파생상품의 일반화

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미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
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수학에서, 파생상품은 미분학의 근본적인 구성이며, 수학 분석, 결합학, 대수학, 기하학 분야 내에서 가능한 많은 일반화를 인정한다.

분석 중인 파생상품

실제, 복합, 기능 분석에서 파생상품은 위상 벡터 공간 사이의 여러 실제 또는 복합 변수의 함수와 함수로 일반화된다. 중요한 경우는 변동의 미적분학에서의 변이파생이다. 분화의 반복적 적용은 고차원의 파생상품과 차등사업자의 파생상품으로 이어진다.

다변량 미적분학

파생상품은 종종 단일 실제 변수의 단일 실제 함수에 대한 연산으로서 처음으로 충족된다. 일반화를 위한 가장 간단한 설정 중 하나는 여러 변수의 벡터 값 함수(대부분 도메인이 벡터 공간을 형성하기도 함)이다. 이것은 다변량 미적분학의 분야다.

1변수 미적분학에서 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ R ${\$ f$:\mathb {R} \to \mathb {R}$은(는) 한계인 경우 점 x에서 다를 수 있다고$$ 한다.

${\displaystyle \lim_{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

그 가치는 파생상품 ƒ'(x)이다. 함수는 간격 내의 모든 점에서 서로 다른 경우 간격마다 다르다. Since the line ${\displaystyle L(z)=f'(x)(z-x)+f(x)}$ is tangent to the original function at the point ${\displaystyle (x,f(x)),}$ the derivative can be seen as a way to find the best linear approximation of a function. 설정 $L{\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$) = ${\displaystyle {}^{}(}$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle z}${\$displaystyle L(z)=f'(x)z},$L(z)은 그 자체에서 벡터 공간으로 간주되는 R에서 실제 선형 연산자가 된다.

${\displaystyle {}^{}}$는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ m {\$displaystyle \mathb${R} $^{m}}$을$($를$)$ R ${\displaystyle {}^{}}$에 매핑하는 함수에 다음과 같은 일반화를 유발한다. {\$displaystyle \mathb {R} ^{n}}}$ : $:$은 선형 연산자 A(x)(x에 따라)가 존재하는 경우 x에서 구별 가능하다.

${\displaystyle \lim _{\h\\to 0}{\frac {\f(x+h)-f(x)-A(x)h\}{\ h\}}}=0.}$

비록 이 정의가 위와 같이 명시적이지는 않지만, 그러한 운영자가 존재한다면, 그것은 독특하며, 1차원 사례에서는 원래의 정의와 일치한다. (이 경우 파생상품은 단독 엔트리 f'(x)로 구성된 1 by-1 매트릭스로 표현된다.) 일반적으로 우리는 대부분 개별 지점이 아닌$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$의 일부 개방된 인접 지역에서 서로 다른 기능을 갖는 것에 대해 우려하며, 그렇게 하지 않는 것이 많은 병리학적 카운트렉샘플을 초래하는 경향이 있다.

선형 연산자 A(x)의 n by m 행렬은 지점 x에서 매핑 ƒ의 Jacobian 행렬 J_x(iacobian matrix)로 알려져 있다. 이 행렬의 각 입력은 도메인 좌표의 변화에 관한 한 범위 좌표의 변화 속도를 명시하는 부분파생물을 나타낸다. 물론, 구성_° gf의 자코비안 행렬은 해당 자코비안 행렬의 산물이다_x: J(gf_°) =J_ƒ(x)(j)J_x(j). 이것은 체인 룰을 고차원적으로 표현한 것이다.

R에서ⁿ R까지(scalar fields)의 실제 평가된 함수의 경우, 총 파생상품은 gradient라고 하는 벡터 장으로 해석할 수 있다. 그라데이션의 직관적인 해석은 "위"를 가리킨다는 것이다. 즉, 기능의 가장 빠른 증가 방향을 가리킨다는 것이다. 스칼라 함수 또는 정상 방향의 방향 유도체를 계산하는 데 사용할 수 있다.

