의사 차등 연산자

수학 분석에서 의사 차등 연산자는 차등 연산자 개념의 확장이다.사이비 차등 연산자는 부분 미분 방정식과 양자장 이론에서 광범위하게 사용된다.

역사

사이비 차등 연산자에 대한 연구는 1960년대 중반 콘, 니렌베르크, 호르만데르, 운터베르거, 보코바자의 연구로 시작되었다.^[1]

그들은 K-이론을 통한 아티야-싱어 지수 정리 제2차 증명에 영향을 끼쳤다.아티야와 싱어는 호르만데르에게 사이비 차등 연산자의 이론을 이해하는 데 도움을 준 것에 감사했다.^[2]

동기

계수가 일정한 선형 미분 연산자

계수가 일정한 선형 미분 연산자를 고려하십시오.

${\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}}}}$

R에서ⁿ 콤팩트한 지지로$$ 부드러운 기능 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 작용한다.이 연산자는 다항함수(기호라고 함)에 의한 단순한 곱셈인 푸리에 변환의 구성으로 쓰일 수 있다.

${\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\xi ^{\alpha }}}$

그리고 역 푸리에 변환 형식:

${\displaystyle \quad P(D)u(x)={\frac {1}{{n}}}\int_{\mathb {R}^{n}\int_{\mathb {R}{n}e^{n}-y)\xi }P(\xi )u(y)\d\xi\xi\xi}}}$

(1)

여기서 $\alpha {\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots,\alpha }}}$은 다중 지수, ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) 복합 숫자이며$$,

${\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1}^{1}^{1}\cdots(-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}}}}}$

반복된 부분파생상품이다. 여기서 ∂_j은 j번째 변수에 대한 분화를 의미한다.푸리에 변환의 계산을 용이하게 하기 위해$$ 상수${\displaystyle }$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i}$를 소개한다.

수식 유도(1)

R에서ⁿ 콤팩트하게 지원되는 매끄러운 함수 u의 푸리에 변환은

${\displaystyle {\hat {{u}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)\,dy}$

푸리에의 반전 공식은

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{{1}{n}}}\int e^{ix\x\xi }}{\hat {u}(\xi )d\xi={\frac {1}{{n}}}}}\i(x-y)\xi, u(y)\xi\xi}$

이 u 표현에 P(D)를 적용하여

${\displaystyle P(D_{x}}\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )}$

공식 (1)을 얻는다.

부분 미분 방정식에 대한 해법 표현

부분 미분 방정식을 푸는 방법

$P(D)\,u=f}$

we (공식적으로) 양쪽에 푸리에 변환을 적용하고 대수 방정식을 구한다.

${\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}(\xi )={\hat {f}(\xi).}$

ξ ∈ R에서ⁿ 기호 P(ξ)가 0이 아닌 경우, P(ξ)로 나눌 수 있다.

${\displaystyle {\hat{u}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}{\hat {f}}}$

푸리에의 반전 공식에 의해 해결책은

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{1}{n}}\int e^{ix\xi}}{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}(\xi )\,d\xi.}$

여기서 다음과 같이 가정한다.

1. P(D)는 계수가 일정한 선형 미분 연산자,
2. 그것의 기호 P는 결코 0이 아니다.
3. u와 ƒ 둘 다 푸리에 변환이 잘 정의되어 있다.

마지막 가정은 분포 이론을 사용함으로써 약화될 수 있다.처음의 두 가지 가정은 다음과 같이 약화시킬 수 있다.

마지막 공식에는 ƒ의 푸리에 변환을 작성하여 구한다.

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{1}{{n}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}{{P(\xi )}}}{p.f(y)\,d\xi.}$

이는 1/P( similar)가 다항식 함수가 아니라 보다 일반적인 종류의 함수라는 점을 제외하면 공식 (1)과 유사하다.

의사 차등 연산자의 정의

여기서는 의사 차등 연산자를 차등 연산자의 일반화로 본다.공식 (1)을 다음과 같이 확장한다.R의ⁿ 의사 차등 연산자 P(x,D)는 함수 u(x)의 값이 x의 함수인 연산자다.

