벨 다항식

조합수학에서는 에릭 템플 벨을 기리기 위해 이름 붙여진 벨 다항식이 세트 파티션 연구에 사용된다.그들은 스털링과 벨 번호와 관련이 있다.그것들은 또한 파아디 브루노의 공식과 같은 많은 용도에서 발생한다.

벨 다항식

지수 종 다항식

부분적 또는 불완전한 지수 Bell 다항식은 다음에서 주어진 삼각형 배열의 다항식 배열이다.

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n-k+1}=\sum {n!\over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\왼쪽({x_{1} \over 1!}\오른쪽)^{j_{1}}\왼쪽 \{2} \over 2!}\오른쪽)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\오른쪽)^{j_{n-k+1},}$

여기서 합계는 이 두 조건이 충족되도록 음이 아닌 정수의 모든 시퀀스 j₁, j, j₂, j를_3n−k+1 인수한다.

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

합계

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots,x_{n}}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n-k+1}}}}}}}$

n번째 완전한 지수 Bell 다항식이라고 불린다.

일반 벨 다항식

마찬가지로, 위에서 정의한 일반적인 지수 Bell 다항식과는 대조적으로, 부분적인 일반 Bell 다항식은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\b}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-k+1}=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1},},}$

여기서 합계는 다음과 같은 비 음의 정수의 모든 시퀀스 j₁, j, j₂, ...j에_3n−k+1 걸쳐 나타난다.

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

일반 Bell 다항식은 지수 Bell 다항식의 용어로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\b}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-k+1}={\frac!}}{n!}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots, (n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).}$

일반적으로 벨 다항식은 달리 명시되지 않는 한 지수 Bell 다항식을 가리킨다.

콤비네이터럴

지수 Bell 다항식은 집합이 분할될 수 있는 방법과 관련된 정보를 인코딩한다.예를 들어, 집합 {A, B, C}을(를) 고려할 경우, 비어 있지 않고 오버랩되지 않는 두 하위 집합으로 분할할 수 있으며, 이를 부품 또는 블록이라고도 한다.

{{A}, {B, C}}

{{B}}, {A, C}}

{{C}}, {B, A}

따라서 우리는 이러한 파티션에 관한 정보를 다음과 같이 인코딩할 수 있다.

${\displaystyle B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.}$

여기서 B의_3,2 첨자는 3개의 요소로 이루어진 세트를 2개의 블록으로 분할하는 것을 고려하고 있음을 알려준다.각 x의_i 첨자는 주어진 파티션에 i 요소(또는 크기 i의 블록)가 있는 블록의 존재를 나타낸다.여기서 x는₂ 두 개의 원소를 가진 블록의 존재를 나타낸다.마찬가지로 x는₁ 단일 요소가 있는 블록의 존재를 나타낸다.x의_i^j 지수는 단일 파티션에 그러한 크기 i의 블록이 있음을 나타낸다.여기서 x와₁ x 모두₂ 지수 1을 가지므로 주어진 파티션에 그러한 블록이 하나만 있음을 나타낸다.단량형 계수는 그러한 칸막이가 얼마나 많은지를 나타낸다.우리의 경우, 3개의 요소가 2개의 블록으로 된 세트의 칸막이가 있는데, 각 칸막이에 있는 요소들은 1과 2의 두 블록으로 나뉜다.

어떤 집합이든 하나의 방법으로만 하나의 블록으로 나눌 수 있기 때문에, 위의 해석은_n,1 B = x라는_n 것을 의미할 것이다. 마찬가지로, n개의 원소를 가진 집합은 n개의 단골격인 B_n,n = x로₁ⁿ 나누는 한 가지 방법밖에 없기 때문이다.

좀 더 복잡한 예로서, 고려해보자.

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3})}^{2}.}$

이는 6개 요소 세트를 2블록으로 나누면 1·5블록의 파티션 6개, 4·2블록의 파티션 15개, 3블록의 파티션 10개를 만들 수 있다는 것을 말해준다.

