뉴마크베타법

뉴마크-베타 방법은 특정한 미분 방정식을 해결하기 위해 사용되는 수치적 통합 방법이다.동적 시스템을 모델링하기 위한 유한 요소 분석과 같은 구조 및 고형물의 동적 반응에 대한 수치 평가에 널리 사용된다.그 방법은 네이단 M의 이름을 따서 명명되었다. 뉴마크 전 일리노이대 토목공학과 교수로,[1] 1959년 구조 역학에서 사용하기 위해 개발했다.반분산 구조방정식은 2차 일반 미분방정식 시스템이다.

${\daptyle M{\dot{u}}+C{\dot{u}+f^{\textrm{int}=f^{\textrm},}$

여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 질량 행렬이고, $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $C$$}$은 감쇠 행렬이고, f ${\displaystyle {\text{int}}^{}}$ ${\$ f$^{\textrm$ {int$},$$$f ${\displaystyle {\text{ext<img alt="{displaystyle f^{textrm {int}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3501b8b010520de9dd91100c6779eefee1585227" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.564ex; height:3.009ex;" papago-attr-id="29">}}^{}}$ ${\$ f$^{\textrum$}은 내부 및 외부 힘이다$.$

확장된 평균값 정리를 사용하여, ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ 방법은$$ 첫 번째 파생상품(동작 방정식의 속도)을 다음과 같이 해결할 수 있다고 명시한다.

${\dot스타일 {\dot{u}_{n+1}={\dot {u}_{n}+\Delta t~{\ddot {u}_{\gamma}\,},}$

어디에

${\ddtyle {u}_{\ddot }=(1-\property }={n}}+\pair {\dot{u}_{n+1}~~0\leq \leq 1}$

그러므로

${\dottyle {\dot{u}_{n+1}={\dot {u}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\dot{u}_{n}+\delta t~{\dot {u}_{n+1}.}$

그러나 가속도 시간에 따라 다르기 때문에, 확장된 평균값 정리도 정확한 변위를 얻기 위해 두 번째 파생상품으로 확장해야 한다.그러므로

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot{u}}{n}+{\begin{matrix}{1}{1}:{1}:{2}}:\delta t^{ddod}{u}}}{\beta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

다시 어디서

${\ddtyle {u}_{\ddot }=(1-2\properties }={n}}+2\pair {\dot {u}{n+1}~~0\leq 2\pair \leq 1}$

비확산된 구조 방정식은

${\displaystyle{\begin{정렬}&,{\dot{너}}_{n+1}={\dot{너}}_ᆮ+(1-\gamma)\Delta t~{\ddot{마}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot{마}}_{n+1}\\&, u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot{너}}_{n}+{\frac{\Delta t^{2}}{2}}\left((1-2\beta){\ddot{마}}_{n}+2\beta{\ddot{마}}_{n+1}\right)\\&amp을 말한다.M{\ddot{마}}_{n+1}+C{\dot{너}}_{n+1}+f^{\textrm{int}}(u_{n+1})=f_{n+1}^{\textrm{친구 였어요.t}\,\end{aigned}}$

명시적 중앙 차이 체계는${\displaystyle \mathrm{}}\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$.5 ${\displaystyle \gamma =0.5}$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \beta =0}$을(를) 설정하여 구한다.

$평균{\displaystyle }$ 상수 가속(중간점 규칙)은 $\gamma$${\displaystyle }$= 0.${\displaystyle \gamma$ = 0.5$} 및$${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ = 0.${\displaystyle 25}$ {\$displaystyle \beta$= 0.$25}$을 설정하여 얻음

안정성 분석

오르막이 통합 time-step t 0을 Δ;0{\displaystyle\Delta t_{0}&gt가 존재하는 time-integration 계획 안정적으로;0}어떤Δ t∈(0,Δ t0]{\displaystyle \Delta t\in(0,\Delta t_{0}해결}, 상태 벡터 qn{\displaystyle q_{n}의 시간에 유한한 변화}의 tn{\display다고 한다.스타일$t_{n}}$은(는$)$ 이후 ${\displaystyle t_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle 1_{}}$ ${\$에 계산된$$ $상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태-상태$의 변화만 증가하지 않는 변화를$$ 유도시간 통합 체계가

${\displaystyle q_{n+1}=A(\Delta t)q_{n}+g_{n+1}(\Delta t)}$

The linear stability is equivalent to ${\displaystyle \rho (A(\Delta t))\leq 1}$, here ${\displaystyle \rho (A(\Delta t))}$ is the spectral radius of the update matrix ${\displaystyle A(\Delta t)}$.

선형 구조 방정식의 경우

${\ddot{u}+C{\dot{u}}+Ku=f^{\textrm {ext}\},}$

$여기$서 K ${\displaystyle K}$은 강성 행렬이다.${\displaystyle {qn}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}n}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{n}=[{\dot{u}}_{n$ $업데이트$ 매트릭스는 A${\displaystyle }$= H 1${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ H ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle A=H_{1}^{-1}.$$H_{0}}$ $,$ 그리고

${\displaystyle {\reasoned}H_{1}={\begin{bmatrix}M+\gamma \Delta tC&\gamma \Delta tK\\\beta \Delta t^{2}C&M+\beta \Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}M-(1-\gamma )\Delta tC&-(1-\gamma )\Delta tK\\-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}C+\Delta tM&M-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

비감쇠 사례(${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C=0})$의 경우 일반화된 고유값 문제로 해결되는 구조 시스템의$$ 고유모드 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\$을(를)를 도입하여 업데이트 매트릭스를 분리할 수 있다.

${\displaystyle \omega ^{2}Mx=Kx\,}$

각 고유 모드에 대해 업데이트 매트릭스는

${\displaystyle {\reasoned}H_{1}={\begin{bmatrix}1&\gamma \Delta t\omega _{i}^{2}\\0&1+\beta \Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}1&-(1-\gamma )\Delta t\omega _{i}^{2}\\\Delta t&1-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

업데이트 매트릭스의 특성 방정식은

${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(2-(\gamma +{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}\right)\lambda +1-(\gamma -{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}=0\,\qquad \eta _{i}^{2}={\frac {\omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}{1+\beta \omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}}}$

안정성에 관해서는,

명시적 중심 차이 체계(${\displaystyle }$= 0.${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \gamma$= 0.5$} 및$ $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \beta =0$ )는 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ t${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \Delta t\leq$ 2$\}$일 때 안정적이다.

평균 상수 가속(${\displaystyle }$ 규칙) ( ( = 0.${\displaystyle \gamma =0.5$$},$ ${\displaystyle \mathrm{\beta }=}$ 0.${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle \beta =0.25$은 무조건 안정적이다.

참조