일부 파생상품의 몇 가지 선형ⁿ 결합은 벡터 값 함수 R에서ⁿ R까지로 정의된 미분 방정식의 맥락에서 특히 유용하다. 이 차이는 점 근처에 얼마나 많은 "출처" 또는 "싱크"가 있는지를 측정한다. 그것은 발산 정리에 의해 유속을 계산하는 데 사용될 수 있다. 이 컬은 벡터 필드가 한 점에 가까운 "회전" 정도를 측정한다.

R에서 R까지의ⁿ 벡터 값 함수(즉, 모수 곡선)의 경우 각 성분의 파생상품을 별도로 취할 수 있다. 그 결과 파생상품은 또 다른 벡터 가치 함수다. 예를 들어 벡터 값 함수가 시간을 통과하는 입자의 위치 벡터라면, 파생상품은 시간을 통과하는 입자의 속도 벡터다.

대류파생물은 벡터장을 따라 공간을 통한 시간 의존과 움직임으로 인한 변화를 고려한다.

볼록해석

하위분열 및 하위분열은 볼록함수에 대한 파생상품의 일반화다.

고차파생상품 및 차등사업자

차별화 과정, 즉 파생상품을 두 번 이상 적용하여 2차 이상의 파생상품을 얻을 수 있다. 보다 정교한 아이디어는 서로 다른 질서의 여러 파생상품을 하나의 대수적 표현인 미분 연산자로 결합하는 것이다. 이는 계수가 일정한 일반 선형 미분 방정식을 고려할 때 특히 유용하다. 예를 들어 f(x)가 한 변수의 두 배 다른 함수인 경우 미분 방정식

서식으로 다시 쓰일 수 있다.

${\displaystyle L(f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle L(f)=4x-1,}$ 여기서$$ L${\displaystyle }$= ${\displaystyle d\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2d\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\mathrm{2d}}{}}$ x${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle 3}$ ${\dfracystyle L={d$^{d$^{2}}:{dx^}+2}}:{d}{d$}{dx$}}}}-3}$

x의 함수에 작용하는 2차 선형 상수 계수 차등 연산자다. 여기서 핵심 아이디어는 제로, 1차 및 2차 파생상품의 특정 선형 결합을 "한 번에" 고려한다는 것이다. 이를 통해 이 미분방정식의 해법 집합을 일반적 통합과 유추하여 오른손 4x1의 "일반화된 항변제"라고 생각할 수 있고, 정식으로 쓸 수 있다.

또한 다변량 미적분학에서 연구된 여러 변수의 함수에 대해 상위 파생상품을 정의할 수 있다. 이 경우 파생상품을 반복적으로 적용하는 대신 서로 다른 변수에 대해 부분파생상품을 반복적으로 적용한다. 예를 들어, n 변수의 스칼라 함수의 2차 부분파생상품은 n by n matrix, 즉 헤시안 행렬로 구성할 수 있다. 미묘한 점 중 하나는 상위 파생상품이 본질적으로 정의되지 않고 복잡한 방식으로 좌표의 선택에 달려 있다는 점이다(특히 함수의 헤시안 행렬은 텐서가 아니다). 그럼에도 불구하고, 상위 파생상품은 중요한 지점에서 함수의 국소 극단값을 분석하는 데 중요한 응용프로그램을 가지고 있다. 다지관의 위상에 이 분석을 고급 적용하려면 Morse 이론을 참조하십시오.

한 변수의 함수의 경우처럼 우선 순서와 상위 순서의 부분파생상품을 결합하여 부분차동사업자의 개념에 도달할 수 있다. 이러한 운영자 중 일부는 매우 중요하므로 자체 이름이 있다.