단항에서의 첨자의 합은 원소의 총수와 같다.따라서, 부분 벨 다항식에 나타나는 단항수의 수는 정수 n을 k 양의 정수의 합으로 표현할 수 있는 방법의 수와 같다.이것은 n을 k 파트로 나눈 정수 분할과 같다.예를 들어 위의 예에서 정수 3은 2+1로만 두 부분으로 분할할 수 있다.따라서 B에는_3,2 단수형이 하나밖에 없다.그러나 정수 6은 5+1, 4+2, 3+3으로 두 부분으로 나눌 수 있다.따라서 B에는_6,2 단수 3개가 있다.실제로 단수형 변수의 첨자는 정수 분할에 의해 주어진 것과 동일하며, 서로 다른 블럭의 크기를 나타낸다.따라서 완전한 Bell 다항식 B에_n 나타나는 총 단항 수는 n의 정수 파티션의 총 수와 같다.

또한 각 모노미알의 정도는 모노미알에서 각 변수의 지수를 합한 값이며 집합이 분할되는 블럭의 수와 같다.즉, j₁ + j + j₂ + ...= k . 따라서 완전한 Bell 다항식 B를_n 주어진다면, 우리는 도 k로 모든 단항식을 수집함으로써 부분 Bell 다항식 B를_n,k 분리할 수 있다.

마지막으로 블록의 크기를 무시하고 모든_i x = x를 입력하면 부분 벨 다항식_n,k B의 계수 합계는 n개의 원소를 가진 집합을 k개의 블록으로 분할할 수 있는 총 방법을 제공하는데, 이는 두 번째 종류의 스털링 숫자와 동일하다.또한, 완전한 Bell 다항식 B의_n 모든 계수를 합하면, n개의 원소를 가진 집합이 겹치지 않는 하위 집합으로 분할될 수 있는 총 수량을 얻게 되는데, 이는 Bell 번호와 동일하다.

일반적으로 정수 n을 "1"이₁ j번, "2"가₂ j번 나타나는 합으로 분할하면, 집합의 구성원이 구별할 수 없게 될 때 정수 n의 해당 분할로 축소되는 크기 n 집합의 파티션 수는 다항식의 해당 계수다.

예

예를 들어, 우리는

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3})}^{2}}$

왜냐하면 6개의 요소 집합을 2개의 블록으로 분할하는 방법은

6개 세트를 5+1로 분할하는 6가지 방법

6 세트를 4 + 2로 분할하는 15가지 방법

6 세트를 3 + 3으로 분할하는 10가지 방법.

마찬가지로

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}=15x_{4},x_{1}^{2}+60x_{3}}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}}$

왜냐하면 6개의 요소 집합을 3개의 블록으로 분할하는 방법은

6 세트를 4 + 1 + 1로 분할하는 15가지 방법

6 세트를 3 + 2 + 1로 분할하는 60가지 방법

6 세트를 2 + 2 + 2로 분할하는 15가지 방법.

특성.

생성함수

지수 부분 Bell 다항식은 생성 함수의 이중 시리즈 확장에 의해 정의될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{ligned}\Phi(t,u)&=\ex \ex(u\sum _{j=1}^{\frac{t^{j}{j}{j!}}}\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots,x_{n-k+1}{\frac {t^{n}}{n!}}}}{k}\&=1+\sum _{n=1}^{\n1}{\frac{t^{n}}{n!}}}\sum _{k=1}^{n^{n}B_{n,k}(x_{1},\ldots,x_{n-k+1}).\end{정렬}}}$

다시 말해, 동일한 양에 따라 k-th 동력의 직렬 확장에 의해 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}}\왼쪽(\sum _{j=1}^{\inflt_{j}{\frac{t^{j}}{j!}}\오른쪽)^{k}=\sum _{n=k}^{\b_{n,k}(x_{1},\ldots,x_{n-k+1}{n!}{\frac {t^{n!}}}}{{n!}}},\qquad k=0,1,2,\ldots }}}}$

전체 지수 Bell 다항식은 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \Phi (t,1$ 또는 다른 말로 정의된다.

