닫힌 형식 표현

수학에서 식이 산술 연산 $(+, -$ , $\times, /,$ 정수 거듭제곱)과 함수 구성에 의해 연결된 상수, 변수 및 유한 집합의 기본 함수로 구성된 경우 닫힌 형태입니다. 일반적으로 허용되는 함수는 n번째 근, 지수 함수, 로그 및 삼각 함수입니다.^[1] 그러나 기본 기능 세트는 상황에 따라 다릅니다.

닫힌 형태 문제는 한계, 급수 및 적분과 같은 수학적 객체를 지정하는 새로운 방법이 도입될 때 발생합니다. 이러한 도구로 지정된 객체가 주어지면 자연스러운 문제는 가능하면 이 객체의 닫힌 형태 표현, 즉 이전 지정 방법의 관점에서 이 객체의 표현을 찾는 것입니다.

예제: 다항식의 근

2차 공식

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

는 일반 이차 방정식 a $ax^{2}+bx+c=0.$ 2 $ax^{2}+bx+c=0.$ + $ax^{2}+bx+c=0.$ $ax^{2}+bx+c=0.$ + c = $ax^{2}+bx+c=0.$ 에 대한 해의 닫힌 형태입니다 $ax^{2}+bx+c=0.$ $ax^{2$ + $bx+c$ = 0 $.}$

보다 일반적으로 다항식의 맥락에서, 해의 닫힌 형태는 라디칼 형태의 해입니다. 즉, 허용되는 함수가 n번째 루트 및 필드 연산 $(+,-,\times ,/).$ - $(+,-,\times ,/).$ 에 불과한 닫힌 형태의 식입니다 $(+,-,\times ,/).$ ${\displaystyle(+,-,-,\times,/).$ $}$ 실제로 $(+,-,\times ,/).$ 필드 이론은 다항식의 해가 지수, 로그 또는 삼각 함수를 포함하는 닫힌 형태를 가지면 이러한 함수를 포함하지 않는 닫힌 형태를 갖는다는 것을 보여줍니다.^{[citation needed]}

3차 방정식(degree 3)과 4차 방정식(degree 4)의 모든 해에 대한 라디칼 표현이 있습니다. 이러한 표현식의 크기는 정도에 따라 크게 증가하여 유용성을 제한합니다.

더 높은 차수에서 아벨-루피니 정리는 해가 라디칼로 표현될 수 없으므로 닫힌 형태가 없는 방정식이 있다고 말합니다. 가장 간단한 예는 방정식 $x^{5}-x+1.$ 5 $x^{5}-x+1.$ - $x^{5}-x+1.$ + $x^{5}-x+1.$ ${\displaystyle$ x $^{5}-x+1.}$ 갈루아 $x^{5}-x+1.$ 이론은 특정 다항식을 라디칼로 풀 수 있는지 여부를 결정하는 알고리즘 방법을 제공합니다.

기호통합

기호 통합은 본질적으로 닫힌 형식 표현식에 의해 지정된 함수의 반미분에 대한 닫힌 형식의 검색으로 구성됩니다. 이러한 맥락에서 닫힌 형태를 정의하는 데 사용되는 기본 함수는 일반적으로 로그, 지수 함수 및 다항식 근입니다. 이러한 기본함수에 대해 닫힌 형태를 갖는 함수를 기본함수라고 하며 삼각함수, 역삼각함수, 쌍곡함수, 역쌍곡함수 등이 있습니다.

따라서 기호 적분의 근본적인 문제는 닫힌 형식 표현에 의해 지정된 기본 함수가 주어지면 그 반미분이 기본 함수인지 여부를 결정하고, 만약 그렇다면 이 반미분에 대한 닫힌 형식 표현을 찾는 것입니다.

유리함수, 즉 두 다항함수의 분수의 경우, 반미분은 항상 유리분수가 아니라 로그와 다항근을 포함할 수 있는 기본 함수입니다. 이는 일반적으로 부분 분수 분해로 증명됩니다. 로그와 다항식 근의 필요성은 공식에 의해 설명됩니다.

