주사함수

기능.
x ↦ f (x)
도메인과 코드 도메인의 예
${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{B}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathbb {B}}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathbb {B}^{n}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathbb {Z}}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{n}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{C}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathbb {C}}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$\},$ ${\displaystyle \mathbb {C}^{n}$ → ${\displaystyle X}$
클래스/속성
일정한 신원 선형 다항식 합리적인 대수학 분석적 매끄러운 계속되는 측정가능한 주사적인 주관적 비투사적
시공
제약 구성. λ 역
일반화
부분적 다중값 암시적 공간
v t

수학에서, 주입 함수(injection function)는 정의역의 다른 요소를 다른 요소에 매핑하는 함수 f입니다. 즉, x ≠ x는 f(x) ≠ f(x)를 의미합니다. (동등하게, f(x) = f(x)는 x = x를 의미합니다.)즉, 함수의 코드 도메인의 모든 요소는 도메인의 최대 한 요소의 이미지입니다.^[1]일대일 함수라는 용어는 코드 도메인의 각 요소가 도메인의 한 요소의 이미지가 되는 함수인 사영 함수를 지칭하는 일대일 대응과 혼동되어서는 안 됩니다.

대수적 구조들 사이의 동형은 구조들의 연산과 양립할 수 있는 함수입니다.모든 공통 대수 구조와 특히 벡터 공간의 경우, 주입형 동형 사상은 단형 사상이라고도 합니다.그러나 범주 이론의 보다 일반적인 맥락에서 단형론의 정의는 주입적 동형론의 정의와 다릅니다.^[2]따라서 이들이 대수적 구조에 대해 동치라는 정리입니다. 자세한 내용은 동형론 § 단형론을 참조하십시오.

$주입형$이 아닌$$ ${\displaystyle$ f$} 함수$를 다대일 함수라고 부르기도 합니다.^[1]

정의.

$f$ ${\displaystyle f}$를 정의역이 집합 $X$인 함수라고 하자${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$ 함수 $f$ ${\displaystyle f}$는 $X$의 $모든$ ${\displaystyle a}$ 및 $b$ ${\displaystyle b}$에 대해${\displaystyle }$$f{\displaystyle }$(${\displaystyle a)}$ = f ${\displaystyle (b),}$ ${\displaystyle$ f ($a)$ = f$(b),$ $a$ = b ${\displaystyle$a = $b$ 즉 $f$ ${\displaystyle (a)}$ = ${\displaystyle f}$(${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle$ f}의 경우에 주입형 함수라고 합니다.$ystyle f(a)=f(b)}$는 $a$ $=$ ${\displaystyle b}$를 의미합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ a$=$$b.}$ 이와 동일하게 $≠$ $b{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ a$\neq$ b$,}$인 경우 f${\displaystyle }$(${\displaystyle a)}$는 대조 문에서 ${\displaystyle f}$(b$)$ {\$displaystyle f($a)\$neq$f($b)}$를 $≠$합니다.

상징적으로.

논리적으로 ^[3]비유하자면

예

시각적 예제의 경우 독자는 갤러리 섹션으로 이동합니다.