${\displaystyle \Phi (t,1)=\ex \left(\sum _{j=1}^{\inflit }x_{j}{\frac{t^{j}{j}{j!}}}\sum _{n=0}^{\n}{B_{n}(x_{1},\ldots,x_{n}}{\frac {t^{n}}}{n!}}.}$

따라서, n번째 완전한 벨 다항식은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}=\왼쪽).\left\frac {\reason }{\reason t}\오른쪽)^{n}\exp \left(\sum _{j=1}^{\inflit }x_{j}{\frac{t^{j}}{j!}}\오른쪽 _{t=0}}$

마찬가지로, 일반적인 부분 Bell 다항식은 생성 함수에 의해 정의될 수 있다.

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.}$

또는 동등하게 k-th 검정력의 직렬 확장:

${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infit }x_{j}t^{j}\오른쪽)^{k}=\sum _{n=k}^{\infit }{\hat {B}_{n},k}(x_{1},\ldots,x_{n-k+1}}t^{n}.}$

또한 시퀀스 생성 함수 및 파워, 로그 및 시퀀스 생성 함수의 지수 구성의 Bell 다항식 생성 함수 확장을 위한 함수 변환 생성도 참조하십시오.이러한 공식은 각각 Comtet의 각 절에 인용되어 있다.^[1]

재발관계

전체 Bell 다항식은 다음과 같이 다시 정의될 수 있다.

${\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots,x_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}{n}{n \n 선택 \}B_{n-i}(x_{1},\ldots,x_{n-i}x_{i+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{i+1}을 선택하십시오.$

초기 값 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle B_{0}=1$}을$($를) 사용하여 .

부분 Bell 다항식도 반복 관계를 통해 효율적으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle B_{n,k}=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n-1}{i-1}x_{i-i_{n-i,k-1}}}$

어디에

${\displaystyle B_{0,0}=1;}$

${\displaystyle B_{n,0}=0{\text{{{n\geq 1;}$

${\displaystyle B_{0,k}=0{\text{{}{{}k\geq 1.}$

전체 Bell 다항식도 다음과 같은 반복 미분식을 만족한다.^[2]

${\displaystyle {\reasoned}B_{n}(x_{1},\ldots,x_{n})={\frac {1}{n-1}\좌측[\sum _{i=2}^{n}\우측).&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\왼쪽.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots,x_{n-1}}}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{정렬}}}$

파생상품

전체 Bell 다항식의 부분적 파생상품은 다음과^[3] 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n}{\partial x_{i}}(x_{1},\ldots, }, \binom {n}, }{n-i})={\binom {n-i}(x_{1},\ldots,x_{n-i}).}$

마찬가지로, 부분 Bell 다항식의 부분파생상품은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n,k}{\partial x_{i}}(x_{1},\ldots,x_{n-k+1})={\binom {n}{n}B_{n-i-1}(x_{1},\ldots,{n-i-k+2}).}$

벨 다항식의 인수가 1차원 함수인 경우 체인 규칙을 사용하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(B_{n,k}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-k+1}(x))\right)=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n}{i}}a_{i}'(x)B_{n-i,k-1}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-i-k+2}(x)).}$

결정성형식

전체 Bell 다항식은 다음과 같은 결정 요소로 표현할 수 있다.

