미분 대수

수학에서, 미분환, 미분장, 미분대수는 선형적이고 라이프니츠 곱법칙을 만족시키는 단항 함수인 많은 파생물을 갖춘 고리, 필드, 대수를 말한다.미분장의 자연스러운 예로는 복소수${\displaystyle }C{\displaystyle \mathbb{}(}$ $)\displaystyle \mathbb {C}($t$)\}$에 대한 하나의 변수 내 유리함수장이 있다.여기서 t에 대한 미분이다.

미분대수는 또한 이러한 대수적 객체의 연구와 미분방정식의 대수적 연구에 사용되는 수학의 영역을 언급한다.1950년 조지프 리트에 의해 미분대수가 도입되었다.^[1]

차동 링

차동링은 하나 이상의 유도체를 갖춘 링 R로, 이는 가법군의 동형이다.

$\displaystyle \partial \colon R\to R,}$

각 유도체 θ가 라이프니츠 곱의 법칙을 만족하도록 한다.

$\displaystyle \displaystyle (r_{1}r_{2})=(\display r_{1}r_{2}),,$

모든 ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle r_{1},r_{2}\in$ R$\}$에 대해 링은 가환적이지 않을 수 있으므로 가환 설정에서 제품 규칙의 다소 표준 d(xy) = xdy + ydx 형식이 거짓일 수 있습니다.${\displaystyle M}$:${\displaystyle }$R × ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \to }$ \ $displaystyle$M :$R\times$ R$\to$R은$$ 링 상의 곱셈이며 곱셈 규칙은 아이덴티티입니다.

$\displaystyle \times M=M\circ (\times \operatorname {id})+M\circ (\operatorname {id} \times \circ ) 。}$

$여기$서${\displaystyle }$f ×$$ {$displaystyle$ f$\times$ g${\displaystyle \}}$는 쌍$({\displaystyle x}$${\displaystyle ,y}$${\displaystyle )\{}$$displaystyle (x ,$${\displaystyle y}$){$displaystyle ( f$,$x$ ,$y )}$에 매핑하는 함수를 의미합니다$.$

차분 링은 (반드시 등급이 매겨진 것은 $아님{\displaystyle \mathbb{}}$)$$Z \$displaystyle \mathbb {Z}$ - 미분 대수입니다$.$

[ Differential 필드

미분장은 유도체를 갖춘 교환장 K이다.

분수를 미분하는 잘 알려진 공식

$\displaystyle \flac {u} \right} = flac {u} {v^{2}}$

는 제품 규칙에서 따랐습니다.정말이지, 우리는

$\displaystyle \flac {u}\times v\right)=\flac (u)}$

제품 규칙에 따라 우리는 다음과 같이 합니다.

$\displaystyle \flac {u}\right),v+{\flac {u}{v}},\flac(v)=\flac(u)}$

Solving with respect to ${\displaystyle \partial (u/v)}$, we obtain the sought identity.

K가 미분 필드인 경우 K의 상수 필드는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ { u${\displaystyle k}$K :${\displaystyle \mathrm{}(}$ （${\displaystyle u}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ .$${ $displaystyle$ k = \ {$u\in$ K : \ $partial (u$ ) $=$ 0 \ } 입니다.$}$

필드 K 위의 미분대수는 도출이 스칼라 곱셈과 일치하는 K-대수 A이다.즉, 모든 $(\displaystyle$ k$\in$ K$)$ $및$ x$(\displaystyle$ x$\in$ A$)$에 대해 다음과 같이 입력합니다.

$\displaystyle \displays (kx)=k\displays x}$

만약${\displaystyle \theta }$ : ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle Z}$ ($$A ) \$displaystyle \eta$ \$display K\to$ Z$(A)}$가 대수에서 스칼라 곱셈을 정의하는 A의 중심에 대한 환 동형사상이라면, 다음과 같이 된다.

$(\displaystyle \times \operatorname {Id})=M\circ(\eta \times \circ)}$

위와 같이, 유도는 대수 곱셈에 대한 라이프니츠 규칙을 따라야 하며, 덧셈에 대한 선형이어야 한다.따라서 모든 $a{\displaystyle ,}$ $K 및$${\displaystyle }x$에 $대해$ y, $y$$, y$는 $다음$과 같습니다.

$\displaystyle \display (xy)=(\display x)y+x(\display y)}$

그리고.

$(\displaystyle (ax+by)=a,\display x+b,\display y)$

리 대수에 대한 유도

라이 $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$(\$에 대한 파생은 라이프니츠 규칙을 만족하는$$ $선형{\displaystyle }$지도 ${\displaystyle D\mathfrak{}}$: ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ $→$ g(\$displaystyle$D\$colon\mathfrak {g})~{mathfrak {g})$이다.

$\displaystyle D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]}$

${\displaystyle ad\mathfrak{}}$(a)는${\displaystyle }$jacobi 아이덴티티에서 파생된 g$(\displaystyle$ $a\$$mathfrak {g$에 $대한{\displaystyle \mathfrak{}}$ $것$입니다.이러한 유도체를 내부 유도체라고 합니다.이 파생은 리 대수의 보편적 포섭 대수까지 확장된다.

