 A)⁻¹

행렬 U의 역행렬 V의 행은 U의 열에 직교한다(그리고 그 반대도 열의 행을 교환한다). To see this, suppose that UV = VU = I where the rows of V are denoted as ${\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }}$ and the columns of U as ${\displaystyle u_{j}}$ for ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$. Then clearly, the Euclidean inner product of any two ${$$\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}=\delta _{i,j$ 이 속성은 U의 열에 대한 직교 벡터 집합(그러나 반드시 직교 벡터는 아님)이 알려져 있는 경우에 정사각형 행렬의 역을 구성하는 데도 유용할 수 있다. 이 경우, 이 초기 집합에 반복 Gram-Schmidt 프로세스를 적용하여 역 V의 행을 결정할 수 있다.

그 자체의 역행렬(즉 A = A⁻¹, A = A와 A² = I와 같은 행렬 A)인 행렬을 비자발행 행렬이라고 한다.

애드주게이트와 관련하여

A $행렬$의 애드주게이트 {\$displaystyle$ A$}$을(를$$) $사용$하여$$다음과 $같이$ A {\displaystyle $A}$의 반전을 찾을 수 있다$$.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 변환 불가능한 매트릭스인 경우

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}}(\operatorname {adj})(A)).}$

ID 매트릭스와 관련하여

다음과 같은 매트릭스 곱셈의 연관성에서 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {I} \ }$

유한 제곱 행렬 A와 B의 경우, 또한

${\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} \ }$^[4]

밀도

실수의 영역 위에 R의^n×n 부분 집합으로 간주되는 단수 n-by-n 행렬 집합은 null 집합, 즉 Lebesgue의 측정값이 0이다. 단수 행렬이 결정함수의 근원이기 때문에 이것은 사실이다. 이것은 행렬의 항목에서 다항식이기 때문에 연속함수다. 따라서 측정 이론의 언어에서는 거의 모든 n-by-n 행렬을 되돌릴 수 없다.

더욱이, n-by-n-vertible 매트릭스는 모든 n-by-n 매트릭스의 위상학적 공간에 있는 밀도 높은 오픈 세트다. 마찬가지로, 단수 행렬의 집합은 닫히고 n-by-n 행렬의 공간에는 밀도가 없다.

그러나 실제로 어떤 사람은 돌이킬 수 없는 행렬을 만날 수 있다. 그리고 수치 계산에서, 수치로 환산할 수 없지만, 수치로 환산할 수 없는 행렬에 가까운 행렬은 여전히 문제가 될 수 있다; 그러한 행렬은 조건이 좋지 않다고 한다.

예

n-1의 순위가 변환 불가능한 행렬인 예제

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}.}$

이 2*2 매트릭스의 순위는 n-1nn인 1을 쉽게 볼 수 있으므로, 그것은 불가역 매트릭스다.

다음 2-by-2 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\1&-1\end{pmatrix}}.}$

행렬 $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ }은$($는) 변환할 수 없다$$. $이$를 확인하려면 0이 아닌 B$$=$$- $\frac{1}{}$ $2\frac{\mathrm{}}{}$ ${\$}}:}을$($를 계산할 수 있다.

비반환성 또는 단수 행렬의 예로서 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle \mathbf{C} ={\begin{pmatrix}-1&{\\tfrac {3}{2}}\\\tfrac {2}{3}-1\end{pmatrix}}}.}$

$C{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 결정 인수는 0이며$$, 이는 행렬이 반전되지 않는 데 필요한 충분한 조건이다.

행렬 반전 방법

가우스 제거

가우스 제거는 행렬의 역행렬을 계산하는 유용하고 쉬운 방법이다. 이 방법을 사용하여 행렬을 역행렬로 계산하려면 먼저 왼쪽이 반전 행렬이고 오른쪽이 ID 행렬인 증강 행렬이 생성된다. 그런 다음 가우스 제거를 사용하여 왼쪽을 ID 매트릭스로 변환하여 오른쪽을 입력 매트릭스의 역행렬로 한다.