• 임의의 집합 $X$ ${\displaystyle X}$ 및 임의의 부분 집합 $S$ ⊆ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ 포함 맵 $S$ → ${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle S\in$ S$}(모든$ $요소$ ∈ $\$in $S}$를 자신에게 전송)는 주입형입니다.특히, 아이덴티티 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$X →$$X {\$displaystyle X\to$ X$}$은(사실은) 항상 주입적입니다.
• 함수의 도메인이 빈 집합일 경우 함수는 빈 함수이며, 이는 주입형입니다.
• 함수의 도메인에 요소가 하나(즉, 단일 톤 집합) 있으면 함수는 항상 주입형입니다.
• ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ f :${\displaystyle R}$ → ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$ f $:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$= 2 ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(x$)= 2 $x$+ $1}$로 정의된 함수 $f$는 주입형입니다.
• $함수$ $g$ :${\displaystyle R}$ → ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$ g $:\mathbb {R} \to \mathbb${${\displaystyle R}$$}$${\displaystyle }$= x ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle g(x$)=$x^{2}}$는 (예를 들어) g${\displaystyle }$(${\displaystyle 1)}$ = ${\displaystyle 1}$ = ${\displaystyle g}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1)}$이기 때문에 주입형이 아닙니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle g(1$)= 1 = g$$(-$1).$ 그러나 $g$ ${\displaystyle g}$이(가) 도메인이 음수가 아닌 실수 [0,+ ∞]이 되도록 재정의된 경우,$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는) 주입형입니다.
• ${\displaystyle \mathrm{지수}}$ 함수 exp${\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$ →${\displaystyle }$R {\$displaystyle \exp$ :\$mathbb {R} \to \mathbb {R}$= ${\displaystyle {exp}^{}}${\$displaystyle \exp(x$)=$e^{x}}$로 정의된 지수 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ exp : R → ${\displaystyle R}$ ${\$displaystyle \exp(x) \to \mathbb {R}은(는) 사사적입니다. 실제 값이 음수로 매핑되지 않으므로 사사적이지 않습니다.
• $x$ ↦ ${\displaystyle \ln }$ ⁡${\displaystyle }$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\mapsto \ln$ $x$$}$로 정의된 자연 로그 함수 ${\displaystyle \ln }$:$(0,\infty )\to \mathbb {R}$은(는) 주입식입니다.
• $함수$ $g$ :${\displaystyle R}$ → ${\displaystyle G}$ ( ${\displaystyle x)}$= x ${\displaystyle n^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$x {\$displaystyle$ g $:\mathbb {R} \to \mathbb {R$} = x n - ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x$) = $x^{n}-x}$는 $주입형$이 ${\displaystyle \mathrm{아닙니다}.}$ ${\displaystyle \mathrm{예}}$를 $들어$ g (0) = g ${\displaystyle (1)}$ = 0. {\$displaystyle g(0$) = g$(1$) = $0.}$

일반적으로 $X$ ${\displaystyle X}$와 Y ${\displaystyle Y}$가 모두 실선 $R{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R},}$일 때, ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$은(는) 그래프가 두 번 이상 어떤 수평선과도 교차되지 않는 함수입니다.이 원리를 수평선 테스트라고 합니다.^[1]

주입을 취소할 수 있음

왼쪽 반전이 있는 함수는 항상 주입입니다.즉, 함수 $g$가${\displaystyle Y}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$,}$인 경우 $f$:${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g:$모든 $x$ $∈$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$에 대해$$$g{\displaystyle (f}$ ( ${\displaystyle x))}$ $=$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(f(x))$가 되도록 $Y\to X}$$=x$인 $경우$ f ${\displaystyle$ f$}$은(는) 주입형입니다.이 경우 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을(를${\displaystyle )}$ $f$의 후퇴라고 $합니다.$ {\displaystyle $f.}$ 반대로$$ f ${\displaystyle f}$을(를) $g$의${\displaystyle }$섹션이라고 $합니다.$ {\displaystyle $g.}$

반대로 도메인이 비어$$ 있지 않은 $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 주입에는 왼쪽 $역g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 있습니다$.$$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 도메인에서 $요소$ a ${\displaystyle a}$를 선택하고$$ $g{\displaystyle (y)}$ ${\displaystyle g(y)}$을(를) 사전 $이미지{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$[$$y ] {\$displaystyle f^{-1}[$y]}($$비우지 않은 경우) 또는 ${\displaystyle a}($$다른{\displaystyle }$ 경우)로 설정하여 정의할 수 있습니다.^[4]

왼쪽 반전 $g$ ${\displaystyle g}$는 $다른$ 순서인 f ∘ g${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f\circ g}$의 구성이 $Y$의 항등식과 다를 수 있으므로 $반드시$ {\$displaystyle f$${\displaystyle ,\}}$의 반전은 $아닙니다.$$$즉, 주입함수는 왼쪽 반전에 의해 "거꾸로" 될 수 있지만 반드시 되돌릴 수 있는 것은 아닙니다.이것은 그 기능이 객관적이어야 한다는 것을 요구합니다.