• R의 라플라스 연산자³ 또는 라플라스틱은 세 변수의 스칼라 함수의 기울기가 분산되어 주어지는 2차 부분 미분 연산자 Δ 또는 명시적으로 다음과 같다.
  $${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}:{\partial x^{2}}}+{\partial y^{2}}:{\partial y^{2}}:{\partial y^{2}}:}{\partial z^{2}}.}$$

  
  유사 연산자는 변수의 함수에 대해 정의될 수 있다.
• 달렌베르트나 파동 연산자는 라플라시안과 유사하지만 네 가지 변수의 함수에 작용한다. 그것의 정의는 R:의³ 유클리드산도트 제품 대신 Minkowski 공간의 무제한 미터법 텐서(mincidual tensor)를 사용한다.
  $${\displaystyle \square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.}$$

  

취약한 파생상품

함수 $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}{}^{}}$→ R ${\$에 로컬 통합이 가능하지만 반드시 분류적으로 다를 필요는 없는 함수 u를 감안할 때, 취약한 파생상품은 부품별 통합을 통해 정의할 수 있다. First define test functions, which are infinitely differentiable and compactly supported functions ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$, and multi-indices, which are length ${\displaystyle n}$ lists of integers ${\displaystyle \al$$pha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ with ${\textstyle \alpha :=\sum _{1}^{n}\alpha _{i}}$. Applied to test functions, ${\textstyle D^{\alpha }\varphi :={\frac {\partial ^{ \alpha }\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\$$dotsm x_{n}^{\message _{n$ 그 다음 함수 $v{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$textstyle ^{\text{th}}$이(가) 있는 경우 ${\$$displaystyle u$$}$의 약한$$ ${\text{파생상품}}^{}$인$$$\alpha {\displaystyle }$ th {\textstyle $^{n}\mathb {R}$이(가) 존재하므로$$$$ 모든 테스트 함수 $functions{\displaystyle }$ ${\displaysty \vi$$}$이(가 있다$.$

${\displaystyle \int _{\mathb {R}^{n}u\D^{\alpha }\x=(-1)^{\alpha \dx=(-1)^{\mathb {R}^{n}v\\varphi \dx}$

만일 그러한 기능이 존재한다면, $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D^{\\alpha }u:=v}$는 거의 모든 곳에서 고유하다$.$ 이 정의는 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\$ C$^{ \alpha }\lft(\mathb {R} ^{n}\right$에 대한 전통적인 파생상품과 일치하며, 시험함수의 이중 공간인 분포라고 하는 일반화된 함수의 유형으로 확장될 수 있다. 약한 파생상품은 특히 부분 미분방정식의 연구와 기능분석에서 유용하다.

프랙탈 분석

라플라시안과 미분방정식은 프랙탈에서 정의할 수 있다.

분수파생상품

자연수 n에 대한 n th 파생상품 외에도, 분수 또는 음수 순서의 파생상품을 정의하는 다양한 방법이 있는데, 이는 분수 미적분학으로 연구된다. -1 순서 파생상품은 용어가 서로 다른 경우 적분, 즉 적분량에 해당한다.

복합분석

복잡한 분석에서, 연구의 중심 개체는 홀로모르픽 함수로서, 다양성의 적절한 확장 정의를 만족하는 복잡한 숫자에 대한 복합 값 함수다.

슈바르츠 파생상품은 일반 파생상품이 선형 지도에 의해 함수의 근사치를 설명하는 것과 거의 동일한 방식으로 복잡한 함수의 근사치를 나타낸다.

웨이팅어 파생상품은 실제 변수의 함수에서 일반 미분학과 완전히 유사한 복합함수에 대해 미분학을 구성할 수 있도록 허용하는 미분 연산자 집합이다.

쿼터니온 분석

Qaternionic 분석에서 파생상품은 실제적이고 복잡한 기능과 유사한 방식으로 정의될 수 있다. 쿼터니언 $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 서로$$ 다른 두 가지 파생상품을 산출한다. 좌익파생성기

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f+h)-f(a)\right]}$

그리고 올바른 파생상품

$\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[f(a+h)-f(a)\right]h^{-1}\right].}$

이러한 한계의 존재는 매우 제한적인 조건이다. For example, if ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {H} }$ has left-derivatives at every point on an open connected set ${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$, then ${\displaystyle f(q)=a+qb}$ for ${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$.