예를 들어 =(- 1 - 1). ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\1&-1\end{pmatrix}}}$을(를) 선택하십시오.$}}$ 역산정을 위한 첫 번째 단계는 증강 매트릭스- 2 - )를 생성하는 것이다 ${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}-1&{3}{2}}&1&0\&#1&#1&#1\end{$array}\$오른쪽$).$}}$ 이 행렬의 ${\displaystyle {첫\mathrm{}}_{}}$ $번째{\displaystyle {}_{}}$ 행 R 1$$ ${\$$1$}, 두 $번째{\displaystyle {}_{}}$ 행 R ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle R_{$2}}. 그런 $다음$$$행 1을 $2행$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ R ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ → R ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$에 추가하십시오($$$R$ 1 + R = ${$}). 이 수율- 1 2 2 ). ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&0\{\tfrac {1}{$1}{$2}}&1&1\end{array}\}\$rig}\rig}\$오른쪽).$$}$ Next, subtract row 2, multiplied by 3, from row 1 (${\displaystyle R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}}$), which yields ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\right).$$}}$ 마지막으로 1행에 -1${\displaystyle }$ - ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ → ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle -R_{1}\to R_{1$을 곱하고 2행 2행 ${\displaystyle 2행{}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{}{}_{}{}_{}}$ 2 → R ${\displaystyle {2행\mathrm{}}_{}}$ → R ${\displaystyle {2행\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 2$\,R_{2}\}\R_{2$}}행)을 곱한다.$$ 이렇게 하면 왼쪽에는 ID 행렬이, 오른쪽에는 역행 행렬이 나타난다. 2 ). ${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&0&3\0&1&2\end{array}}\right).$$}$ 따라서 - 1=( ( 3) .{\$displaystyle \mathbf {A}^-1}={\begin{pmatrix}2&3\\\2&\end{pmatrix}}.$$}$

뉴턴의 방법

적절한 출발 시드를 찾는 것이 편리하다면, 승법 역 알고리즘에 사용되는 뉴턴의 방법을 일반화하는 것이 편리할 수 있다.

${\displaystyle X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}.}$

빅터 팬과 존 라이프는 출발 시드를 생성하는 방법을 포함하는 일을 했다.^[5][6] 바이트 매거진은 그들의 접근법 중 하나를 요약했다.^[7]

뉴턴의 방법은 위의 호모토피에 대해 제조된 시퀀스처럼 충분히 동작하는 관련 행렬의 패밀리를 다룰 때 특히 유용하다: 때로는 새로운 역행위에 대한 근사치를 정제하기 위한 좋은 출발점이 예를 들어, 현재 행렬과 거의 일치하는 이전 행렬의 이미 얻은 역행위가 될 수 있다.Denman-Beavers 반복에 의해 행렬 제곱근을 얻는 데 사용되는 역 행렬의 쌍; 만약 그것들이 하나가 충분할 정도로 충분히 서로 가깝지 않다면, 각각의 새로운 행렬에서 둘 이상의 반복이 필요할 수 있다. 뉴턴의 방법은 컴퓨터 산술의 불완전함으로 인해 작은 오류로 오염된 가우스-조단 알고리즘의 "터치업"에도 유용하다.

케이리-해밀턴 방식

Cayley-Hamilton 정리에서는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 역행렬을 ${\displaystyle det}$( A${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \det(A$ 트레이스 $및{\displaystyle }$ A$${\$displaysty A$^[8]의 힘으로 표현할 수 있다$$.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{l=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}}\operatorname {tr} \좌(\mathbf {A} ^{l}\우)^{k_{l}},}$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle n}$은(는$)$ $A$의 치수이고$,$ ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {tr}(A)}$은 주 대각선의 합계로 주어진$$ 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ A$}$의 추적이다. 합계는 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$과(와) 선형 디오판틴 방정식을 ${\displaystyle {만족}_{}}$하는 모든 k l${\displaystyle {}_{}0}$ 0$(\displaystyle k_{l}\geq$ 0$}$의 집합으로 대체된다.