예

A가 단수일 경우, θ(1) = θ(1 × 1) = θ(1) + θ(1)이므로 θ(1) = 0이다.예를 들어 특성 $0{\displaystyle }$K의 차분 필드({$displaystyle$K$\})$에서 유리수는 항상$K$의 상수 필드의 하위 필드({{ $displaystyle$ K$$}

임의의 링은 임의의 링 요소를 0에 매핑하는 단순한 파생에 관한 차동 링입니다.

필드 Q(t)는 설정 θ(t) = 1에 의해 결정되는 미분 필드로서 고유한 구조를 가진다: 필드 공리는 도출에 대한 공리와 함께 t에 대한 미분임을 보증한다.예를 들어 곱셈의 교환성과 라이프니츠의 법칙에 의해 ο(u²) = u ο(u) + ο(u)u = 2u(u)이다.

미분 필드 Q(t)는 미분 방정식에 대한 해답을 갖지 못합니다.

$\displaystyle \display(u)=u}$

그러나 이 방정식에 대한 해답을 갖는 함수^t e를 포함하여 더 큰 미분 장으로 확장됩니다.미분방정식의 모든 시스템에 대한 해를 갖는 미분장을 미분폐장이라고 합니다.이러한 필드는 자연 대수학이나 기하학적 개체로 나타나지 않지만 존재합니다.(유계 카디널리티의) 모든 차등 필드는 큰 차등 닫힌 필드에 포함됩니다.미분장은 미분 갈로아 이론의 연구 대상이다.

자연발생적인 유도체의 예로는 부분도함수, Lie도함수, 핀처도함수 및 대수 원소에 대한 정류자가 있다.

의사 미분 연산자의 링

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미분 고리와 미분 대수는 종종 그것들에 대한 의사 미분 연산자의 고리를 통해 연구된다.

이것은 형식적인 무한 합계 집합이다.

${\displaystyle \left\{n\ll \infty}r_{n}\xi ^{n}\mid r_{n}\in R\right\}.$

$여기$서 n ${\displaystyle \ll }$ $（$ \ $displaystyle$n \$ll$ \ $infty$）는$$ 고정(최소)값 이하의 모든 정수에 대해 합계가 실행됨을 의미합니다.

이 집합은 "단일"에 대해 다음 공식을 선형으로 확장하여 정의된 곱셈으로 링이 됩니다.

${\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{\infty }r(\display ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}}}$

${\displaystyle 여기}$서${\displaystyle }$( ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{m}{}}$k ) ${\displaystyle =\frac{}{}m\frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{m}{}}$ -${\displaystyle \frac{1)...}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$m -${\displaystyle \frac{k}{}}$ +${\displaystyle \frac{}{}}$) k$$! \ $displaystyle$\$textstyle {$m \ $choose$ k} =$flac {m$($$m -$1$ )\ flac ( m -$k$ + 1 ) } {$$$k$ !$}}$은 이항계수입니다( $>$ 0$,$ {$displaystyle$$m >$ 0, {$displaystyle k$> m의 은 모두 0이므로 합계는 유한합니다).특히, 한 사람은

$\displaystyle \xi ^{-1}s=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(\display ^{k}s)\xi ^{-1-k}.}$

r = 1, m = –1, n = 0 의 경우$,{\displaystyle }$ 그리고 등식$k$ ) ${\displaystyle =}$(-$)$ {\$displaystyle \textstyle$ {-1 \$choose$ k} =$param1)^{k}$ 를 사용합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 미분 갈로아 이론
• 켈러 미분
• 차등 닫힌 필드
• D-모듈은 여러 미분 연산자가 작용하는 대수 구조이다.
• 미분 등급 대수는 추가 등급이 있는 미분 대수이다.
• 산술 도함수
• 가환대수에 대한 미분적분
• 차분 대수
• 미분 대수 기하학
• 피카르-베시오 이론
• 하디 필드

레퍼런스

• Buium, Alexandru (1994). Differential algebra and diophantine geometry. Hermann. ISBN 978-2-7056-6226-4.
• Kaplansky, Irving (1976). An introduction to differential algebra (2nd ed.). Hermann. ISBN 9782705612511.
• Kolchin, Ellis (1973). Differential Algebra & Algebraic Groups. Academic Press. ISBN 978-0-08-087369-5.
• Marker, David (2017) [1996]. "Model theory of differential fields". In Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (eds.). Model Theory of Fields. Lecture notes in Logic. Vol. 5. Cambridge University Press. pp. 38–113. ISBN 978-1-107-16807-7. PDF 형식
• Magid, Andy R. (1994). Lectures on Differential Galois Theory. University lecture series. Vol. 7. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-7004-4.

외부 링크

• David Marker의 홈페이지에는 차이점에 대한 여러 온라인 설문조사가 있습니다.