기능분석

기능분석에서 기능파생상품은 기능공간에 기능함수와 관련하여 파생상품을 정의한다. 이것은 방향 유도체를 무한 차원 벡터 공간으로 확장한 것이다.

프레셰트 파생상품은 방향 파생상품을 일반 바나흐 공간으로 확장할 수 있다. Gateaux 파생상품은 개념을 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간으로 확장한다. Frechet differentiability는 Gateaux differiability보다 엄격히 강한 조건이며, 심지어 유한한 차원에서도 그렇다. 두 극단 사이에는 준파생성이 있다.

측정 이론에서, 라돈-니코디엠 파생상품은 변수의 변화에 사용되는 자코비안을 측정으로 일반화한다. 한 측정 μ를 다른 측정 ν(특정 조건 하에서) 단위로 표현한다.

추상적인 Wiener 공간 이론에서 H-deivative는 카메론-마틴 힐버트 공간에 해당하는 특정 방향으로 파생물을 정의한다.

기능 공간에서 각 기능에 자신의 파생상품을 할당하는 선형 연산자는 차등 연산자의 예다. 일반 차등사업자는 상위 파생상품을 포함한다. 푸리에 변환을 통해 분수 미적분학을 허용하는 의사 차등 연산자를 정의할 수 있다.

양성특성분야에서의 파생상품의 유사성

그 Carlitz 파생되는 운영 평소 분화와 유사하거나 복잡한 실수를 긍정적인 특징의 정형화된 로랑 시리즈의 형태로 국 소장에 유한 체 Fq에 계수가 변화의 일상적인 맥락( 알려진 것과 긍정적인 특징의 국 소장 a로 동형은 고안되기에 이르렀다 laurent 시리즈 필드).

지수함수, 로그 및 기타와 적절히 정의된 유사점과 함께, 이 파생상품은 미분방정식의 이론뿐만 아니라 부드러움, 분석, 통합, 테일러 시리즈에 대한 개념을 개발하는 데 사용될 수 있다.^[1]

차이 연산자, Q-아날로그 및 시간 척도

• 함수의 q-derivative는 공식으로 정의된다.
  $${\displaystyle D_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}.}$$

  
  x nonzero의 경우 f가 x의 상이한 함수인 경우 q → 1로 한계에서 일반적인 파생상품을 얻으므로 q-derivative를 q-definition으로 볼 수 있다. 이항식, 테일러 팽창과 같은 보통의 미분학에서 나온 많은 결과물들은 19세기에 발견된 자연적인 q-alogue를 가지고 있지만, 20세기의 상당 부분 동안, 특수함수 이론의 바깥에서 비교적 불명확하게 남아 있었다. 콤비네이터의 진전과 양자 그룹의 발견으로 상황이 크게 바뀌었고, q-아날로그의 인기는 상승하고 있다.
• 차이 방정식의 차이 연산자는 표준 파생상품과 별개의 또 다른 유사점이다.
  $${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}$$

  
• q-분자, 차이 연산자 및 표준 파생상품은 모두 다른 시간 척도에서 동일한 것으로 볼 수 있다. 예를 들어 $\epsilon {\displaystyle }$= (${\displaystyle \mathrm{q}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon =(q-1)x}$을$($를) 사용하면
  $${\displaystyle {\f(qx)-f(x)}{{(q-1)-x}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\barepsilon }}}.}$$

  
  q-derivative는 한 차이의 특별한 ^[2]경우지만
  $${\displaystyle {\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{qx+\omega -x}.}$$

