확률적 순서

확률 이론과 통계에서 확률적 순서는 한 랜덤 변수가 다른 변수보다 "더 크다"는 개념을 정량화한다.이러한 순서는 대개 부분 순서여서 한 랜덤 $변수{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이(가) 다른 랜덤 변수 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$보다 확률적으로 크거나 같을 수 없다$$$.$ 많은 다른 순서가 존재하며, 애플리케이션도 다르다.

통상 확률 순서

실제 랜덤 변수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) "사용 확률 순서"에서$$ 랜덤 변수 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$보다 작음$$

${\displaystyle \Pr(A)x)\leq \Pr(B)x{\text{모든 }x\in(-\inflty,\inflt )}$

여기서 ${\displaystyle Pr}$ (${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle \Pr(\cdot )}$은 사건의 확률을 나타낸다$$.만약 추가로 Pr(A>))<>Pr 어떤 x{\displaystyle)}에(B>)){\displaystyle \Pr(A>^)<, \Pr(B>^)}, thenA{A\displaystyle}확률적으로. 엄격하게 B{\displ보다 적다 이것은 때때로}.⪯ B{A\preceq B\displaystyle}또는 B{\displaystyle A\leq_{기}B 있는 ≤ s표시됩니다.aystyle B}, som예행은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\prec B}$로 표시된다$.$ 결정 이론상, 이러한 상황에서 B는 A에 대해 1차 주문 확률적으로 우세하다고 한다.

특성화

다음 규칙은 한 랜덤 변수가 다른 변수보다 확률적으로 작거나 같은 상황에 대해 설명한다.이 규칙들 중 몇몇에 대한 엄격한 버전도 존재한다.

1. ${\displaystyle A}$de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle u$ $E{\displaystyle \mathrm{}}$[${\displaystyle u}$ (${\displaystyle A}$ ) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle E}$[ ${\displaystyle u}$ ( B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$]$${\$displaystyle${\$rm${E$}[A]\$req ${\rm {E}[B]}$만 해당$.$
2. $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 감소하지 않고 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⪯}$ B ${\displaystyle A\preceq B}$인 경우 $u{\displaystyle }$($displaystyle u(A)\preceq u(B)}$
3. If ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ is increasing in each variable and ${\displaystyle A_{i}}$ and ${\displaystyle B_{i}}$ are independent sets of random variables with ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$ for each ${\displaystyle i}$, then $$${\displaystyle u(A_{1},\dots ,A_{n})\preceq u(B_{1},\dots ,B_{n})}$ and in particular ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}$$A_{i}\preceq \sum _{i=1}^{n}B_{i}$ 게다가 통계$$ 주문 $i$ ${\displaystyle$ i$}$는 $A{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$⪯ ${\displaystyle {}_{}}$( i $){\$를 만족한다$.$
4. If two sequences of random variables ${\displaystyle A_{i}}$ and ${\displaystyle B_{i}}$, with ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$ for all ${\displaystyle i}$ each converge in distribution, then their limits satisfy ${\displaystyle A\preceq B}$.
5. A{A\displaystyle}, B{B\displaystyle}, C{C\displaystyle}은 확률 변수는 ∑ cPr(C= c)=1{\displaystyle \sum_{c}(C=c)=1}과 Pr 그런(A>;C= c)≤ Pr(B>;C= c){\displaystyle \Pr(A>,마 C=c)\leq \Pr(B>,마 C=c)}에 대한 모든 너{\displaystyle u}. c{\di= c ) > ${\displaystyle \Pr(C=c)0$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ 등의$$ $splaystyle c$$\}.$

기타 속성

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ $및{\displaystyle \mathrm{}}$ E$$${\displaystyle }$[ A ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle E}$[ ${\displaystyle B\mathrm{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\rm {E}[A]={\rm{E}}}}}}}$이(가$)$${\displaystyle \stackrel{\mathrm{되면}}{}}$ ${\displaystyle A}$ =$$d B {\d$}{d}이상설정이 동일$하다.

확률적 우세

확률적 지배관계는 의사결정 이론에서 사용되는 확률적 질서의 가족이다.^[1]

• 제로 주문 확률적 우세:${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}_{}}$( 0 )${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A\prec _{(0)}B}($이러한 임의 변수의 모든 실현에$$ $대해{\displaystyle }$${\displaystyle }${ ${\displaystyle B}${\$displaystyle A\leq$ B$}$이($)$ 있는 경우에만$$ 해당된다.
• 1차 확률적 우세:${\displaystyle A\prec _{(1)}B}$ if and only if ${\displaystyle \Pr(A>x)\leq \Pr(B>x)}$ for all ${\displaystyle x}$ and there exists ${\displaystyle x}$ such that ${\displaystyle \Pr(A>x)<\Pr(B>x)}$.
• 2차 확률적 우세:${\displaystyle A\prec _{(2)}B}$ if and only if ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[\Pr(B>t)-\Pr(A>t)]\,dt\geq 0}$ for all ${\displaystyle x}$, with strict inequality at some ${\displaystyle x}$.

