발산정리

벡터 미적분학에서, 가우스의 정리 또는 오스트로그라스키의 정리라고도 알려진 발산 정리는 ^[1]닫힌 표면을 통한 벡터장의 유동과 밀폐된 부피 속의 필드의 분비를 연관시키는 정리다.

더 정확히 말하면, 발산 정리는 표면을 통과하는 플럭스라고 하는 닫힌 표면에 대한 벡터장의 표면 적분은 표면 내부의 영역에 대한 발산 적분의 부피와 동일하다고 기술하고 있다. 직관적으로 한 지역의 모든 필드 원천의 합(음원이라고 간주되는 싱크 포함)이 지역 밖으로 순량을 제공한다고 기술한다.

발산 정리는 물리학과 공학의 수학, 특히 전기와 유체 역학에서 중요한 결과물이다. 이들 분야에서는 보통 3차원으로 적용한다. 그러나, 그것은 어느 정도까지 일반화된다. 한 차원에서는 부품별 통합에 해당한다. 2차원에서 그린의 정리정돈에 해당한다.

액체 흐름을 이용한 설명

벡터 장은 기체나 액체와 같은 유체의 속도장의 예를 사용하여 종종 설명된다. 움직이는 액체는 각 지점에 속도(속도 및 방향)를 가지고 있는데, 이는 벡터로 나타낼 수 있기 때문에 액체의 속도가 벡터장을 형성한다. 액체의 부피를 감싸고 있는 액체의 몸체 내부에 상상의 닫힌 표면 S를 고려한다. 부피에서 액체의 유량은 이 표면을 가로지르는 유체의 부피율(즉, 표면 위의 속도의 표면 적분)과 동일하다.

액체는 압축할 수 없기 때문에 닫힌 부피 내부의 액체의 양은 일정하다. 부피 내부에 공급원이나 싱크대가 없다면 S에서 나오는 액체의 유량은 0이다. 액체가 움직이면 표면 S의 어떤 지점에서는 부피로 흘러가고 다른 지점에서는 부피 밖으로 흘러나올 수 있지만, 어느 순간이든 들어오고 나가는 양이 같기 때문에 부피 밖으로 나오는 액체의 순유속은 0이다.

그러나 액체가 유입되는 파이프처럼 닫힌 표면 안에 액체의 원천이 있을 경우 추가 액체가 주변 액체에 압력을 가해 사방으로 바깥쪽으로 흐르게 된다. 이것은 표면 S를 통해 바깥쪽으로 그물망이 흐르게 할 것이다. S를 통해 바깥쪽으로 나가는 유량은 파이프에서 S로 유입되는 유체의 부피와 같다. 마찬가지로 S 내부에 액체를 배출하는 파이프와 같이 싱크대나 배수구가 있는 경우 액체의 외부 압력은 배수구의 위치를 향해 안으로 향하는 액체 전체에 걸쳐 속도를 유발할 것이다. 표면 S를 통한 액체 내부 흐름의 부피율은 싱크대에서 제거된 액체의 속도와 동일하다.

S 내부에 여러 개의 액체의 선원과 싱크대가 있을 경우, 선원에 의해 첨가된 액체의 부피율을 더하고 싱크대에서 배출되는 액체의 비율을 빼서 표면을 통과하는 유량을 계산할 수 있다. 선원이나 싱크대를 통한 액체 흐름의 부피 속도는 파이프 입구에서 속도장의 분리와 같기 때문에 S로 둘러싸인 부피 전체에 걸쳐 액체의 분비를 더(통합)하는 것은 S를 통한 유량의 부피율과 같다. 이것이 발산 정리다.^[2]

다양성 정리는 모든 흡수원과 공급원의 총 부피, 즉 그 부피의 경계를 가로지르는 순 흐름과 동일하다는 것을 명시하는 어떤 보존 법칙에 채택된다.^[3]

수식문

V가 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 하위 집합이라고 가정해 보십시오($$n = 3의 경우 V는 3차원 공간의 볼륨을 나타냄). 이는 소형이며 조각처럼 부드러운 경계 S(또한 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle V}$= ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial V=S}$로 표시됨).$$ F가 V 인접 지역에서 정의된 연속적으로 다른 벡터 필드인 경우:^{[4][failed verification – see discussion]}

${\displaystyle \iint _{V}\왼쪽(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d}V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle(\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n} )\,\mathrm {d}S.}$