  
  한차이는 q파생의 일반화일 뿐만 아니라 전방차이의 연장이다.
• 또한 q-파생물은 친숙한 파생상품의 특별한 경우에 지나지 않는다는 점에 유의한다. take $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle q}$ x ${\displaystyle z=qx}$. 그럼, 우리는,
  $${\displaystyle \lim _{z\to x}{\frac {f(z)-f(x)}}{q\to 1}{q\to{qx-x}={q\to}{\frac {f(q)-f(x)}{\frac {f-f-f-f(x}}}}}}.x}}.}$$

  

대수학에서의 파생상품

대수학에서 파생상품의 일반화는 링이나 리 대수처럼 대수적 구조에서 라이브니즈 분화 규칙을 부과함으로써 얻을 수 있다.

파생어

파생은 라이프니즈 법칙(제품 규칙)을 만족시키는 반지 또는 대수상의 선형 지도다. 상위 파생상품과 대수적 차등 연산자도 정의할 수 있다. 그것들은 미분 갈루아 이론과 D-모듈 이론에서 순전히 대수적 설정으로 연구되지만, 파생상품의 대수적 정의가 적은 다른 많은 분야에서도 종종 나타난다.

예를 들어, 정류 링 R에 대한 다항식의 공식 파생형은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \left(a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\right)=da_{d}x^{d-1}+(d-1)a_{d-1}x^{d-2}+\cdots +a_{1}.}$

매핑 $f{\displaystyle }$mapping ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ f$'}$는 다항 링 R[X]에서 파생된 것이다$$. 이 정의는 합리적인 기능으로도 확장될 수 있다.

파생의 개념은 상호작용 고리뿐만 아니라 비확정적 대수학적 구조에도 적용되며, 심지어 리 알헤브라와 같은 비관련적 대수학적 구조에도 적용된다.

핀처링 파생 모델 및 산술 파생 모델을 참조하십시오.

정류대수학

교환 대수에서, Kahler 미분류는 교환 고리 또는 모듈의 보편적인 파생이다. 그것들은 단지 매끄러운 다지관 대신에 임의의 대수적 다양성에 적용되는 미분 기하학에서 외부 파생물의 아날로그를 정의하는 데 사용될 수 있다.

수 이론

p-adic 분석에서 파생상품에 대한 일반적인 정의는 충분히 강하지 않으며, 대신 엄격한 차별성을 요구한다.

산술적 파생상품과 Hasse 파생상품도 참조한다.

유형론

수학과 컴퓨터 과학에서 많은 추상적인 데이터 유형은 그 유형을 기반으로 한 구조를 다시 유형으로 매핑하는 변환에 의해 생성된 대수라고 설명할 수 있다. 예를 들어, A형 값을 포함하는 이진수 T형은 1+A×T²→T형 변환에 의해 생성된 대수로서 나타낼 수 있다. "1"은 빈 나무의 구성을 나타내며, 두 번째 용어는 값과 두 개의 하위 나무에서 나무의 구성을 나타낸다. "+"는 어느 쪽이든 트리를 만들 수 있음을 나타낸다.

그러한 유형의 파생상품은 다음 외부 포함 구조와 관련하여 특정 하부 구조의 맥락을 설명하는 유형이다. 다른 말로 하자면, 그것은 둘 사이의 "차이"를 나타내는 유형이다. 트리의 예에서 파생상품은 특정 하위 트리가 주어지는 부모 트리를 구성하는 데 필요한 정보를 설명하는 유형이다. 이 정보는 아이가 왼쪽인지 오른쪽인지, 부모의 값, 형제 하위 트리의 이진 표시기를 포함하는 튜플이다. 이 타입은 2×A×T로 나타낼 수 있는데, 트리 타입을 발생시킨 변형의 파생형과 매우 흡사하다.

이러한 형태의 파생상품의 개념은 기능 프로그래밍 언어에 사용되는 지퍼 기법과 같은 실용적인 응용을 가지고 있다.