${\displaystyle \quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{{{n}}\int_{\mathb {R}^{n}}{n}e^{n}ex\cdot \xi \p(xi ){\hat{}}}}}}}}}$

(2)

여기서 $u{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ (${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle {\hat {u}(\xi )}$은 u의 푸리에 변환이며, u의 기호 P(x,62)는 특정 기호 클래스에 속한다.예를 들어, 만약 P(x, ξ)가 Rⁿ × R에서ⁿ 속성과 무한히 다른 함수라면,

$\displaystyle \partial \partial _{\xi }^{x}^{\p(x,\xi ) \leq C_{\alpha,\beta }\,(1+ \xi )^{m- \alpha }}}}}}}$

모든 x,197 ∈Rⁿ, 모든 다중자리 α,β, 일부 상수 C 및_{α, β} 일부 실제 숫자 m에 대해 P는 ö르만다의 기호$$ $등급{\displaystyle {}_{}^{}}$ S ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$,${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 속한다.해당 연산자 P(x,D)를 순서 m의 의사 차등 연산자라고 하며, ${\displaystyle {and1\mathrm{}}_{}^{}}$,${\displaystyle {}_{}^{}}$. ${\$ 등급에 속한다.$}$

특성.

부드러운 경계 계수를 가진 순서 m의 선형 미분 연산자는 순서 m의 유사 미분 연산자다.두 개의 사이비 차등 연산자 P, Q의 구성 PQ는 다시 사이비 차등 연산자로, PQ의 기호는 P와 Q의 기호를 사용하여 계산할 수 있다.사이비 차등 연산자의 부선 및 전치(transpose)는 사이비 차등 연산자는 의사 차등 연산자다.

순서 m의 차등 연산자가 (균일하게) 타원이고 (순서 m의) 반전이라면, 그 역은 순서 -m의 유사 차등 연산자로서 그 기호를 계산할 수 있다.이는 사이비 차등 연산자 이론을 이용하여 선형 타원 미분 방정식을 다소 명시적으로 풀 수 있다는 것을 의미한다.

미분 연산자는 연산자의 효과를 결정하기 위해 점의 인접 지역에서 함수의 값만 필요로 한다는 점에서 국부적이다.사이비 차등 연산자는 사이비 국소 연산자로, 즉 분포를 비공식적으로 적용할 때 분배가 이미 평탄했던 지점에서 특이점을 생성하지 않는다는 것을 의미한다.

D = -id/dx의 관점에서 미분 연산자를 표현할 수 있듯이

$[\displaystyle p(x,D)\,}$

D(기호라고 함)의 다항식 p에 대해, 의사 차등 연산자는 보다 일반적인 종류의 함수에 기호를 가지고 있다.흔히 사이비 차등 연산자의 분석에서 그 기호들이 관련된 대수적 문제들의 배열로 문제를 줄일 수 있으며, 이것이 마이크로 국소 분석의 본질이다.

의사 차등 연산자의 커널

사이비 차등 연산자는 커널로 나타낼 수 있다.대각선에 있는 커널의 특이점은 해당 연산자의 정도에 따라 달라진다.실제로 기호가 m ≤ 0과 위의 차등 불평등을 만족시킨다면, 낟알이 단일한 적분 커널임을 알 수 있다.

참고 항목

• 차동 알헤브라와 차동 링의 맥락에서 의사 차동 연산자의 정의를 위한 차동 대수.
• 푸리에 변환
• 푸리에 적분 연산자
• 진동 적분 연산자
• 사토의 기본 정리
• 운영 미적분학

각주

참조

• Stein, Elias (1993), Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton University Press.
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1968), "The Index of Elliptic Operators I", Annals of Mathematics, 87 (3): 484–530, doi:10.2307/1970715, JSTOR 1970715

추가 읽기

• 마이클 E. 테일러, Pragodifferent Operators, Princeton Univ.1981년.ISBN 0-691-08282-0
• M. A. 슈빈, Philodifferent operators and Spectrum 이론, Springer-Verlag 2001.ISBN 3-540-41195-X
• Francois Treves, Phois Differential and Fourier Integrated Operators, (University Series in Mathics), PlenumPublic.1981년.ISBN 0-306-40404-4
• F. G. 프리드랜더와 M.Joshi, Cambridge University Press 1999 배포 이론 소개.ISBN 0-521-64971-4
• Hörmander, Lars (1987). The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators. Springer. ISBN 3-540-49937-7.

외부 링크

• arxiv.org에서 Mark S. Joshi의 의사 차등 연산자에 대한 강의.
• "Pseudo-differential operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]