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots{n,x_})=\det{\begin{bmatrix}x_{1}&,{n-1 1\choose}x_{2}&,{n-1 \choose 2}x_{3}&,{n-1 3\choose}x_{4}&, \cdots &, \cdots &, x_{n}\\\\-1&, x_{1}&,{n-2 1\choose}x_{2}&,{n-2\choose 2}x_{3}&, \cdots &, \cdots &, x_{n-1}\\\\0&, -1&, x_{1}&,{1\choose n-3}x_{2}&, \cdots &, \cdots&.앰프, x_{n-2}\\\\0&, 0&, -1&, x_{1}&, \cdots, \cdots & &, x_{n-3}\\\\0&, 0&, 0&, -1&, \cdots &.\cdots &x_{n-4}\\\\vdots &\\vdots &\vdots &\dddots &\\\\vdots \\\\\\\0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}{\frac {x_1}{0!}}}{\frac{x_{2}}:{1!}}}{\frac{x_{3}}{2!}}}{\frac{x_{4}}{3!}}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n}}{{(n-1)!}}}\\\-1&{\frac {x_{1}:{0!}}}{\frac{x_{2}}:{1!}}}{\frac{x_{3}}{2!}}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-1}:{n-2}}:(n-2)!}}}\\\0&-2&{\frac {x_{1}{0!}}}{\frac{x_{2}}:{1!}}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-2}}{(n-3)!}}\\\0&0&#3&#\frac {x_{1}{0!}}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-3}}{{(n-4)!}}\\\0&0&0&-0-4&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-4}}{(n-5)!}}\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\dodots &\\\\0&0&0&0&\cdots &-(n-1)&{\frac {x_{1}{0!}}}\end{bmatrix}.}$

스털링 번호와 벨 번호

요인 순서에서 Bell 다항식 B_n,k(x₁,x₂,...)의 값은 첫 번째 종류의 서명되지 않은 스털링 숫자와 같다.

${\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots,(n-k)!=c(n,k)=s(n,k)=s(n,k)=\좌측[{n \atop k}\right].}$

이 값들의 합은 요인 순서에 대한 완전한 벨 다항식의 값을 제공한다.

${\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots,(n-1)!!!=\sum _{k=1}^{nB_{n,k}(0!,1!,\dots,(n-k)!!!!=\sum _{k=1}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!}$

하나의 순서에 대한 벨 다항식 B(x_n,k,x₁,...)의₂ 값은 두 번째 종류의 스털링 숫자와 같다.

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{n \atop k}\right\}.}$

이러한 값의 합은 다음 순서에 따라 완전한 벨 다항식의 값을 제공한다.

${\displaystyle B_{n}(1,1,\dots,1)=\sum _{k=1}B_{n,k}(1,1,\dots,1)=\sum _{k=1}^{n \atop k}\right\}}}}}}$

N번째 벨 번호야

역관계

우리가 정의한다면

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}),}$

그러면 우리는 역적 관계를 갖게 된다.

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

Touchard 다항식

Touchard 다항식 ${\displaystyle {Tn}_{}x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}${${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${$\n $\atop$ k$}\right\}\cdot x^{k}}}}}}}}}}$은(으)인 모든 인수에서 완전한 벨 다항 값으로 표현할 수 있다$$.

${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots,x).}$

콘볼루션 아이덴티티

시퀀스 x_n, y_n, n = 1, 2, ...의 경우 다음과 같이 콘볼루션을 정의하십시오.

${\displaystyle (x{\mathbin {\mathuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \n \선택 j}x_{j}y_{n-j}.}$

합계의 범위는 0과 n이 아니라 1과 n - 1이다.

$x{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{♢}}_{}^{}}$ $displaystyle x_{n}^{k\diamonduit }\,}$을(를) 순서의 n번째 항으로 한다$$.