기하학에서의 파생상품

기하학에서 파생되는 주요 유형은 벡터장, 외부 차동 및 공변량 파생상품이다.

미분 위상

미분위상에서는 벡터장을 다지관의 매끄러운 기능의 링 위에서 파생된 것으로 정의할 수 있으며, 접선 벡터는 한 지점에서 파생된 것으로 정의할 수 있다. 이것은 스칼라 함수의 방향적 파생상품 개념을 일반 다지관에 추상화할 수 있게 한다. R의ⁿ 하위 집합인 다지관의 경우, 이 접선 벡터는 위에서 정의한 방향 파생상품과 일치할 것이다.

다지관 사이의 맵의 차등 또는 푸시포워드(pushforward)는 이러한 맵의 접선 공간 사이의 유도 맵이다. 그것은 자코비안 행렬을 추상화한다.

부드러운 다지관 위에 놓인 미분형 외부 대수에서, 외부 파생상품은 레이브니즈 법칙의 등급판과 정사각형을 0으로 만족시키는 독특한 선형 지도다. 그것은 외부 대수학에서 1등급 파생된 것이다.

Lie 파생상품은 다른 벡터장 흐름을 따라 벡터장 또는 텐서장 변화율이다. 벡터장에서는 리 브라켓(벡터장이 다지관의 차이점형 집단의 리 대수형을 형성한다)의 예다. 그것은 대수학에서 0등급 파생된 것이다.

내부 제품(벡터 장으로 수축하여 정의된 외부 대수에서 도 -1 파생)과 함께 외부 파생물과 리 파생물이 리 초알지브라(Lie superalgebra)를 형성한다.

미분 기하학

미분 기하학에서 공변량 파생상품은 곡선을 따라 벡터장의 방향성 파생상품을 선택한다. 이것은 스칼라 함수의 방향성 파생물을 벡터 번들이나 주요 번들의 섹션으로 확장시킨다. 리만 기하학에서, 미터법의 존재는 Levi-Civita 연결로 알려진 독특한 선호 토션 없는 공변량 파생물을 선택한다. 또한 물리학을 지향하는 치료법에 대한 공변량 파생 모델 측정을 참조하십시오.

외부 공변량 파생상품은 외부 파생상품을 벡터 가치형식으로 확장한다.

기하학적 미적분학

기하학적 미적분학에서 기하학적 파생상품은 라이프니즈 법칙의 약한 형태를 만족시킨다. 그것은 기하학적 대수학의 대상에 프렛셰트 파생물을 전문으로 한다. 기하학적 미적분학은 미분형 및 미분형 기하학의 유사한 틀을 포괄하는 것으로 나타난 강력한 형식주의다.^[3]

기타 일반화

원래의 파생상품의 연장이나 추상화에 대한 위의 상이한 개념 중 두 개 이상을 결합하는 것이 가능할 수 있다. 예를 들어, 핀슬러 기하학에서는 Banach 공간과 같은 지역적으로 보이는 공간을 연구한다. 따라서 기능파생상품과 공변량파생상품의 일부 특징을 갖는 파생상품을 원할 수 있다.

확률적 과정에 대한 연구는 말리아빈 미적분학이라고 알려진 미적분학의 형태를 필요로 한다. 이 환경에서 파생상품의 개념 중 하나는 추상적인 Wiener 공간에서 함수의 H-파생이다.

곱셈 미적분은 덧셈을 곱셈으로 대체하고, 따라서 차이 비율의 한계를 다루기보다는 비율의 지수의 한계를 다룬다. 이것은 기하학적 파생상품과 비계량적 파생상품의 개발을 가능하게 한다. 더욱이, 고전적인 미분 연산자가 이산 아날로그, 즉 차이 연산자를 가지고 있듯이, 이러한 승법파생상품의 이산 아날로그도 존재한다.

참고 항목

• 산술 파생상품
• 디니 파생상품
• 재료파생상품
• 비분류적 분석
• 반차별성
• 대칭파생상품

메모들