${\displaystyle s+\sum _{l=1}^{n-1}lk_{l}=n-1.}$

${\displaystyle {공식}_{}}$은 t l${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$- (${\displaystyle l}$- ${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$!${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$A l${\displaystyle {}^{}}$) ${\$) 인수의 완전한 Bell 다항식의 관점에서 다시 쓸 수 있다$!$$\operatorname {tr} \left(A^{l}\오른쪽)$ as$$

${\displaystyle \mathbf {A}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}\sum _{s=1}^{n}\mathbf {A}^{s-1}{s-1}{s-1}{n-1}:{n-1}:{n-s!}}{{n-s}(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n-s}).}$

아이겐데구성

만일 행렬 A를 에겐데로 컴파일할 수 있고, 만일 그 고유값이 0이 아니라면, A는 변환불능이고 그 역은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q}, {1}$

where ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ is the square (N×N) matrix whose i-th column is the eigenvector ${\displaystyle q_{i}}$ of ${\displaystyle \mathbf {A} }$, and ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$ is the diagonal matrix whose diagonal elements are the corresponding eigenvalues, that is, ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}_{ii}}$${\displaystyle \Lambda _{ii}=\lambda _{i}}$. If ${\displaystyle \mathbf {A} }$ is symmetric, ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ is guaranteed to be an orthogonal matrix, therefore ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }}$. Furthermore, because ${\displaysty$$le \mathbf${\$Lambda$}}은(는) 대각 행렬이며$$ 그 역행렬은 계산하기 쉽다.

${\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{i}={\frac {1}{\lambda _{i}}}.}$

숄스키 분해

행렬 A가 양의 한정자일 경우, 그 역은 다음과 같이 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\left(\mathbf {L} ^{*}\right)^{-1}\mathbf {L} ^{1},}$

여기서 L은 A의 하단 삼각형 슐레스키 분해물이며, L*는 L의 결합 전치물을 나타낸다.

분석용액

애드주게이트 행렬로 알려진 공분자 행렬의 전치사를 쓰는 것도 작은 행렬의 역치를 계산하는 효율적인 방법이 될 수 있지만, 이 재귀적 방법은 큰 행렬의 경우 비효율적이다. 역효과를 결정하기 위해 공분자 행렬을 계산한다.

${\displaystyle \mathbf{A}^{)}={1\over{\begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}}\mathbf{C}^{\mathrm{T}}}};\cdots &, \mathbf{C}_{n1}\\\mathbf{C}_{12}&,\mathbf{C}_{22}&, \cdots &, \mathbf{C}_{n2}\\\vdots &, \vdots{A}\end{vmatrix}{\begin{pmatrix}\mathbf{C}_{11}&,\mathbf{C}_{21}& ={1\over{\begin{vmatrix}\mathbf. &\ddots &, \vdots \\\mathbf{C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{n}\end{pmatrix}}}}}$

하도록

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)}$

여기서 A는 A의 결정인자, C는 공분자 행렬, C는^T 전치 행렬을 나타낸다.

행렬 2 × 2의 반전

위에 열거한 공 인자 방정식은 2×2 행렬에 대해 다음과 같은 결과를 산출한다. 이러한 행렬의 뒤집기는 다음과 같이 할 수 있다.^[9]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}$

이는 1/(ad - bc)가 해당 매트릭스의 결정인자의 역수이며, 다른 매트릭스 크기에 대해서도 동일한 전략을 사용할 수 있기 때문에 가능하다.

Cayley-Hamilton 방법은

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A}}}}}}{\det \mathbf {A}\tr}\mathbf {A}\right]}$

3 x 3 행렬의 반전

계산적으로 효율적인 3 × 3 매트릭스 역전은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf{A}^{-1}={\begin{bmatrix}a&c\d&e&f\nd{bmatrix}}}^{\frac {1}{\det(\mathbf {A})}}}}:{\begin{bmatrix},A&\,B&\,C&\\,D&\,F&\\\,G&\,I&\\\\\end{bmatrix}^{}={\frac {1}{\det(\mathbf {A})}}}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G&\,B&\,E&\,H&\,C&\,F&\,I\\\\end{bmatrix}}}$

(스칼라 A를 매트릭스 A와 혼동해서는안 된다.

결정요소가 0이 아닌 경우, 매트릭스는 변환불가능하며, 위쪽의 우측에 중간 행렬의 원소가 주어진다.