또한 확률적 우위에 대한 고차원의 관념도 존재한다.위의 정의와 함께 $A{\displaystyle {}_{(}}$ (${\displaystyle {}_{}}$i ) ${\displaystyle {}_{}a}$ A${\displaystyle {}_{(}}$ (${\displaystyle i_{}}$+${\displaystyle 1_{}}$ ) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$A\$prec _${($i)}$가 있다.$B\implies A\prec _{(i+1)B}$.

다변량 확률 순서

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 값 랜덤$$ 변수 $A{\displaystyle }$ ${\$$\$$mathb$ {$} ^{d}}$ 값$$ 랜덤 $변수{\displaystyle }$ B ${\daystyle B}$보다 작음$$.

${\displaystyle {\rm{{E}[f(A)]\leq {\rm{{E}[f(B)]}{\text{{}}모든 경계선에 대한 함수 증가 }f:\mathb {R}^{d}\longrightarrow \mathb {R}}}}}}}}}}}}}$

다른 유형의 다변량 확률적 질서가 존재한다.예를 들어 일반적인 1차원 확률적 순서와 유사한 상, 하의 직교 순서.${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$은(는) 다음과 같은 경우, 상부 직교 순서에서 $B$ ${\displaystyle B}$보다 작다고 한다$$.

${\displaystyle \Pr(A)\mathbf {x} )\leq \Pr(B)\mathbf {x}{\text{{}}}}모든 }}\mathbf {x} \mathb {R} ^{d}}}}}}}}$

$및{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$은(는^[2]) 다음 경우보다 $낮은{\displaystyle }$ 직교 순서의$$ B ${\displaystyle B}$보다 작음$$

${\displaystyle \Pr(A\leq \mathbf {x} )\leq \Pr(B\leq \mathbf {x} ){\text{}}}모든 }\mathbf {x} \in \mathb {R}^{d}}}}}}$

All three order types also have integral representations, that is for a particular order ${\displaystyle A}$ is smaller than ${\displaystyle B}$ if and only if ${\displaystyle {\rm {E}}[f(A)]\leq {\rm {E}}[f(B)]}$ for all ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\longrigh$함수 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 클래스에서 $tarrow \mathb {R}.$$$^[3]$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 각 순서의 생성기라고 한다$$.

기타 지배 순서

다음의 확률적 질서는 임의의 사회적 선택 이론에 유용하다.그것들은 사회적 선택 함수의 결과들을 비교하는 데 사용되며, 효율성이나 다른 바람직한 기준을 확인하기 위해 사용된다.^[4]아래의 우세한 명령은 가장 보수적인 것에서 가장 보수적인 것으로 순서를 정한다.그것들은 유한 지지{30,20,10}에 대한 임의 변수에 예시되어 있다.

Deterministic dominance, denoted ${\displaystyle A\succeq _{dd}B}$, means that every possible outcome of ${\displaystyle A}$ is at least as good as every possible outcome of ${\displaystyle B}$: for all x<y, ${\displaystyle \Pr[$$A=x]\cdot \Pr[B=y]=0}$. In other words: ${\displaystyle \Pr[A\geq B]=1}$. For example, ${\displaystyle 0.6*30+0.$$4*20\pxceq _{dd}0.5*20+0.5*10}$.

Bilinear 지배한 ⪰ b진동계 측 B{\displaystyle A\succeq_{bd}B}을 말한다 모든 가능한 결과를, 확률은 한{A\displaystyle}이 좋은 것과 B{B\displaystyle}를 산출할 수도 나빠지지 않은 사람이 적어도 확률이 다른 길:모든 x< 대한 자세한 내용은을 산출한다;y, Pr[A=)]⋅ Pr는 경우에는 B를 설명)${\displaystyle \Pr[]$$A=x]\cdot \Pr[B=y]\leq \Pr[$$A=y]\cdot \Pr[B=x]}$예$$$:$ 0.${\displaystyle 5\ast }$ ${\displaystyle 30}$+ 0.${\displaystyle 5\ast }$ ${\displaystyle 20}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$.${\displaystyle 33+}$ ${\displaystyle 30}$+ 0.${\displaystyle 3333}$ ${\displaystyle 20}$+ 0.${\displaystyle 34}$10 ${\displaystyle 10}$ { 10 ${\displaystyle$ 0.$5*30+$0+0.$5**20\beceq _{bd}0.$$33*30+0.$$33*20+0.34*10}$.