\int {\f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots}(g(x))}{\frac {f(\alpha)}{g'(\alpha)}\ln(x-\alpha),

이는 $g$ ${\displaystyle$ $f$ $}$ 및 $g$ ${\displaystyle$ $g}$ 가 제곱 자유이고 $\deg f<\deg g.$ ⁡ $f$ < $\deg f<\deg g.$ ⁡ g가 되도록 코프프라임 다항식인 경우에 유효합니다. ${\displaystyle$ \deg f<\deg g.}

대체 정의

"잘 알려진"의 정의를 추가 함수를 포함하도록 변경하면 닫힌 형태의 해로 방정식 집합을 변경할 수 있습니다. 많은 누적 분포 함수는 오차 함수나 감마 함수와 같은 특수 함수를 잘 알고 있다고 간주하지 않는 한 닫힌 형태로 표현할 수 없습니다. 일반적인 초기하학 함수를 포함하면 5차 방정식을 푸는 것이 가능하지만, 그 해는 대수적으로 너무 복잡해서 유용하지 않습니다. 많은 실제 컴퓨터 응용 프로그램의 경우, 감마 함수 및 기타 특수 함수가 널리 사용 가능하므로 잘 알려져 있다고 가정하는 것이 전적으로 합리적입니다.

해석식

해석식(analytic expression) 또는 해석식(analytic form 또는 analytic formula)은 계산에 쉽게 도움이 되는 잘 알려진 연산을 사용하여 구성된 수학식입니다.^[vague]^{[citation needed]} 닫힌 형식 식과 유사하게 허용되는 잘 알려진 함수 집합은 문맥에 따라 달라질 수 있지만 기본 산술 연산(가산, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈), 실수 지수로의 지수화(n번째 루트 추출 포함), 로그 및 삼각 함수를 항상 포함합니다.

그러나 분석적 표현으로 간주되는 표현의 클래스는 폐쇄형 표현의 클래스보다 더 넓은 경향이 있습니다. 특히, 베셀 함수나 감마 함수와 같은 특수 함수는 보통 허용되며, 종종 무한급수와 연속분수도 허용됩니다. 반면 일반적으로 제한, 특히 적분은 일반적으로 제외됩니다.^{[citation needed]}

분석식이 대수적 연산(가변수에 대한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 지수화)과 유리상수만을 포함하는 경우, 보다 구체적으로 대수식이라고 합니다.

여러 클래스의 표현식 비교

닫힌 형식 표현식은 잘 알려진 함수의 유한한 수의 응용 프로그램을 포함하는 분석 표현식의 중요한 하위 클래스입니다. 광범위한 분석식과 달리 닫힌 형식 식에는 무한 급수나 연속 분수가 포함되지 않으며 적분이나 한계도 포함되지 않습니다. 실제로, 스톤-바이에르스트라스 정리에 의해 단위 구간의 모든 연속 함수는 다항식의 극한으로 표현될 수 있으므로, 다항식을 포함하고 극한에서 닫힌 함수의 모든 종류는 반드시 모든 연속 함수를 포함합니다.

마찬가지로 식 또는 연립방정식은 적어도 하나의 해를 닫힌 형태의 식으로 표현할 수 있는 경우에만 닫힌 형태의 해를 갖는다고 하며, 적어도 하나의 해를 해석식으로 표현할 수 있는 경우에만 해석적인 해를 갖는다고 합니다. (Chow 1999) 이하에서 논의되는 "폐쇄형 솔루션"에 대한 논의에서 "폐쇄형 함수"와 "폐쇄형 수" 사이에는 미묘한 차이가 있습니다. 폐쇄형 또는 분석형 솔루션을 명시적 솔루션이라고 부르기도 합니다.

v t	산술식	다항식	대수식	닫힌 형식 표현식	분석식	수학식
일정한	네.	네.	네.	네.	네.	네.
초산연산	네.	덧셈, 뺄셈, 곱셈만 가능	네.	네.	네.	네.
유한합	네.	네.	네.	네.	네.	네.
유한곱	네.	네.	네.	네.	네.	네.
유한 연속분수	네.	아니요.	네.	네.	네.	네.
변수	아니요.	네.	네.	네.	네.	네.
정수 지수	아니요.	네.	네.	네.	네.	네.
정수 n번째 근	아니요.	아니요.	네.	네.	네.	네.
유리수	아니요.	아니요.	네.	네.	네.	네.
정수 계승	아니요.	아니요.	네.	네.	네.	네.
무리수 지수	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.	네.
지수함수	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.	네.
로그	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.	네.
삼각함수	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.	네.
역삼각함수	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.	네.
쌍곡함수	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.	네.
역쌍곡선함수	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.	네.
대수적 해가 아닌 다항식의 근	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.
정수가 아닌 자의 감마 함수 및 요인	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.
베셀 함수	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.
특수기능	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네.	네.
무한합(직렬)(직렬 포함)	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	수렴만	네.
무한제품	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	수렴만	네.
무한 연속 분수	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	수렴만	네.
제한.	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네.
파생상품	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네.
적분	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네.