${\displaystyle {\reasonedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\end{aignatedat}}}$

A의 결정요인은 다음과 같이 사루스의 규칙을 적용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=A+bB+C.}$

케일리-해밀턴의 분해는

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right).}$

일반 3 × 3 역은 교차 제품과 삼중으로 간결하게 표현할 수 있다. 만약 행렬 A=[x0x1x2]{\displaystyle \mathbf{A}={\begin{bmatrix}\mathbf{)}_{0}&,\mathbf{)}_{1}&, \mathbf{)}_{2}\end{bmatrix}}}(의 삼 주형 벡터, x0(_{0}}, x1{\displaystyle \mathbf{)}_{1}}, x2. {\di$splaystyle \mathbf {x} _{2$}$$)은(는) 변환 불가능하며, 그 역은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {x_{1}} \times \mathbf {x_{2}} )}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x_{2}} \times \mathbf {x_{0}} )}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x_{0}} \times \mathbf {x_{1}} )}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}.}$

The determinant of A, ${\displaystyle \det(\mathbf {A} )}$, is equal to the triple product of ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$, ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} }$, and ${\displaystyle \mathbf {x_{2}} }$—the volume of the parallelepiped formed by the rows or columns:

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot(\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).}$

공식의 정확성은 교차 및 삼중 제품 특성을 사용하여 확인할 수 있으며, 그룹의 경우 왼쪽과 오른쪽 교차점이 항상 일치한다는 점에 유의하십시오. Intuitively, because of the cross products, each row of ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ is orthogonal to the non-corresponding two columns of ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (causing the off-diagonal terms of ${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} }$ be zero). 나누기

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot(\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}})}$

$I{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$ ${\$의 대각선 원소가 통일되도록 한다$$. 예를 들어 첫 번째 대각선은 다음과 같다.

${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathbf {x_{0} \cdot(\mathbf {x}_{1}}\mathbf {x}_{0}\cdot(\mathbf {x} _{1}\mathbf {x} _{2}) \cdot({2}).}$

4×4 행렬의 반전

차원이 증가할수록 A의 역행 표현은 복잡해진다. n = 4의 경우 Cayley-Hamilton 방법은 여전히 추적 가능한 표현으로 이어진다.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right]\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\오른쪽]+\mathbf {A} ^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{3}\right).}$

블럭화 반전

행렬은 다음과 같은 반전 해석 공식을 사용하여 블럭화하여 반전시킬 수도 있다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\\\mathbf{C}&\mathbf{D}\end{bmatrix}}^{)}={\begin{bmatrix}\mathbf{A}^{)}+\mathbf{A}^{)}\mathbf{B}\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{)}\mathbf{CA}^{)}&, -\mathbf{A}^{)}\mathbf{B}\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{)}\.\-\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

(1)

여기서 A, B, C 및 D는 임의 크기의 행렬 하위 블록이다. (A는 정사각형이어야 반전될 수 있다. 또한 A와 D - CAB는⁻¹ 비경상적이어야 한다.)^[10] 이 전략은 A가 대각선이고 D - CAB⁻¹(A의 슈어 보완)가 작은 행렬인 경우 특히 유리하며, 이는 이들 행렬이 역전이 필요한 유일한 행렬이기 때문이다.

이 기법은 여러 차례 재창조된 것으로 측지학 매트릭스의 역전에 이용했던 한스 볼츠(1923년)^{[citation needed]}와 이를 일반화하고 정확성을 입증한 타데우스 바나키에비치(1937년) 때문이다.

무효정리는 A의 무효가 역행렬의 우측 하단에 있는 서브블록의 무효와 같고, B의 무효는 역행렬의 우측 상부에 있는 서브블록의 무효와 같다는 것을 말한다.

