재료파생상품

연속체 역학에서, 재료 파생상품은^[1]^[2] 공간 및 시간에 의존하는 거시적 속도장에 의거한 재료 요소의 일부 물리적 양(열이나 운동량 등)의 시간 변화율을 설명한다. 소재파생물은 연속체 변형에 대한 오일리언과 라그랑고의 설명 사이의 연결고리 역할을 할 수 있다.^[3]

예를 들어, 유체 역학에서 속도장은 유속이고 관심의 양은 유체의 온도일 수 있다. 이 경우, 재료 파생상품은 특정 유체 소포가 그 경로(트랜젝토리)를 따라 흐를 때 시간과 함께 그 온도 변화를 설명한다.

기타 이름

재료 파생상품에는 다음과 같은 다른 명칭이 많이 있다.

애드벌루션 파생상품^[4]
대류 분자^[5]
그 동의에 따른 파생상품.^[1]
유체역학적 파생상품^[1]
라그랑가 파생상품^[6]
입자파생.^[7]
실질적인 파생상품^[1]
실체파생상품^[8]
스톡스 파생상품^[8]
총 파생상품(^[1]^[9]원료 파생상품은 실제로 총 파생상품의^[9] 특수한 경우)이지만

정의

재료 파생상품은 위치 및 시간 좌표에만 의존한다는 감각으로 거시적인 모든 텐서 필드 y에 대해 정의된다. y = y(x, t):

{\frac {\mathrm {D}y}{\mathrm {D} t}\frac {\partial y}{\partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,

여기서 ∇y는 텐서의 공변량 파생물이며, u(x, t)는 유속이다. 일반적으로 현장의 공변량 파생상품이 포함된 필드 u·processive 파생상품은 필드 u·(processy)의 능률적인 텐서 파생상품과 필드(u·processional y)의 능률적인 방향파생상품이 포함된 것으로 해석할 수 있으며, 이는 동일한 결과로 이어진다.^[10] 유속을 포함하는 이 공간적 용어만이 유량 내 필드의 이동을 기술하는 반면, 다른 용어는 유량의 존재와 무관하게 유량의 본질적 변화를 기술한다. 혼란스러울 정도로, 공간적 용어 u·^[2]di에서만 대신, 전체 재료 파생상품 D/Dt에 "convective difference"라는 명칭이 사용되기도 한다. 정의에서 시간 독립 용어의 영향은 각각 부속 및 대류로 알려진 스칼라와 텐서 케이스에 대한 것이다.

스칼라 & 벡터 필드

예를 들어, 거시적 스칼라 필드 ((x, t)과 거시적 벡터 필드 A(x, t)의 정의는 다음과 같다.

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{aligned}}

스칼라 사례에서 ∇φ은 단순히 스칼라의 경사로인 반면, ∇A는 거시적 벡터의 공변성 파생물(x의 함수로서 A의 자코비안 행렬이라고도 생각할 수 있다)이다. 특히 3차원 데카르트 좌표계(x₁₂, x, x₃)의 스칼라장에 대해서는 속도 u의₁ 성분이 u, u₂, u₃ 및 대류용어가 다음과 같다.

\mathbf {u} \cdot \cdla \varphi =u_{1}{1}{\frace }{\parpi }{\parpi }{\preason x_{1}}}}+{3}}}{\frac {\reason \varphi }{\reason x_{3}}.

개발

스칼라 수량 φ = φ(x, t)을 고려하십시오. 여기서 t는 시간이고 x는 위치입니다. 여기서 φ은 온도나 화학적 농도 같은 물리적 변수가 있을 수 있다. 스칼라 수량이 is인 물리적 양은 연속체로 존재하며, 거시적인 속도는 벡터장 u(x, t)로 표현된다.

φ의 시간에 관한 (총)파생상품은 다변량 체인 규칙을 사용하여 확장된다.

{\frac {d}{\mathrm {d} t}\\varphi(\mathbf {x},t)={\frac {\mathbi}}{\mathbf {x}{\cdot{\mathbf {}}}\cdot \cdla \varphi .}}}}

이 파생상품은 벡터에 의존하는 것이 명백하다.

{\dot스타일 {\dot {\mathbf {x}}}}}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x}{\mathrm {d} t},}

이는 우주에서 선택한 경로 x(t)를 설명한다. 예를 들어, ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0}$ ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0}$ = ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0}$ ${\$ 를) 선택한 ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0}$ 경우 시간 파생상품은 다른 변수를 일정하게 유지하는 부분적 파생상품(이 경우 시간)의 정의에 동의하는 부분적 시간 파생상품과 같아진다.). ${\dot {\mathbf {x} }}=0$ ${\dot {\mathbf {x} }}=0$ = ${\dot {\mathbf {x} }}=0$ ${\dot {\mathbf{x}}}}$ 이 ${\dot {\mathbf {x} }}=0$ 가 $)$ 있으면 파생상품이 일정한 위치에서 취하기 때문에 이 방법이 타당하다. 이 정적 포지션 파생상품은 오일리언 파생상품이라고 불린다.

수영선수가 가만히 서서 아침 일찍 호수의 온도 변화를 감지하는 것이 이 예인데, 태양으로부터 난방으로 인해 물은 점차 따뜻해진다. 이 경우 ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$ ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$ ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$ ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$ ${\$ 라는 용어가 온도 변화 속도를 설명하기에 충분하다 ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$ .

