핀처레파생성

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수학에서 선형 연산자의 Pincherle derivative[1]T′{\displaystyle T자형}T:다항식의 변수 x의 한 야전 K{\displaystyle \mathbb{K}에 대한 벡터 공간에 K[)]→ K[)]{\displaystyle T:\mathbb{K}[)]\to\mathbb{K}[)]}T{T\displaystyle}의로}는 정류자. mul내형성 대수에서 x에 의한 tiplication ${\displaystyle \mathrm{End}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle K\mathbb{}}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle \operatorname {End}(\mathb {K} [x$즉, $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은(는) 또 다른 선형 연산자 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$: ${\displaystyle K\mathbb{}}$[${\displaystyle x\mathbb{}}$ ${\displaystyle ]}$ → K${\displaystyle }$[${\displaystyle x}$ {\$displaystyty T':\mathb$ {$K}[x]\to \mathb$ {K$}[x]}$

${\displaystyle T':=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {ad}(x)T,\,}$

(${\displaystyle \mathrm{광고}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ 표기법$$ 원점은 부선 표현에 대한 기사를 참조하십시오.)

${\displaystyle T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad \forall p(x)\in \mathb {K}[x]}$

이 개념은 이탈리아의 수학자 살바토레 핀첼레(1853~1936)의 이름을 따서 지은 것이다.

특성.

핀처레 파생상품은 다른 정류자와 마찬가지로 파생상품이며, 이는 합계와 제품 규칙을 만족한다는 의미로, 엔드${\displaystyle end\mathbb{}}$(K${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \operatorname {End} \left(\mathb {K} [x]\right)$에 속하는$$ 두 개의 선형 $연산자{\displaystyle }$ S${\\\$$displaystytytype$ T$}$을 $부여$한다.

1. ${\displaystyle (T}$+ S${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ $\}\};$
2. ${\$$S+TS^{\prime }$ 여기서$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$= ${\displaystyle T}$∘ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle TS=T\circle S}$는 연산자의 구성이다.

One also has ${\displaystyle [T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]}$ where ${\displaystyle [T,S]=TS-ST}$ is the usual Lie bracket, which follows from the Jacobi identity.

일반적인 파생상품인 D = d/dx는 다항식 연산자다.간단한 계산을 통해 Pincherle 파생 모델은

${\dplaystyle D'=\왼쪽({d \over {dx}\오른쪽)'=\operatorname {Id} _{\mathb {K} [x]}=1.}$

이 공식은 다음과 같이 일반화된다.

${\displaystyle (D^{n}})=\좌측({d^{n}}}}\이상 {dx^{n}}\우측)'=nD^{n-1},}$

유도하여이는 차등 사업자의 핀처레 파생상품이

${\displaystyle \partial =\sum a_{n}{d^{n}}}}{d^{n}}}}\over {dx^{n}}=\sum a_{n}D^{n}}}}}}}}}}}}$

또한 Pincherle 파생상품이 ${\displaystyle \mathrm{Diff}}$ (${\displaystyle K\mathbb{}}$ [ ${\displaystyle x])}${\$displaystyle \operatorname {Diff}(\mathb {K}$ [$x])})$의 파생상품이 되도록 차등 연산자임$.$

$K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 특성이 0이면 시프트 연산자가

${\displaystyle S_{h}(f)(x)=f(x+h)\,}$

라고 쓸 수 있다.

${\displaystyle S_{h}=\sum _{n\geq 0}{{h^{n}}}{{h^{n}}}\over {n!}}}D^{n}}}$

테일러 공식으로 말이야핀처릴 파생상품은

${\displaystyle S_{h}=\sum _{n\geq 1}{{h^{n}}}{{h^{n}}}{{n-1) \over {(n-1)!}}}{{n-1}=h\cdot S_{h}.}$

즉, 시프트 연산자는 핀처레 파생상품의 고유 벡터로서, 스펙트럼은 스칼라 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 전체 공간이다$.$

If T is shift-equivariant, that is, if T commutes with S_h or ${\displaystyle [T,S_{h}]=0}$, then we also have ${\displaystyle [T',S_{h}]=0}$, so that ${\displaystyle T'}$ is also shift-equivariant and for the same shift ${\displaystyle h}$.

"분해 시간 델타 연산자"

${\displaystyle(\displaystyle)(x)={{f(x+h)-f(x)}\over h}}$

운영자인가?

${\displaystyle \delta ={1 \over h}(S_{h}-1),}$

핀처레 파생상품은 시프트${\displaystyle {}_{}}$= S h {\$displaystyle \delta$'=S_$\{$$h}}.$

참고 항목

• 정류자
• 델타 연산자
• 움브랄 미적분학

참조

외부 링크

• 와이스슈타인, 에릭 W. "핀처레 파생상품"MathWorld—Wolfram 웹 리소스.
• MacTutor History of Mathical 아카이브의 Salvatore Pincherle 전기.