방정식 (1)을 유도한 반전 절차는 먼저 C와 D에서 작동한 매트릭스 블록 연산을 수행했다. 그 대신 A와 B를 먼저 작동시켜 제공된 D와 A - BDC가⁻¹ 비경상적이라면 결과는 다음과 같다.^[11]

${\displaystyle{\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\\\mathbf{C}&\mathbf{D}\end{bmatrix}}^ᆰ=ᆱ\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C}\right)^{)}&, -\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C}\right)^{)}\mathbf{BD}^{)}\\-\mathbf{D}^{)}\mathbf{C}\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{)}\mathbf. {C}\right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

(2)

등식 (1) 및 (2)는 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C}\right)^{)}&, =\mathbf{A}^{)}+\mathbf{A}^{)}\mathbf{B}\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{)}\mathbf{CA}^ᆴ\\\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C}\right)^{)}\mathbf{BD}^{)}&, =\mathbf{A}^{)}\mathbf{B}\left(\mat.hbf{D} -\mathbf{CA}^{)}\mathbf{B}\right)^{)}\\\mathbf{D}^{)}\mathbf{C}\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C}\right)^{)}&, =\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{)}\mathbf{CA}^{)}\\\mathbf{D}^{)}+\mathbf{D}^{)}\mathbf{C}\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C}\right)^{)}\mathbf{BD}^{)}&a.융점, =\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{aigned}}}}}$

(3)

여기서 방정식 (3)은 이항 역 정리와 동등한 우드베리 행렬의 정체성이다.

A와 D가 모두 변위할 수 있는 경우 위의 두 블록 행렬 인버스를 결합하여 간단한 인자화를 제공할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}\mathbf{A}&\mathbf{B}\\\mathbf{C}&\mathbf{D}\end{bmatrix}}^ᆰ=ᆱ\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}\right)^{)}&, \mathbf{0}\\\mathbf{0}&\left(\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\right)^{)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf{나는}&.앰프, -\mathbf{B}\mathbf {D} ^{-1}\-\mathbf {C} \mathbf {A} \mathbf {I} \end{bmatrix}.}$

(2)

와인스타인-아론자즈엔 정체성에 의해 블록-대각 행렬의 두 행렬 중 하나는 다른 행렬이 있을 때 정확히 되돌릴 수 없다.

생각하기 때문에 n×n행렬의blockwise 역전 두half-sized 매트릭스와 두half-sized 매트릭스 6multiplications의 역전을 요구하면, 그것은 이들이 행렬이 전도되는blockwise 역전을 사용하는 분할 정복 알고리즘에서는 내부적으로 사용되는 매트릭스 곱셈 연산에서도 알고리즘과 같은 시간 복잡도와 함께 달린다 보여질 수 있다.[12] 매트릭스 곱셈 복잡성에 대한 연구는 O(n^2.3727) 연산의 복잡성을 가진 매트릭스 곱셈 알고리즘이 존재하는 반면, 가장 잘 입증된 하한은 Ω(n²log)^[13]이다.

이 공식은 오른쪽 상단 블록 매트릭스 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 0 매트릭스일 때 크게 단순화된다. $이{\displaystyle }$ 공식은 $행렬{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$ 및 D$$ ${\displaystyle D}$에 상대적으로 단순한 역 공식(또는 블럭이 모두 정사각형이 아닌 경우 유사 반전)이$$ 있는 경우에 유용하다. 이 특별한 경우, 위의 전체 일반성에 명시된 블록 매트릭스 반전 공식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {0} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {0} \\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\mathbf {D} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

누만 시리즈별

매트릭스 A에 다음 속성이 있는 경우

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=0}$

그 다음 A는 비일상적이며 그 역은 Neumann 시리즈로 표현될 수 있다.^[14]

${\displaystyle \mathbf {A}^{-1}=\sum _{n=0}^{\infit }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}}}$

합계를 줄이면 "대략적인" 역이 되며, 이는 전제조건으로 유용할 수 있다. Neumann 시리즈가 기하학적 합이라는 점에 주목하여 잘린 시리즈는 기하급수적으로 가속될 수 있다는 점에 유의하십시오. 그만큼 만족한다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{2^{L}-1}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=\prod _{l=0}^{L-1}\left(\mathbf {I} +(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{2^{l}}\right)}$.

따라서 합계의 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle L^{}}$${\displaystyle }$${\$$displaystyle 2L-2}$ 행렬$$ 곱하기 2 $L{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 2^{$L}$항만$계산하면$$ 된다.