주사를 가역적으로 만들 수 있음

실제로, 주입 함수 $f{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ → Y ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$를 비사적(hence 반전 가능) 함수로 변환하려면 코드 도메인 $Y$ ${\displaystyle Y}$을(를) $실제$ 범위 J${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle X}$ )로 대체하면 $됩니다.$ {\$displaystyle J$= f ($X).$$}$즉, 모든 $x$ $∈$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$에 $대해$ g ${\displaystyle (x)}$ $=$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle g(x$) $=$ $f(x)}$가 되도록 $g{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ $→$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$로 하면$,$ $g$ ${\displaystyle g}$는 객관적입니다.실제로 $f$ ${\displaystyle f}$은(는${\displaystyle {)}_{}}$ ${\displaystyle J{}_{}}$ Y${\displaystyle }$∘$$g, {\$displaystyle$ \$operatorname {In} _{J,Y}\circ$ g로 인수분해할 수 있습니다. 여기서 ${\displaystyle {J,}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}$은(는$)$ J {\$displaystyle J}$에서 $Y$로의 포함 함수입니다$.$ {\$displaystyle$ Y$.}$

더 일반적으로, 주사 부분 함수는 부분 사영(partial bijection)이라고 불립니다.

기타속성

• ${\displaystyle f}$과 g ${\displaystyle g}$이(가) 둘 다 주입형이면 $f$ ∘ g ${\displaystyle f\circ g}$이(가) 주입형입니다.
• $g$ ∘ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\circ f}$이(가) 주입형이면 $f$ ${\displaystyle f}$이(가) 주입형이지만 $g$ ${\displaystyle g}$은(는) 필요가 없습니다.
• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle :X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$는 임의의 함수 $g{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle g,}$ $h$ ${\displaystyle :}$${\displaystyle W}$ → X ${\displaystyle h:$$f$ $∘$ ${\displaystyle g}$ $=$ ${\displaystyle f}$ $∘$ h${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f\circ g$$=$$f\circ,}$일 때마다 $W\to X},$ $g$ $=$ ${\displaystyle h.}$ ${\displaystyle$g$=$$h.}$ 즉, 주입함수는 정확히 집합 범주의 단형함수입니다.
• $f{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ → Y ${\displaystyle f:X\to Y}$가 주입형이고 $A$ ${\displaystyle A}$이(가) $,$ {\$displaystyle X,}$의 부분 집합이면 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}f}$(A${\displaystyle ))}$= $.$ {\$displaystyle$ f$^{-1}(f(A))$$=A.}$ 따라서 이미지 $f{\displaystyle (A}$)에서 {\$displaystyle$${\displaystyle }$A$}$을$($를) 복구할 수 있습니다. ${\displaystyle$ f$(A)}$
• $f{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$가 주입형이고 $A$ ${\displaystyle$ $A$$}$ $및$ B ${\displaystyle B}$가 모두 $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ X$,}$의 하위 집합이면 $f$ ${\displaystyle (A}$ ∩ B${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle f}$(${\displaystyle A}$ )${\displaystyle }$∩ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle B}$) .${\displaystyle f(A\cap$B)= $f(A)\cap f(B)$ .
• 모든 함수 $h$ :${\displaystyle W}$ → Y ${\displaystyle$ h$$:$적합$한 주입 {\$displaystyle$ f$}$및 주입 $.{\displaystyle g.}$에 대해 W$\to$ Y$}$를 $h$ $=$ ${\displaystyle f}$ $∘$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle$h$=$$f\circ g}$로 분해할 수 있습니다.$$ 이 분해는 동형 사상까지 고유하며, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$의 범위$$ h${\displaystyle (W)}$ ${\displaystyle h(W)}$의 코드 도메인 Y ${\displaystyle y}$의 부분 집합에 포함되는 함수로 간주할 수 있습니다$$.${\displaystyle h.}$
• $f{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$가 주입 함수라면 $Y$ ${\displaystyle$ Y$}$는 기수의 $의미$에서${\displaystyle }$X$,$ {\$displaystyle$ X$,}$만큼의 요소를 갖습니다.특히 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에서 $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X,}$로의 주입이 있는 경우 $X$ ${\displaystyle X}$와 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$}$의 $기수$가 동일합니다.(이것을 칸토어-번스타인-슈뢰더 정리라고 합니다.)
• $X$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$가 모두 동일한 수의 요소로 유한한 $경우$ f: X → $Y$ ${\$$displaystyle f:X\to$ Y$}$는 f {\$displaystyle$ f$}$이(f${\displaystyle$ f$}$이($가$) 사사적인 경우에만 사사적입니다.
• 두 대수적 구조 사이의 동형인 주입 함수는 임베딩입니다.
• 함수의 그래프와 코드 도메인 사이의 관계인 주관성과는 달리, 주관성은 함수의 그래프만의 성질입니다. 즉, 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$가 주관적인지 $여부$는 f 의 그래프(코드 도메인이 아닌)만 고려하여 결정할 수 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle f.}$