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\cdots {\mathbin {\nothuit } _{k{\text{ factors}}\,}$

그러면^[4]

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots,x_{n-k+1}={x_{n}^{k\diamonduit } \over k!}.\,}$

예를 들어 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$, 3${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}{\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ )${\displaystyle B_{4,3}(x_{1$},$x_{$2})을 계산해 봅시다$.$

${\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\,\ x_{3}\,\x_{4}\,\x_{4}\,\property )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\mathbin {\x_{1}^{2}\,\ 6x_{1}x_{2}\,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}}^{2}\ ,\cHB )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\mathbin {\x}x=(0\ ,\ 0\,\ 6x_{1}^{3}\,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\\\cHB )}$

그래서,

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\\mathbin {\diamonduit}}}}x{\mathbin {\diamonduit}}}}}}{4}}}}}{3!}}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}$

기타 신원

• ${\displaystyle$$$$={\binom{n-1}{k-1}{\frac{n!$Lah$번호$를 제공하는 }{k$!}=L($n,k)}.
• ${\displaystyle {}_{}}$B ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle k_{}}$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle \dots ,n}$- ${\displaystyle \mathrm{k}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle n{}^{}}$- k ${\$,k$}(1,2,3,\ldots, n-k+1)={\binom$ {$n}{k}{k}k^{n-k}}}.$
• ${\displaystyle B_{n,k}(-x_{1},x_{2},-x_{3},\ldots ,(-1)^{n-k}x_{n-k+1})=(-1)^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n-k+1})}$ and ${\displaystyle B_n(-x_1,x_2,-x_{}}$${\displaystyle B_{n}(-x_{1},x_{2},-x_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}x_{n})=(-1)^{n}B_{n}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})}$.
• 전체 Bell 다항식은 이항식 관계를 만족한다.

  ${\displaystyle B_{n}(x_{1})+y_{1},\ldots,x_{n}+y_{n}^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \n \선택 i}B_{n-i}(x_{1},\ldots,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}),}$

  ${\displaystyle B_{n,k}{\bigl (}{\frac {x_{q+1}{q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}:{\binom {q+2}}},\bigr )}={\frac {n!(q!)}^{k}}{(n+qk)!}}{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots).}$

이렇게 하면 요인$({\displaystyle q{}^{}}$! ) k ${\$q$!)$의 누락이 수정된다.$^{k}}$ ^{{k$$}^[5]

• < ${\displaystyle 1\leq a<n}$일 때

${\displaystyle B_{n,n-a}(x_{1},\ldots,x_{a+1}=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}(x_{1})^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}$

• 부분 Bell 다항식의 특별한 경우:

${\displaystyle {\reasoned}B_{n,1}(x_{1},\ldots,x_{n}={}&x_{n}\[8pt]B_{n,2}(x_{1},\ldots,x_{n-1})={}&{{\frac {1}{1}:{1}:{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}x_{n-k}\[8pt]B_{n,n}(x_{1})={}&(x_{1})^{n}\[8pt]B_{n,n-1}(x_{1},x_{2})={}&{\binom {n}{n}{2}}(x_{1})^{n-2}x_{2}\[8pt]B_{n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&#{{n}{3}:{n-3}(x_{1})^{n-3}x_{3}+3}{n}}}{4}(x_{1})^{n-4}(x_{2})\{8pt}B_{n,n-3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}x_{4}+10{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}(x_{2})^{3}\\[8pt]B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}{\bigl [}3x_{2}x_{4}+2(x_{3})^{2}{\bigr ]}+105{\binom {n}{7}}(x_{1})^{n-7}(x_{2})^{2}x_{3}\\{}&{}+105{\binom {n}{8}}(x_{1})^{n-8}(x_{2})^{4}.\end{정렬}}}$

예

처음 몇 개의 완전한 Bell 다항식:

${\displaystyle {\reasoned}B_{0}={}&1,\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^{5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{2}x_{1}x_{1}}}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2}+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2}x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}x_{1}\\\}+15x_{4}x_{1}^{2}+10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{5}x_{1}+x_{6},\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{1}^{3}+21x_{1}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+11x_{1}x_{1}x_{1}x_{1}x_{2}x_{4}\&}+70x_{1}}x_{3}^{2}+{2}x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{정렬}}}$

적용들

파아디 브루노 공식

파아디 브루노의 공식은 벨 다항식(Bell polyomials)의 관점에서 다음과 같이 명시할 수 있다.