보다 일반적으로, A가 "근접"인 경우, 다음과 같은 의미에서의 반전성 매트릭스 X

${\displaystyle \lim_{n\to \infit }\왼쪽(\mathbf {I} -\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {A} \right)^{n}=0\mathrm {~또는~} \lim _{n\to \infit }\왼쪽(\mathbf {I} -\mathbf {A} \mathbf {X} ^{-1}\right)^{n}=0}$

그러면 A는 비유동이고 그 역은

${\displaystyle \mathbf {A}^{-1}=\sum _{n=0}^{\infit }\왼쪽(\mathbf {X}) ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {A} )\오른쪽)^{n}\mathbf {X} ^{-1}~.}$

또한 A - X가 1위를 가지고 있는 경우라면 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {X} ^{-1}-{\frac {\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\mathbf {X} ^{-1}}{1+\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\right)}}~.}$

p-adic 근사치

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈으로 도움도 된다. (2015년 2월)

If A is a matrix with integer or rational coefficients and we seek a solution in arbitrary-precision rationals, then a p-adic approximation method converges to an exact solution in ${\displaystyle O\left(n^{4}\log ^{2}n\right)}$, assuming standard ${\displaystyle O\left(n^{3}\right)}$ matrix 곱셈이 사용된다.^[15] 이 방법은 딕슨의 p-adic 근사법$($각각 $(n$ $log$ $n$)을 통해 n개의 선형 시스템을 해결하는 것에 의존하며$,$ $IML$과 같이 임의정밀 매트릭스 연산에 특화된 소프트웨어에서 이용할 수 있다.^[16]

상호기준 벡터법

Given an ${\displaystyle n\times n}$ square matrix ${\displaystyle \mathbf {X} =\left[x^{ij}\right]}$, ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, with ${\displaystyle n}$ rows interpreted as ${\displaystyle n}$ vectors ${\displaystyle \mathbf {x$$} _{i}=x^{ij}\mathbf {e} _{j}}$ (Einstein summation assumed) where the ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ are a standard orthonormal basis of Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} ^{i},\mathbf$${e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}$), then using Clifford algebra (or Geometric Algebra) we compute the reciprocal (sometimes called dual) column vectors ${\displaystyle \mathbf {$$x} ^{i}=x_{ji}\mathbf {e} ^{j}=(-1)^{i-1}(\mathbf {x} _{1}\wedge \cdots \wedge ()_{i}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})\cdot (\mathbf {x} _{1}\wedge \ \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})^{-1}}$ as the columns of the inverse matrix ${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}=[x_{ji}]}$. Note that, the place "${\displaystyle ()_{i}}$" indicates that "${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$" is removed from that place in the above expression for ${\displaystyle \mathbf {x} ^{i}}$. We then have ${\displaystyle \mathbf {X}$$\mathbf {X} ^{-1}=\left[\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}$, where ${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$ is the Kronecker delta. We also have ${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}\mathbf {X} =\left[\left(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{k}\right)\left(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {x} _{k}\right)\right]=\left[\mathbf {e} _$${i}\cdot \mathbf {e} ^{j}\right]=\왼쪽$[\$delta _{$i}^{j$}\right]=\mathbf {$I$} _{n$ 필요에 따라. If the vectors ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ are not linearly independent, then ${\displaystyle (\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})=0}$ and the matrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$ is not invertible (has no inverse).

행렬 역행렬의 파생상품

반전성 행렬 A가 모수 t에 따라 다르다고 가정합시다. 그 다음에 t에 관한 A의 역의 파생상품은 다음과^[17] 같이 주어진다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}{-1}{-}=-\mathbf {A}{\frac {\mathbf {d}{\mathbf {}{d}}{\mathbf {A} ^{-1}.}$

A의 역행의 파생상품에 대해 위의 식을 도출하기 위해서는 $A$의 ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$ A${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ A $=$ ${\displaystyle I\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf${A}^{-$1}\mathbf$ {A$}$ =\mathbf {$I}}$의 정의를 구별한 다음$$ A의 역행렬에 대해 해결할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {0} .}$

Subtracting ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}$ from both sides of the above and multiplying on the right by ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ gives the correct expression for the derivative of the inverse:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}{-1}{-}=-\mathbf {A}{\frac {\mathbf {d}{\mathbf {}{d}}{\mathbf {A} ^{-1}.}$

