대칭파생상품

수학에서 대칭파생물은 일반파생물을 일반파생하는 연산이다.로^[1][2] 정의된다.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}.}$

한계 아래의 표현은 대칭차인 지수라고도 한다.^[3][4]함수는 x 지점에서 x의 대칭 파생상품이 존재한다면 대칭적으로 구별할 수 있다고 한다.

한 점에서 어떤 함수가 (일반적인 의미에서는) 다르면, 그 함수도 대칭적으로 다를 수 있지만, 그 반대는 사실이 아니다.잘 알려진 counterexample은 절대값 함수 f(x) = x , x = 0에서는 차이가 나지 않지만 여기서 대칭 파생상품 0으로 대칭적으로 차이가 난다.차이가 있는 함수의 경우 대칭 차이 인수는 일반적인 차이 인수에 비해 파생상품의 수치 근사치를 더 잘 제공한다.^[3]

주어진 점에서의 대칭적 파생상품은 그 점에서의 좌우파생상품의 산술평균과 같다. 만약 후자 두 가지가 모두 존재한다면 말이다.^[1][5]

롤의 정리도, 평균값 정리도 대칭적 파생상품에 대한 것이 아니다; 유사하지만 약한 진술들이 증명되었다.

예

절대값함수

${\displaystyle \mathrm{절대값}}$ 함수 $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ $displaystyle f(x)=$x$}$의 경우$,$ 대칭 파생 모델에 대한 $표기법$ ${\displaystyle f_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f_{s}(x)$를 ${\displaystyle \mathrm{사용}}$하여 $x{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ x$=0}$에서 다음$$ 값을 갖는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac { h - {-h} }{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac { h - h }{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\\end{aigned}}$

따라서 절대값 함수의 대칭적 파생상품은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$=0}$에 존재하며$$, 그 일반적인 파생상품이 존재하지 않더라도($x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$에서 곡선을 "sharp" 돌리기 때문에) 0과 같다.$$

이 예에서는 왼쪽과 오른쪽 파생상품이 모두 0으로 존재하지만 같지 않다(한 파생상품은 -1인 반면 다른 파생상품은 +1이다). 이들의 평균은 예상대로 0이다.

함수⁻² x

$f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle x{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 0 ${\displaystyle$ x$=0}$의 함수에는$$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\end{정렬}}}$

다시 말하지만, 이 함수의 경우 대칭 파생상품은 ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 0 ${\displaystyle$ x$=0$에 존재하지만, 일반 파생상품은 곡선의 불연속성으로 $인해$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$에 존재하지 않는다.더욱이 왼쪽과 오른쪽 파생상품은 모두 0으로 한정되지 않는다. 즉, 이것은 필수적인 불연속성이다.

디리클레 함수

디리클레 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle f(x)={\displaysty{case}1,&{\text{{}}}x{\text{}는 합리적}\0,&\text{}}}}}}$

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\$}에 대칭 파생 ${\displaystyle 모델}$이 있지만 어떤 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ $\$ Q {\$displaystyle x\in$ {R} $\setminus$ \mathb {$Q$ 즉, 대칭 파생 모델도 합리적인 숫자로 존재하지만 비합리적인 수는 없다.

준평균값정리

대칭적 파생상품은 (라그랑주의) 통상적인 평균값 정리를 따르지 않는다.counterexample로서 f(x) = x의 대칭파생물은 이미지 {-1, 0, 1}을(를) 가지고 있지만 f의 secants는 더 넓은 범위의 경사를 가질 수 있다. 예를 들어, [-1, 2] 구간에서 평균값 정리는 (대칭파생물이 ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ - ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$) =${\displaystyle \frac{}{}}$1 = 3${\displaystyle \}}$을 갖는 지점이 있어야 한다.$\displaystyle {\frac{2 -1 }{2-(-1)}={\frac {1}{3$^[6]