${\dyplaystyle {d^{n}\over dx^{n}f(g(x)))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\왼쪽(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

마찬가지로, 파 디 브루노 공식의 파워 시리즈 버전은 벨 다항식을 사용하여 다음과 같이 명시될 수 있다.가정하다

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\nft }{a_{n}\overn!}x^{n}\qquad {\text{n}\qquad g(x)=\sum _{n=1}^{n^{b_{n}\overn!}x^{n}}}$

그러면

${\displaystyle g(f(x)=\sum _{n=1}^{\inflt }{nc=1}{k=1}b_{k_{k_{n}B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}}}}{n!}}}x^{n}.}$

특히 전체 벨 다항식은 공식 파워시리즈의 지수화에 나타난다.

${\displaystyle \exp \left(\sum _{i=1}^{\flotty }{a_{i} \over i!}x^{i}\오른쪽)=\sum _{n=0}^{\n}{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \overn!}}x^{n}}$

$또한$ 1,${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… $인수$의 고정된 순서에 따라 완전한 $Bell$ 다항식의 지수 생성 $함수$를 나타낸다$.$

직렬의 역전

공식 파워 시리즈로 f와 g의 두 가지 기능을 다음과 같이 표현하도록 한다.

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{}f_{}{k}{{k}}}{\frac {w^{k!}}}}}{\frac {w^{k!}}}}},\frac {w^{k!}}},\c.$

그러한 g는 g(f(w) = w 또는 f(g(z)) = z로 정의된 f의 구성 역행이다. 만약 f₀ = 0과 f₁ ≠ 0이라면, 역행 계수의 명시적 형식을 Bell 다항식의 관점에서 다음과 같이^[6] 제시할 수 있다.

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\bar {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\qquad n\geq 2,}$

with ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}$ and ${\displaystyle n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)}$ is the rising factorial, and ${\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.$$}$

라플라스형 집적재의 점근확장

양식의 핵심을 고려

${\displaystyle I(\lambda )=\int_{a}^{b}e^{-\lambda f(x)}g(x)\,\mathrm {d}x,}$

여기서 (a,b)는 실제(수치 또는 무한) 간격이고, λ은 큰 양의 매개변수이고 f와 g 함수는 연속이다.f에 x = a에서 발생하는 단일 최소값을 [a,b]에 두도록 한다.x → a로⁺ 가정하면

${\displaystyle f(x)\sim f(a)+\sum _{k=0}^{\infit }a_{k}(x-a)^{k+\message }}}$

${\displaystyle g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infit }b_{k}(x-a)^{k+\message -1},}$

α > 0, Re(β) > 0; 그리고 f의 팽창은 용어로 현명하게 구별될 수 있다.그 후, 라플라스-에르델리 정리에서는 적분 I(λ)의 점증적 팽창은 다음과 같이 기술하고 있다.

${\displaystyle I(\lambda )\sim e^{-\lambda f(a)}\sum _{n=0}^{\infty }\Gamma {\Big (}{\frac {n+\beta }{\alpha }}{\Big )}{\frac {c_{n}}{\lambda ^{(n+\beta )/\alpha }}}\qquad {\text{as}}\quad \lambda \rightarrow \infty ,}$

여기서 계수 c는_n 캠벨-프롬-월레스-에 의해 주어진 부분적인 일반 Bell 다항식을 사용하여 a와_n b 단위로_n 표현할 수 있다.Wojdylo 공식:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{\alpha a_{0}^{(n+\beta )/\alpha }}}\sum _{k=0}^{n}b_{n-k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {-{\frac {n+\beta }{\alpha }}}{j}}{\frac {1}{a_{0}^{j}}}{\hat {B}}_{k,j}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k-j+1}).}$

대칭 다항식

기본 대칭 다항식 ${\displaystyle e_{}}$ ${\$와 파워섬 대칭 다항식 ${\displaystyle p_{}}$ ${\$은 다음과 같이 Bell 다항식을 사용하여 서로 연관시킬 수 있다$$.