마찬가지로 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$이(가) 작은 숫자일$$ 경우

${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,.}$

더 일반적으로, 만약

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} ){\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}h_{i}(\mathbf {A} ),}$

그때

${\displaystyle f(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )=f(\mathbf {A} )+\varepsilon \sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} )\mathbf {X} h_{i}(\mathbf {A} )+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).}$

양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 지정됨$,$

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^{n}}{\mathrm{d}t}}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf{A}^{i-1}{\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}}\mathbf{A}^{n-i},\\{\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^{-n}}{\mathrm{d}t}}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf{A}^{-i}{\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}}\mathbf{A}^{-.(n+1-i)}.\end{정렬}}}$

그러므로

${\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{A}+\varepsilon \mathbf{X})^{n}&, =\mathbf{A}^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf{A}^{i-1}\mathbf{X}\mathbf{A}^{n-i}+{{O\mathcal}}\left(^{2}\right\varepsilon),\\(\mathbf{A}+\varepsilon \mathbf{X})^{-n}&, =\mathbf{A}^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf{X}\mathbf ^{-i}\mathbf{A}.{A}^{-(n+1-i)}+{\mathcal{O}\왼쪽(\varpsilon ^{2}\오른쪽).\end{정렬}}}$

일반화 역수

역행렬의 속성 중 일부는 일반화된 invers(예: Moore-Penrose inverse)에 의해 공유되며, 이는 모든 m-by-n 행렬에 대해 정의할 수 있다.

적용들

대부분의 실제 적용의 경우, 선형 방정식의 시스템을 해결하기 위해 행렬을 반전시킬 필요는 없지만, 고유한 해결책을 위해서는 관련 행렬을 반전시킬 필요가 있다.

LU 분해와 같은 분해 기법은 반전보다 훨씬 빠르며, 선형 시스템의 특수 등급에 대한 다양한 빠른 알고리즘도 개발되었다.

회귀 분석/최소 제곱

미지의 벡터를 추정하기 위해 명시적인 역이 필요하지 않지만, 그 정확도를 추정하는 가장 쉬운 방법은 행렬의 역행렬(미지의 벡터의 후방 공분산 행렬)의 대각선에서 찾을 수 있다. 그러나 행렬 역행렬의 대각선 항목만 계산하는 더 빠른 알고리즘은 많은 경우에 알려져 있다.^[18]

실시간 시뮬레이션의 매트릭스 inverses

매트릭스 역전은 컴퓨터 그래픽, 특히 3D 그래픽 렌더링과 3D 시뮬레이션에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어 스크린-투-월드(screen-to-world) 레이 캐스팅, 월드-하위공간-월드(world-to-world) 객체 변환, 물리적 시뮬레이션 등이 있다.

MIMO 무선 통신의 매트릭스 삽입

매트릭스 역전은 무선 통신에서 MIMO(Multiple-Input, Multiple-Output) 기술에서도 중요한 역할을 한다. MIMO 시스템은 N 송신 및 M 수신 안테나로 구성된다. 동일한 주파수 대역을 점유하고 있는 고유 신호는 N 송신 안테나를 통해 송신되며, M 수신 안테나를 통해 수신된다. 각 수신 안테나에 도착하는 신호는 N × M 전송 매트릭스 H를 형성하는 N 전송 신호의 선형 결합이 될 것이다. 매트릭스 H는 수신자가 전송된 정보를 파악할 수 있는 변환불능이 되는 것이 중요하다.

참고 항목

참조

추가 읽기

• "Inversion of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. "28.4: Inverting matrices". Introduction to Algorithms (2nd ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 755–760. ISBN 0-262-03293-7.
• Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – via Google Books.
• Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (November 15, 2012). "The Matrix Cookbook" (PDF). pp. 17–23.

외부 링크

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• Sanderson, Grant (August 15, 2016). "Inverse Matrices, Column Space and Null Space". Essence of Linear Algebra. Archived from the original on 2021-11-03 – via YouTube.
• Strang, Gilbert. "Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices". MIT OpenCourseWare.
• 표시된 단계가 있는 행렬 계산기의 기호 역행
• 무어-펜로스 역행렬