롤의 정리와는 다소 유사하지만 대칭적 파생상품에 대한 정리는 C에 의해 1967년에 확립되었다.E. Aull, 준 롤 정리라고 이름 지은 사람.만약 f는 닫힌 간격[a, b]에 대칭 개구간(a, b)에 구별할 수 있는, 그리고 f(를)연속적입니다)f(b)=0다음 두점 x, y(a, b)에서 fs())≥ 0이고 그리고 fs(y)0≤. 존재한 부명제 또한 Aull에 의해 이 정리 국가로 가는 초석이 f는 닫힌 시간 간격으로 연속적입니다[a, b]과 symm로 확립했습니다.e개방간격(a, b)과 추가적으로 f(b) > f(a)에서 trically 구별이 가능한 경우, 대칭파생물이 음이 아닌 (a, b)에 포인트 z가 존재하거나, 위에서 사용한 표기법(f_ss(z) 0 0. 유사하게 f(b) < f(a)가 있는 경우, (a)에 포인트 z가 존재한다.^[6]

대칭적으로 다른 함수에 대한 준평균값 정리는 f가 닫힌 간격[a, b]에 연속적이고 개방된 간격 (a, b)에 대칭적으로 다른 경우, 다음과 같은^[6][7] x, y가 존재한다고 명시한다.

${\displaystyle f_{s}(x)\leq {f(b)-f(a)}{b-a}\leq f_{s}(y)}}$

응용 프로그램으로서 0을 포함하는 간격의 f(x) = x에 대한 준평균 값 정리는 f의 모든 secant의 기울기가 -1과 1 사이에 있다고 예측한다.

만약 f의 대칭적 파생상품이 Darboux 속성을 가지고 있다면, (라그랑주의) 정규 평균값 정리(의 형태)는 (a, b)에 다음과^[6] 같은 z가 존재한다.

${\displaystyle f_{s}(z)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

결과적으로, 어떤 함수가 연속적이고 그 대칭적 파생상품도 연속적이라면(따라서 Darboux 속성이 있다), 그 함수는 일반적인 의미에서 다를 수 있다.^[6]

일반화

이 구간은 확장이 필요하다.추가하면 도움이 된다. (2015년 4월)

이 개념은 고차 대칭 유도체 및 n차원 유클리드 공간에도 일반화된다.

두 번째 대칭 파생상품

두 번째 대칭적 파생상품은 다음과^[2][8] 같이 정의된다.

${\displaystyle \lim_{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}.}$

만약 두 번째 파생상품이 존재한다면, 두 번째 대칭 파생상품이 존재하며 그것과 동일하다.^[8]그러나 두 번째 대칭적 파생상품은 (일반적) 두 번째 파생상품이 존재하지 않더라도 존재할 수 있다.예를 들어 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같이 정의된 기호 함수 ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ gn${\displaystyle }$(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$을(를) 고려하십시오$.$

${\displaystyle \sgn}(x)={\case}-1&{\text}{{}x<0,\0&{\text}{{{}text{}}}}}}}}}}x=0,\0&{\text{}x}0.\end{case}}}$

부호 함수는 0에서 연속되지 않으므로 $x{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle x=0}$에 대한 두 번째 파생상품은 존재하지$$ 않는다.그러나 두 번째 대칭 파생상품은 ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 0 ${\displaystyle$ x$=0}$에 대해 존재한다$.$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}:}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}=0}=0.}$

참고 항목

• 중앙 차이점 정리 방식
• 밀도점
• 파생상품의 일반화
• 대칭 연속 함수

메모들

참조

• Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.
• A. B. Kharazishvili (2005). Strange Functions in Real Analysis (2nd ed.). CRC Press. p. 34. ISBN 978-1-4200-3484-4.
• Aull, C. E. (1967). "The first symmetric derivative". Am. Math. Mon. 74 (6): 708–711. doi:10.1080/00029890.1967.12000020.

외부 링크

• "Symmetric derivative", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 대칭차인덱스에 의한 파생상품의 근사치 (Wolfram Demotion Project)