비공개 형식 표현식 처리

닫힌 형태 식으로의 변환

식:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}

는 합이 무한히 많은 기본 연산을 수반하기 때문에 닫힌 형태가 아닙니다. 그러나 기하급수를 합하면 이 식을 닫힌 형태로 표현할 수 있습니다.^[2]

f(x)=2x.

미분 갈루아 이론

닫힌 형식 표현식의 적분은 그 자체로 닫힌 형식 표현식으로 표현될 수도 있고 표현되지 않을 수도 있습니다. 이 연구는 대수적 갈루아 이론과 비유하여 미분 갈루아 이론이라고 합니다.

미분 갈루아 이론의 기본 정리는 1830년대와 1840년대의 조셉 리우빌에 의한 것이며, 따라서 리우빌의 정리라고 합니다.

기본 함수에서 반미분이 닫힌 형태의 표현을 갖지 않는 표준 예는 다음과 같습니다.

e^{-x^{2}},

(최대 곱셈 상수까지) 오차 함수의 1개의 반미분은 다음과 같습니다.

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.

수학 모델링 및 컴퓨터 시뮬레이션

폐쇄형 또는 분석 솔루션에 비해 너무 복잡한 방정식 또는 시스템은 종종 수학적 모델링 및 컴퓨터 시뮬레이션에 의해 분석될 수 있습니다(예를 들어 물리학 참조^[3]).

폐식번호

복소수 $C$ 의 세 하위 필드는 "폐쇄형 수"의 개념을 인코딩하는 것으로 제안되었습니다. 일반성이 증가하는 순서로, 이것들은 리우빌 수(합리적 근사치의 의미에서 리우빌 수와 혼동되지 않음), EL 수 및 기본 수입니다. $L$ 로 표시된 리우빌리언 수는 지수와 로그(공식적으로 모든 하위 필드의 교차점) 하에서 닫힌 $C$ 의 가장 작은 대수적으로 닫힌 하위 필드를 형성합니다. 즉, 명시적인 지수와 로그를 포함하지만 명시적이고 암묵적인 다항식(다항식의 근)을 허용하는 숫자입니다. (Ritt 1948, p. 60). $L$ 은 원래 기본적인 수라고 불렸지만, 지금은 대수적 연산, 지수, 로그 등으로 명시적 또는 암묵적으로 정의된 수를 가리키는 용어로 더 널리 사용되고 있습니다. (Chow 1999, pp. 441–442)에서 제안된 더 좁은 정의는 $E$ 로 표시되고 EL 숫자로 언급되며, 지수 및 로그 하에서 닫힌 $C$ 의 가장 작은 하위 필드입니다. 이는 대수적으로 닫힐 필요가 없으며 명시적인 대수, 지수 및 로그 연산에 해당합니다. "EL"은 "지수-대수"의 약자이자 "초등"의 약자입니다.

어떤 수가 닫힌 형식의 수인지 여부는 어떤 수가 초월적인지 여부와 관련이 있습니다. 형식적으로 리우빌 수와 소인수는 대수적 수를 포함하며, 모든 초월수는 아니지만 일부를 포함합니다. 이와 대조적으로 EL 수는 모든 대수적 수를 포함하지는 않지만 일부 초월적 수를 포함합니다. 닫힌 형태의 수는 초월수 이론을 통해 연구할 수 있으며, 이 이론의 주요 결과는 겔폰드-슈나이더 정리이며, 주요 미해결 문제는 Schanuel의 추측입니다.