태양이 물을 데우지 않고 있지만(예: ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$ ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$ = ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$ ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial$ t $}=0})$ ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$ 경로 x(t)가 정지하지 않으면 경로로 인해 φ의 시간 파생어가 변경될 수 있다. 예를 들어, 수영하는 사람이 움직이지 않는 물 웅덩이에 있고 실내에 있고 태양의 영향을 받지 않는다고 상상해보라. 한쪽 끝은 항상 높은 온도에 있고 다른 쪽 끝은 항상 낮은 온도에 있다. 수영하는 사람은 비록 주어진 (정적인) 지점의 온도가 상수이기는 하지만, 한 쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 수영함으로써 시간에 대한 온도 변화를 감지한다. 이는 수영선수 변경 위치에서 파생형이 취해지고 오른쪽 x ${\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi$ ${\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi$ ${\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi$ ${\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi$ { ${$ {\dot ${\dot {\mathbf{x}}}}\cdot \nabla \varphi }}$ 의 두 번째 항은 온도 변화 속도를 설명하기에 충분하기 ${\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi$ 때문이다. 수영선수에게 부착된 온도 센서는 단지 수영장의 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지의 온도 변화 때문에 시간에 따라 온도를 다르게 보일 것이다.

마지막으로 재료 파생 모델은 경로 x(t)가 유체 속도와 동일한 속도를 갖도록 선택되었을 때 얻어진다.

{\dottyle {\dot {\mathbf {x}}}}}}=\mathbf {u}

즉, 경로는 유체의 속도장 u로 기술된 유체 전류를 따른다. 그래서 스칼라 φ의 물질적 파생상품은

{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}={\frac {\partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .

이 사례의 예로는 흐르는 강을 따라 쓸고 흐르는 경량 중성 부력 입자가 있으며, 그렇게 함으로써 온도 변화를 경험한다. 국지적으로 강물의 한 부분은 맑아지고 다른 부분은 그늘에 가려져 수온이 상승하고 있거나, 낮이 진행되면서 전체적으로 수온이 상승하고 있을 수 있다. 입자의 운동(유체 운동에 의해 발생하는 그것 자체)에 의한 변화를 부속(또는 벡터가 운반되고 있는 경우 대류)이라고 한다.

위의 정의는 유체 전류의 물리적 특성에 의존했지만, 물리 법칙은 발동되지 않았다(예를 들어, 강 안의 경량 입자가 물의 속도를 따를 것으로 가정되었다). 그러나 많은 물리적 개념은 재료 파생물을 사용하여 간결하게 설명할 수 있는 것으로 밝혀졌다. 그러나 일반적인 연결의 경우는 유체 흐름의 질량 보존에 의존한다; 비보수적인 매체에서 연결이 일어나면 상황은 약간 달라진다.

위의 스칼라에게는 하나의 길만이 고려되었다. 벡터의 경우, 구배는 텐서 파생물이 된다. 텐서 필드의 경우 유동 이동으로 인한 좌표계의 변환뿐만 아니라 좌표계의 회전과 스트레칭도 고려할 수 있다. 이것은 상부 대류 시간 파생상품에 의해 달성된다.

직교좌표

직교 좌표에서 재료 파생물의 대류 기간의 j번째 성분이 다음과^[11] 같이 주어지는 것을 알 수 있다.

[\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),

여기서 h는_i 다음에 의해 미터법 텐셔너와 관련된다.

h_{i}={\sqrt {g_{i}}.

3차원 데카르트 좌표계(x, y, z)의 특수한 경우, 이것은 단지

(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}{\partial x}+u_{y}{\partial y}{\partial A_{z}{\partial z_}}{partial z}}.

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c ^d ^e Bird, R.B.; Stewart, W.E.; Lightfoot, E.N. (2007). Transport Phenomena (Revised Second ed.). John Wiley & Sons. p. 83. ISBN 978-0-470-11539-8.
^ ^a ^b Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. pp. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.
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추가 읽기

Cohen, Ira M.; Kundu, Pijush K (2008). Fluid Mechanics (4th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-373735-9.
Lai, Michael; Krempl, Erhard; Ruben, David (2010). Introduction to Continuum Mechanics (4th ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-8560-3.

[BSLr2-1] Bird, R.B.; Stewart, W.E.; Lightfoot, E.N. (2007). Transport Phenomena (Revised Second ed.). John Wiley & Sons. p. 83. ISBN 978-0-470-11539-8.

[Batchelor-2] Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. pp. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.

[Trenberth-3] Trenberth, K. E. (1993). Climate System Modeling. Cambridge University Press. p. 99. ISBN 0-521-43231-6.

[4] Majda, A. (2003). Introduction to PDEs and Waves for the Atmosphere and Ocean. Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol. 9. American Mathematical Society. p. 1. ISBN 0-8218-2954-8.

[Ockendon-5] Ockendon, H.; Ockendon, J.R. (2004). Waves and Compressible Flow. Springer. p. 6. ISBN 0-387-40399-X.

[Mellor-6] Mellor, G.L. (1996). Introduction to Physical Oceanography. Springer. p. 19. ISBN 1-56396-210-1.

[7] Stoker, J.J. (1992). Water Waves: The Mathematical Theory with Applications. Wiley. p. 5. ISBN 0-471-57034-6.

[Granger-8] Granger, R.A. (1995). Fluid Mechanics. Courier Dover Publications. p. 30. ISBN 0-486-68356-7.

[LandauLifshitz-9] Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1987). Fluid Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 6 (2nd ed.). Butterworth-Heinemann. pp. 3–4 & 227. ISBN 0-7506-2767-0.

[10] Emanuel, G. (2001). Analytical fluid dynamics (second ed.). CRC Press. pp. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.

[11] Eric W. Weisstein. "Convective Operator". MathWorld. Retrieved 2008-07-22.

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