왼쪽은 V 부피 위에 적분된 부피, 오른쪽은 V 부피의 경계 위에 적분된 표면이다. The closed manifold ${\displaystyle \partial V}$ is oriented by outward-pointing normals, and ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ is the outward pointing unit normal at each point on the boundary ${\displaystyle \partial V}$. (${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$ may be used as a shorthand $n{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\daystyle \mathbf {n}$\mathbf {n$}$ \mathrm {$d} S}$에 대해, 위의 직관적인 설명으로 볼 때, 방정식의 왼쪽은 V 부피에 있는 소스의 총계를 나타내고, 오른쪽은 S 경계를 가로지르는 총 흐름을 나타낸다.

비공식적 파생

발산 정리는 V권이 분리된 부분으로 분할될 경우 원래 부피에서 나오는 플럭스는 각 요소 부피에서 나오는 플럭스의 합과 같다는 사실에서 따르게 된다.^[5] 이것은 새로운 서브볼륨이 원래 볼륨 표면의 일부가 아닌 표면을 가지고 있다는 사실에도 불구하고 사실이다. 왜냐하면 이 표면들은 단지 두 서브볼륨 사이의 칸막이에 불과하고 그 사이를 통과하는 플럭스는 한 볼륨에서 다른 볼륨으로 지나가기 때문에 서브볼륨에서 나오는 플럭스가 합산되면 사라지기 때문이다.

도표를 참조하십시오. 폐쇄된 경계 볼륨 V는 표면 S₃(녹색)에 의해 두 볼륨 V와₁ V로₂ 나뉜다. 각 성분 영역 V의_i 플럭스 flux(V_i)은 그 두 면을 통한 플럭스의 합과 같으므로, 두 부분 중 플럭스의 합은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi(V_{\text{1})+\Phi(V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}}+\Phi _{\text{32}}}$

여기서 φ과₁ φ은₂ 표면 S와₁ S의₂ 플럭스, φ은₃₁ 체적₃ 1의 S를 통한 플럭스, φ은₃₂ 체적 2의 S를 통한₃ 플럭스다. 요점은 표면 S가₃ 두 볼륨의 표면의 일부라는 것이다. 정상 벡터 $n{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$의 "outward" 방향은 각 부피마다 반대 방향이기$$ 때문에 1에서 S까지의₃ 플럭스는 다른 부피에서 나오는 플럭스의 음과 같다.

${\displaystyle \Phi _{\text{31}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;\mathrm {d} S=-\Phi _{\text{32}}}$

그래서 이 두 유속이 합계에서 상쇄된다. 그러므로

${\displaystyle \Phi(V_{\text{1})+\Phi(V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}}+\Phi _{\text{2.}}}$

표면 S와₁ S의₂ 결합은 S이기 때문에

${\displaystyle \Phi(V_{\text{1})+\Phi(V_{\text{2}})=\Phi(V)}$

이 원리는 도표와 같이 임의의 수의 부품으로 나누어진 부피에 적용된다.^[5] 각 내부 칸막이에 대한 적분(녹색 표면)은 인접한 두 볼륨의 플럭스에 반대 기호가 나타나기 때문에, 플럭스에 대한 유일한 기여는 외부 표면(회색)에 대한 적분이다. 모든 구성 요소 볼륨의 외부 표면이 원래 표면과 같기 때문이다.

${\displaystyle \Phi(V)=\sum _{V_{\text{i}\subset V}\Phi(V_{\text{i})}}$

각 부피의 플럭스 φ은 표면 위의 벡터장 F(x)의 표면 적분이다.

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}$

목표는 원본을 무한히 많은 극소수의 책으로 나누는 것이다. 부피를 작은 부분과 작은 부분으로 나누면 표면적 S(V_i)가 0에 근접하기 때문에 오른쪽의 표면적 적분인 각 부피에서 나오는 플럭스가 0에 근접한다. However, from the definition of divergence, the ratio of flux to volume, ${\displaystyle {\frac {\Phi (V_{\text{i}})}{ V_{\text{i}} }}={\frac {1}{ V_{\text{i}} }}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d}$아래 괄호 안에 있는$$$부분$인 S$}$은 일반적으로 소멸하지 않고 볼륨이 0에 가까워질 때 발산점 F에 접근한다.^[5]

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{ V_{\text{i}} }}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right) V_{\text{i}} }$

벡터장 F(x)가 연속파생물을 갖는 한, 볼륨을 무한히 작은 증분으로 나눌 때 위의 합은 한계에서도 유지된다.