Stochastic dominance (already mentioned above), denoted ${\displaystyle A\succeq _{sd}B}$, means that, for every possible outcome x, the probability that ${\displaystyle A}$ yields at least x is at least as large as the probability that ${\displaystyle B}$ yields at least x: for all x, ${\displaystyle Pr[A\ge x]\ge Pr[B\ge }$${\displaystyle \Pr[A\geq x]\geq \Pr[B\geq x]}$. For example, ${\displaystyle 0.5*30+0.5*10\succeq _{sd}0.5*20+0.5*10}$.

Pairwise-comparison dominance, denoted ${\displaystyle A\succeq _{pc}B}$, means that the probability that that ${\displaystyle A}$ yields a better outcome than ${\displaystyle B}$ is larger than the other way around: ${\displaystyle \Pr[A\geq B]\geq \Pr[B\geq A]}$. For example, $$$[\displaystyle 0.67*30+0.33*10\succeq _{pc}$$1$$0*20}$.

기타 확률적 주문

위험율순번

절대 연속 분포 함수 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ 및$$ 밀도 $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 가진 비 음의 랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 위험률은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle r(t)={\frac {d}{dt}(-\log(1-F(t)))={\frac {f(t)}{1-F(t)}}}.}$

절대 연속 분포 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ 및 $G$ ${\displaystyle G}$과$($와) 각각 위험률 함수 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ 및$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을$($를) 갖는 두 개의 $비음수{\displaystyle }$변수$$X {\$displaystystyle X}$이($가{\displaystyle }$ 더 작은 것으로 간주됨)로 간주됨$$).위험률 순서에서$$ $Y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle Y$$}$보다($\$ h r Y {\displaystyle X$\backslash$$preceq _{hr}Y}$로 표시됨)는 다음과 같다.

${\displaystyle r}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle q}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle r(t)\geq(t)}$ 모든$$ t ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle t\geq 0$

또는 동등하게

${\displaystyle \frac{1}{}}$- ${\displaystyle \frac{F}{}}$( t${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{1}{}}$- G${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{t}{}}$) ${\$이(가) t ${\displaystyty$t$\}$에서 감소하고$$ 있다.

우도비 순서

Let ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ two continuous (or discrete) random variables with densities (or discrete densities) ${\displaystyle f\left(t\right)}$ and ${\displaystyle g\left(t\right)}$, respectively, so that ${\displaystyle {\frac {g\left(t\right)}{$$f\왼쪽(t\오른쪽)$$}}}}$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$ 지지 조합에 비해$$ ${\displaystyle$ t$}$이(가) 증가함$.$ 이 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(X ${\displaystyle {}_{}}$ l ${\displaystyle }$ ${\\displaystyle X\preceq _{lr}Y}$Y}).$$

변동성 순서

두 변수의 평균이 같을 경우 분포의 "확대" 방법에 의해 두 변수의 평균을 비교할 수 있다.이것은 분산에 의해 제한된 범위까지 포착되지만, 확률적 명령의 범위에 의해 더 완전하게 포착된다.^{[citation needed]}

볼록순서

볼록한 순서는 특별한 종류의 변동성 순서다.Under the convex ordering, ${\displaystyle A}$ is less than ${\displaystyle B}$ if and only if for all convex ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle {\rm {E}}[u(A)]\leq {\rm {E}}[u(B)]}$.

라플라스 변환 순서

라플라스 변환 순서는 두 랜덤 변수의 크기와 변동성을 모두 비교한다.볼록한 순서와 유사하게 라플라스 변환 순서는 함수가 특수 등급인 ${\displaystyle u}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \exp }$ exp${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \alpha }$ x $){\displaystyle u(x)=-\exp(-\alpha x)}}}$의 임의 변수의 함수에 대한 기대치를 비교하여 확립된다$.$이로써 라플라스 변환 순서는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$로 정의한 함수 집합이 설정한 발전기를 양수 실수로 하는 통합$$ 확률적 순서가 된다.

실현 가능한 단일성

Considering a family of probability distributions ${\displaystyle ({P}_{\alpha })_{\alpha \in F}}$ on partially ordered space ${\displaystyle (E,\preceq )}$ indexed with ${\displaystyle \alpha \in F}$ (where ${\displaystyle (F,\preceq )}$ is another partially ordered space,완전하거나 실현 가능한 단일성의 개념을 정의할 수 있다.It means, there exists a family of random variables ${\displaystyle (X_{\alpha })_{\alpha }}$ on the same probability space, such that the distribution of ${\displaystyle X_{\alpha }}$ is ${\displaystyle {P}_{\alpha }}$ and ${\displaystyle X_{\alpha }\preceq X_{\beta }}$거의 확실히 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \preceq \beta }.$ 그것은$$단조로운 결합의 존재를 의미한다.참조^[5]

참고 항목

• 확률적 우세
• 확률적 - 용어의 의미

참조

참고 문헌 목록

• M. Shaked and J. G. Shanthikumar, Stochastic Orders and the Applications, AP, 1994.
• E. L. 레만순서형 분포 패밀리.수학통계연보, 1955년 26:399–419.