반차별성

수학의 한 분야인 미적분학에서, 실제 변수의 실제 가치 함수 f의 일방적인 차별성과 반차별성의 개념은 차별성보다 약하다.구체적으로 f함수는 대략적으로 말하면 함수의 인수 x가 오른쪽에서 a로 이동하면서 정의될 수 있는 한 지점에서 f함수가 오른쪽에서 다른 것으로 정의될 수 있고, 왼쪽에서 a로 정의될 수 있는 경우에는 왼쪽에서 다른 것으로 정의될 수 있다고 한다.

1차원 케이스

이 함수는 표시된 지점에서 연속되지 않기 때문에 파생상품이 없다.그러나

\partial _{+}f(a)

+

\partial _{+}f(a)

(

\partial _{+}f(a)

)

\partial _{+}f(a)

이

\partial _{+}f(a)

(가) 0과 계속 같아지는 등 모든 점에서 올바른 파생상품을 가지고 있다.

수학에서 좌파생물과 우파생물은 함수의 논거에 의해 한 방향으로만 이동하기 위해 정의된 파생상품(함수의 변화율), 즉 좌파생물과 우파생물은 함수의 논거에 의해 한 방향으로만 이동하기 위해 정의된 파생상품(좌파생 또는 우파생, 즉 더 낮거나 더 높은 값)이다.

정의들

f는 실제 숫자의 부분집합 I에 정의된 실제 값 함수를 나타내도록 한다.

$만약$ ∈ $I$ 이 $I$ $\cap$ [ $a,\infty]$ 의 한계점이고 단측 한계점이라면

\property _{+}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{+} \op \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}}

실제 숫자로 존재하며, 그 다음 f는 a에서 right differentable이라고 불리고, 한계치 ∂₊f(a)는 a에서 f의 right difference라고 불린다.

$만약$ ∈ $I$ 이 $I$ $\cap$ $(-\infty, a)$ 의 한계점이고 단측 한계점이라면

\property _{-}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{-} \attop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}

실제 숫자로 존재하며, 그 다음 f는 a에서 차별화할 수 있는 좌표라고 불리고, 한계치 _–ff(a)는 a에서 f의 왼쪽 파생상품이라고 불린다.

$만약 i$ $I$ 이 I $\cap[a,\infty]$ 과 I ( $(-,, a]$ 의 한계점이고, f가 a에서 좌우 구별이 가능하다면, f는 a에서 반차별적이라고 한다.

좌우파생상품이 동일하다면 일반적인("양방향")파생상품과 동일한 가치를 갖는다.또한 좌우파생상품의 산술평균과 같은 대칭파생상품을 정의할 수 있으므로(둘 다 존재하는 경우) 대칭파생상품은 일반파생상품이 존재하지 않을 때 존재할 수 있다.^[1]

비고 및 예

함수는 a에서 반차별적이고 왼쪽 파생상품이 오른쪽 파생상품과 동일한 경우에만 그것의 영역인 내부 지점에서 구별할 수 있다.
차이가 없는 반차별함수의 예는 a = 0의 절대값이다.
어떤 함수가 a 지점에서 반차별적인 경우, 그것은 a에서 연속적인 것을 암시한다.
표시기 함수_[0,∞) 1은 모든 실제 a에서는 우측으로 구별되지만 0에서는 불연속적이다(참고 이 표시기 함수가 0에서는 서로 다르게 유지되지 않음).

적용

실제 라인의 간격 I에서 정의한 실질가치가 다른 함수 f가 어디에나 0의 파생상품을 가지고 있다면, 평균값 정리의 적용이 보여주는 바와 같이 그것은 일정하다.차이성에 대한 가정은 연속성과 f의 일방적 차이성으로 약화될 수 있다.우측 상이한 기능의 버전은 아래에 제시되어 있으며, 좌측 상이한 기능의 버전은 유사하다.

정리 — f는 실제 라인의 임의적인 간격 I에 따라 정의되는 실제 가치의 연속 함수가 되도록 한다.만약 f가 매 점에서 그 구간의 우월성이 아닌 ∈ $I$ 이 옳고, 이 올바른 파생상품이 항상 0이라면, f는 일정하다.