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\lim _{ V_{\text{i}} \to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{ V_{\text{i}} }}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right) V_{\text{i}} }$

${\displaystyle V{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle V_{\text{i}}}}$이(가) 0 볼륨에 가까워지면$$ 최소 dV가 되고 괄호 안의 부분은 분기가 되며 합은 V에 대해 통합된 볼륨이 된다.

이 유도체는 좌표가 자유롭기 때문에, 발산량이 사용된 좌표에 의존하지 않는다는 것을 보여준다.

코롤러리

다이버전스 정리에서 F를 구체적인 형태로 대체함으로써 다른 유용한 정체성을 도출할 수 있다(cf). 벡터 ID).^[4]

• 스칼라 함수 g와 벡터 필드 F에 $대해$ F${\displaystyle }$→ ${\displaystyle F}$ g ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf$ {$F} \$rig} \rightarrow $\mathbf$ {F},

${\displaystyle \iint _{V}\왼쪽[\mathbf {F}\cdot \left(\nabla g\오른쪽)+g\lef(\nabla \cdot \mathbf {F}\right)\matrmatrm {d}V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

이것의 특별한 경우는 $F{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}$인데$,$ 이 경우 정리는 그린의 정체성의 기초가 된다.

• $F{\displaystyle \mathbf{}}$→ ${\displaystyle F\mathbf{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle G\mathbf{}}$ ${\$\times } 벡터 필드 F와 G에 대한$$ $\times$$\times {\displaystyle }$ ${\displaystyle \times}$$$×는 교차 제품을 의미한다$$.

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle(\mathbf {F} \time \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• $F{\displaystyle \mathbf{}}$→ ${\displaystyle F\mathbf{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle G\mathbf{}}$ ${\$} 벡터 필드 F와 G에 대해$$ $\backslash {\displaystyle }$dot ${\displaysty \cdot }$은 점 제품을 의미한다$$.

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• 스칼라 함수 f 및 벡터 필드 c에 $대해$ ^[6]F${\displaystyle }$→ ${\displaystyle f\mathbf{}}$ ${\$ 사용$:$

$\d}V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d}V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {c}f)\cdot \mathbf {n} \mathbf {n}S-\iint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\\mathrm {d}V.}$

오른쪽의 마지막 항은 상수 $c{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 또는$$ 모든 자유(솔레노이드) 벡터 필드에 대해 사라진다. 위상 변화나 화학 반응 등과 같은 공급원이나 싱크대가 없는 압축 불가능한 흐름. 특히 $c{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 일정하게 유지되도록$$ 하는 방법:

${\daystyle \iint _{V}\nabla f\,\mathrm {d}V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle f\mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• 벡터 필드 F와 상수 벡터 c에 $대해$ F${\displaystyle }$→ c ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle F\mathbf{}}$ ${\$ \mathbf ${F} }$ \timees $\mathbf$ {F} } } }을(으) 사용하는 경우:^[6]

${\displaystyle \iint _{V}\mathbf {c} \cdot(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d}V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle(\mathbf {F} \time \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

오른쪽의 트리플 제품을 재주문하고 적분의 일정한 벡터를 꺼냄으로써

${\displaystyle \iint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d}V\cdot \mathbf {c} =}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle(\mathbf {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c}$

그러므로,

${\daystyle \iint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d}V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\daystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} \mathrm {d} S.}$

예

평가한다고 가정합시다.

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d}S,}$

여기서 S는 에 의해 정의된 단위 구체이다.

$\displaystyle S=\왼쪽\{(x,y,z)\in \mathb {R} ^{3}\\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}}$

그리고 F는 벡터장이다.

${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}$

이 적분들의 직접적인 계산은 상당히 어렵지만, 발산 정리가 적분들은 다음과 같다고 하기 때문에, 우리는 발산 정리를 이용하여 결과의 파생을 단순화할 수 있다.

${\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,}$

여기서 W는 유닛 볼이다.

$\displaystyle W=\왼쪽\{(x,y,z)\in \mathb {R}^{3}\\\x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}$

함수 y는 W의 한 반구에서 양이고 다른 반구에서 음이므로, 동등하고 반대 방향으로 W에 대한 그것의 총 적분은 0이다. z:도 마찬가지다.