기능이 주입적이라는 것을 증명하는 것

함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 주입적이라는 증거는 함수가 표시되는 방식과 함수가 갖는 속성에 따라 달라집니다.어떤 공식에 의해 주어진 함수에는 기본적인 아이디어가 있습니다.우리는 주입의 정의를 $사용$합니다. 즉${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$ )$$= f (${\displaystyle }$y${\displaystyle }$)$$, {\$displaystyle f$( x ) = f ( y ) $,}$ 인 $경우$ x = ${\displaystyle y}$. ${\displaystyle$x = y $.}$

다음은 예입니다.

증명: $f$를${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$라고 합니다$.$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $f$ ${\displaystyle (x)}$ = ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (y)}$ 라고 가정합니다${\displaystyle .}${\$displaystyle$ f$(x$) = $f(y$).$}$따라서 2 ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 3}$ $=$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$+ 3 ${\displaystyle 2x+3$$=$2y+$3}은$2 ${\displaystyle x}$ $=$ 2 ${\displaystyle y}$,${\displaystyle 2x$$=$$2y,}$은 $x$ $=$ y를 ${\displaystyle \mathrm{의미}}$합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$x$=$$y.$$}$따라서$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$이(가) 주입적이라는$$ 정의를 따릅니다.

함수가 주입적이라는 것을 증명하는 여러 가지 다른 방법이 있습니다.예를 들어, 미적분학에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$가 어떤 구간에서 정의된 미분 가능한 함수라면, 그 구간에서 도함수가 항상 양수이거나 항상 음수임을 보여주는 것으로 충분합니다.선형 대수학에서, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$가 선형$$ 변환이라면,$$f {\$displaystyle$ f$}$의 커널이 영벡터만$$ 포함하고 있음을 보여주는 것으로 충분합니다.${\displaystyle f}$이(가) 유한 도메인을 가진 함수인 $경우{\displaystyle }$ 각 도메인 요소의 이미지 목록을 훑어보고 목록에서 이미지가 두 번 발생하지 않는지 확인하면 됩니다.

실제 변수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 실제 값 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 대한 그래픽 접근 방식은 수평선 테스트입니다.모든 수평선이 최대 한 점에서$$ $f{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle f(x))$의 곡선과 교차하면 f ${\displaystyle$ f$}$는 $주입형$ 또는 일대일입니다.

갤러리

참고 항목

• 비투사, 주입 및 사영 – 수학적 함수의 특성
• 주입 메트릭 공간 – 메트릭 공간 유형
• 단조 함수 – 순서 보존 수학 함수
• 단가 함수 – 수학적 개념 위키데이터 설명을 폴백으로 표시하는 페이지

메모들

참고문헌

• Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05464-1Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05464-1p. 17 ff
• Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, New York: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, New York: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6p. 38 ff

외부 링크

• 일부 수학 단어의 초기 사용: 주입, 주입 및 비사출에 대한 항목은 주입 및 관련 용어의 역사를 가지고 있습니다.
• Khan Academy – 주관적(to) 및 주입적(one-to-one) 기능:주관적 기능 및 주입적 기능 소개