수치 연산

숫자 계산의 경우 많은 한계와 적분을 효율적으로 계산할 수 있기 때문에 일반적으로 닫힌 형태가 필요하지 않습니다. 삼체 문제나 호지킨 문제를 나타내는 방정식과 같이 닫힌 형태의 해가 없는 방정식도 있습니다.헉슬리 모델. 따라서 이러한 시스템의 미래 상태는 수치로 계산해야 합니다.

수치 형태에서 변환

RIES를 포함한 수치에 대한 닫힌 형태의 식을 찾으려는 소프트웨어가 있습니다.^[4] Maple^[5] and SymPy,^[6] Plouffe's Inverter,^[7] Inverse Symbol Calculator에서 식별합니다.^[8]

참고 항목

대수적 해 – 다항식의 라디칼 단위 해 하는 페이지
컴퓨터 시뮬레이션 – 컴퓨터에서 수행되는 수학적 모델링 과정
초등함수 – 수학함수
유한 작업 – 덧셈, 곱셈, 나눗셈, ...
수치해 – 수치 근사법을 이용한 알고리즘 연구 방향 전환 대상에 대한 간략한 설명을 표시한 페이지
리우빌 함수 – 기본 함수와 그 유한 반복 적분
기호 회귀 분석 – 회귀 분석 유형
타르스키의 고등학교 대수 문제 – 수학 문제
용어 (논리) – 수학 또는 논리 공식의 구성 요소
Tupper의 자기 참조 공식 – 그래프를 그릴 때 시각적으로 자신을 나타내는 공식

참고문헌

^ 쌍곡선함수, 역삼각함수, 역쌍곡선함수도 앞의 것으로 표현할 수 있기 때문에 허용됩니다.
^ Holton, Glyn. "Numerical Solution, Closed-Form Solution". riskglossary.com. Archived from the original on 4 February 2012. Retrieved 31 December 2012.
^ Barsan, Victor (2018). "Siewert solutions of transcendental equations, generalized Lambert functions and physical applications". Open Physics. 16. De Gruyter: 232–242. doi:10.1515/phys-2018-0034. Archived from the original on Nov 3, 2023.
^ Munafo, Robert. "RIES - Find Algebraic Equations, Given Their Solution". MROB. Retrieved 30 April 2012.
^ "identify". Maple Online Help. Maplesoft. Retrieved 30 April 2012.
^ "Number identification". SymPy documentation. Archived from the original on 2018-07-06. Retrieved 2016-12-01.
^ "Plouffe's Inverter". Archived from the original on 19 April 2012. Retrieved 30 April 2012.
^ "Inverse Symbolic Calculator". Archived from the original on 29 March 2012. Retrieved 30 April 2012.

추가읽기

Ritt, J. F. (1948), Integration in finite terms
Chow, Timothy Y. (May 1999), "What is a Closed-Form Number?", American Mathematical Monthly, 106 (5): 440–448, arXiv:math/9805045, doi:10.2307/2589148, JSTOR 2589148
Jonathan M. Borwein and Richard E. Crandall (January 2013), "Closed Forms: What They Are and Why We Care", Notices of the American Mathematical Society, 60 (1): 50–65, doi:10.1090/noti936

외부 링크

[1] 쌍곡선함수, 역삼각함수, 역쌍곡선함수도 앞의 것으로 표현할 수 있기 때문에 허용됩니다.

[2] Holton, Glyn. "Numerical Solution, Closed-Form Solution". riskglossary.com. Archived from the original on 4 February 2012. Retrieved 31 December 2012.

[3] Barsan, Victor (2018). "Siewert solutions of transcendental equations, generalized Lambert functions and physical applications". Open Physics. 16. De Gruyter: 232–242. doi:10.1515/phys-2018-0034. Archived from the original on Nov 3, 2023.

[4] Munafo, Robert. "RIES - Find Algebraic Equations, Given Their Solution". MROB. Retrieved 30 April 2012.

[5] "identify". Maple Online Help. Maplesoft. Retrieved 30 April 2012.

[6] "Number identification". SymPy documentation. Archived from the original on 2018-07-06. Retrieved 2016-12-01.

[7] "Plouffe's Inverter". Archived from the original on 19 April 2012. Retrieved 30 April 2012.

[8] "Inverse Symbolic Calculator". Archived from the original on 29 March 2012. Retrieved 30 April 2012.

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