증명

모순에 의한 증거를 위해, $f (a)$ ≠ $f (b$ )와 같은 < $b$ >가 I에 존재한다고 가정한다 $.$ 그러면

\varepsilon :={\frac {f(b)-f(a)}{{2(b-a)}}>0.

c를 절대값에서 f의 차이 지수가 exceeds을 초과하는 간격 $(a, b)$ 의 모든 x의 최소값으로 정의한다.

\displaystyle c=\inf\{\,x\in (a,b]\mid f(x)-f(a) >\varepsilon (x-a)\,\}

f의 연속성 때문에 $c$ < $b$ 와 $f (c)$ – $f (a)$ = $=(c$ – a)를 따른다 $.$ c에서 f의 오른쪽 파생상품은 가정으로 0이므로, 모든 x in ( $c, d)$ 에 $대해$ f $(x)$ – $f (c)$ $\leq(x$ – $c)$ 의 간격 $(c, b]$ 에 d가 존재한다.삼각형 불평등에 의해

f(x)-f(a) \leq f(x)-f(c) + f(c)-f(a) \leq \varepsilon(x-a)

c의정의와 모순되는 [c, $d]$ 의 모든 x에 대하여.

좌측 또는 우측에 작용하는 차동 연산자

또 다른 일반적인 용도는 이항 연산자로 취급되는 파생상품을 infix 표기법으로 기술하는 것이다. 여기서 파생상품은 왼쪽 또는 오른쪽 피연산자에게 적용된다.예를 들어 포아송 대괄호의 일반화를 정의할 때 유용하다.함수 f와 g의 쌍에 대해 왼쪽과 오른쪽 파생상품은 각각 다음과 같이 정의된다.

f{\stackrel {\reftarrow }{\\reft }g={\fract f}{\flash x}\cdot g}

f{\stackrel {\rightarrow }{\\n1}{x}g=f\cdot {\fract g}{\frack x}}}.

브라켓 표기법에서 파생상품 사업자는 오른쪽 피연산자에서 일반 파생상품으로, 왼쪽에서 음의 파생상품으로 행동할 수 있다.^[2]

고차원 케이스

위의 정의는 방향파생물의 약한 버전을 사용하여 R의ⁿ 하위 집합에 정의된 실제 값 함수 f로 일반화할 수 있다.a를 f 영역의 내부 지점이 되게 하라.그 다음에 f는 모든 방향 u ∈ R에ⁿ 대한 if 지점에서 반차별적이라고 불린다.

\f(a)=\lim _{h\to 0^{+}{\frac {f(a+h\,u)-f(a)}{h}}

실제 숫자로 존재한다.

따라서 반차별성은 h를 양의 값으로만 제한하지 않고 h → 0 이상의 한도를 취하는 Gateaux의 차별성보다 약하다.

예를 들어 f $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ , y $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ) $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ = $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ + $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ${\$ } $0$ }}에서는 $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ $반차별화$ 되지만 $(0,0)$ 거기에서 $Gateaux$ 는 차별화되지 않는다 $.$

(단면 한계점의 개념이 내부 포인트의 강한 개념으로 대체되기 때문에 이러한 일반화는 n = 1에 대한 원래 정의와 동등하지 않다는 점에 유의하십시오.)

특성.

R의ⁿ 볼록한 부분 집합에서 볼록한 기능은 반차별적이다.
한 변수의 모든 반차별적 함수는 연속적인 반면, 이것은 여러 변수에 대해 더 이상 사실이 아니다.

일반화

실제 값을 갖는 함수 대신 R이나ⁿ 바나흐 공간에서 값을 취하는 함수를 고려할 수 있다.

참고 항목

참조

^ Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
^ Dirac, Paul (1982) [1930]. The Principles of Quantum Mechanics. USA: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.

Preda, V.; Chiţescu, I. (1999). "On Constraint Qualification in Multiobjective Optimization Problems: Semidifferentiable Case". J. Optim. Theory Appl. 100 (2): 417–433. doi:10.1023/A:1021794505701.

[Mercer2014-1] Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.

[2] Dirac, Paul (1982) [1930]. The Principles of Quantum Mechanics. USA: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.

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