${\displaystyle {\displaysty}e_{n}&={\frac {1}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{3},-3!p_{4},\ldots, (-1)^{n-1}(n-1)!p_{n}\&={\frac {(1)^{n!}}\;B_{n}(-p_{1},-1!p_{2},-2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,-(n-1)!p_{n}),\end{aigned}}}}}}}}$

${\displaystyle {\regated}p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}{(n-1)!}}}\sum _{k=1}^{n(1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n-k+1)!e_{n-k+1})\\&=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{정렬}}}$

이러한 공식은 0의 벨 다항식의 관점에서 단항 다항식의 계수를 표현할 수 있게 한다.예를 들어, Cayley-Hamilton의 정리와 함께, 그들은 그 힘의 흔적 측면에서 n × n 제곱 행렬 A의 결정 인자를 표현하게 된다.

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}{n!}}}{{n}(s_{1}, s_{2},\ldots,s_{n}),~~\qquad {\text{where }s_{k}=-(k-1)!\operatorname {tr}(A^{k}).}$

대칭 그룹의 주기 색인

대칭 그룹 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$의 사이클 지수는 다음과 같이 완전한 Bell 다항식으로 표현할 수 있다$$.

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots,(n-1)!\,a_{n}}}{n!}{n!}}.}$

순간과 충만

합계

${\displaystyle \mu _{n}=B_{n}(\kappa _{1},\dots,\n}=\sum _{k=1}^{n1}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots,\n-k+1})}$

첫 번째 적혈구가 κ₁, ..., κ인_n 확률 분포의 n번째 원시 모멘트. 즉, n번째 모멘트는 첫 번째 적혈구에서 평가된 n번째 완전한 벨 다항식이다.마찬가지로 n번째 누적분포함수는 다음과 같은 순간의 관점에서 주어질 수 있다.

${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{k-1(-1)^{k-1(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots,\mu '_{n-k+1}).}$

헤르미트 다항식

확률론자들의 Hermite 다항식은 Bell 다항식의 관점에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots,0),}$

여기서 x_i = 모든 i > 2에 대해 0. 따라서 Hermite 다항식 계수의 조합 해석을 허용한다.이는 헤르미테 다항식의 생성함수를 비교해 보면 알 수 있다.

${\displaystyle \exp \left(xt-{\frac{t^{2}}\2}}\오른쪽)=\sum _{n=0}^{\infit }\operatorname {He}_{n}{n}(x){\frac^{n}{n}{n!}}}$

벨 다항식의 그것과 함께.

이항 유형의 다항식 시퀀스 표현

어떤 시퀀스든₁ a, a₂, …의_n 스칼라,

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}B_{n,k}(a_{1},\dots,a_{n-k+1}x^{k}.}$

그러면 이 다항식 순서는 이항식, 즉 이항식 정체성을 만족시키는 것이다.

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n}{n \선택 k}p_{n-k}(y).}$

예:a₁ = … = a_n = ${\displaystyle 1}$의 경우 다항식 p$($ ) $displaystyle p_{n}(x$)}은$($는) Touchard 다항식을 나타낸다$$.

더 일반적으로, 우리는 다음과 같은 결과를 얻었다.

정리:이항 유형의 모든 다항식 시퀀스는 이 형식이다.

공식 파워 시리즈를 정의하면

${\displaystyle h(x)=\sum _{k=1}^{\infit }{a_{k} \over k!}}x^{k},}$

그렇다면, 모든 n에 대해서,

${\displaystyle h^{-1}\leftd \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

소프트웨어

벨 다항식 구현 위치:

• 벨로서의 마티카Y
• 미완성벨B로 단풍
• sageMath as bell_polynomial

참고 항목

• 벨 매트릭스
• 지수식

메모들

참조