${\dapplaystyle \iint _{W}y\,\mathrm {d}V=\iint _{W}z\,\mathrm {d}V=0.}$

그러므로

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d}S=2\iint _{W}\,dV={\frac {8\pi}}{3},},},}$

왜냐하면 그 유닛 볼 W.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{.sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output 볼륨 .mw-parser-output다.border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}4π/3.

적용들

물리적 법칙의 차등 형태와 통합형 형태

다양성 정리의 결과, 물리 법칙의 숙주는 미분형(한 수량이 다른 수량의 분화)과 적분형(폐쇄된 표면을 통한 한 수량의 유속이 다른 수량과 동일한 경우)으로 작성될 수 있다. 세 가지 예로는 가우스의 법칙(전기학에서), 가우스의 자력 법칙, 가우스의 중력 법칙이 있다.

연속성 방정식

연속성 방정식은 다양성 정리에 의해 서로 관련되는 미분형 및 적분형태를 모두 가진 법칙의 더 많은 예를 제공한다. 유체역학, 전자석학, 양자역학, 상대성 이론 및 그 밖의 여러 분야에서는 질량, 운동량, 에너지, 확률 또는 다른 양의 보존을 기술하는 연속성 방정식이 있다. 일반적으로, 이러한 방정식은 보존된 양의 흐름의 차이가 해당 양의 선원 또는 싱크 분포와 동일하다는 것을 명시한다. 발산 정리는 그러한 연속성 방정식은 어떤 것이든 미분형(분산형)과 적분형(유량형)으로 쓸 수 있다고 기술하고 있다.^[7]

역제곱법칙

모든 역제곱 법칙은 대신 가우스의 법형식으로 쓸 수 있다(위에서 설명한 바와 같이 미분 및 적분형 형태로). 두 가지 예로 역제곱 쿨롱의 법칙에서 따르는 가우스의 법칙(전기학에서)과 역제곱 뉴턴의 만유인력의 법칙에서 따르는 가우스의 중력 법칙이 있다. 반제곱 공식에서 가우스의 법칙형 방정식의 파생 또는 그 반대는 두 경우 모두에서 정확히 동일하다. 자세한 내용은 해당 조항 중 하나를 참조하십시오.^[7]

역사

Joseph-Louis Lagrange는 그의 Mécanique Analyticique 2판에서 1760년에 표면 통합의 개념을 도입했고 1811년에 다시 한번 더 일반적인 용어로 소개했다. 라그랑주는 유체 역학에 대한 그의 연구에 표면 통합자들을 채용했다.^[8] 그는 1762년에 발산 정리를 발견했다.^[9]

칼 프리드리히 가우스도 1813년 타원형 스피로이드의 중력 흡인력을 연구하면서 표면 적분법을 사용하고 있었는데, 이때 그는 발산 정리라는 특수한 경우를 증명했다.^[10][8] 그는 1833년과 1839년에 추가적인 특수 사건을 증명했다.^[11] 그러나 열 흐름에 대한 조사의 일환으로 1826년 총정리 최초의 증거를 제시한 사람은 미하일 오스트로그라스키였다.^[12] 특수한 경우는 1828년 조지 그린이 「전기·자력 이론에 수학적 분석의 적용에 관한 에세이」에서,^[13][11] 1824년 시메온 데니스 포아송은 탄력에 관한 논문에서, 1828년 프레데릭 사루스는 부유체에 관한 연구에서 입증되었다.^[14][11]

작업한 예

예 1

영역 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 대한 발산 정리의 평면 변형을 확인하려면$:$

$\displaystyle R=\left\{(x,y)\in \mathb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}}}\leq 1\right\}}$

벡터 필드:

${\displaystyle \mathbf {F}(x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .}$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 경계는 다음과 같이 파라메트릭적으로 나타낼 수 있는 $단위{\displaystyle }$ 원 C ${\displaystyle C}$이다$.$

$[\displaystyle x=\coses,\display y=\sin}$

이러한 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 0\leq s\leq 2\pi$} 여기서$$ $s{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle s=0}$은 지점 $s{\displaystyle }$= $0{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $P}$까지의 길이 호이다$.$ 그러면 $C$의 벡터 방정식이 된다$$$.$

${\displaystyle C=\coses\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j}$

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$} 지점$에서$:$

${\displaystyle P=(s),\,\sin(s)\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j}}$

그러므로

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{정렬}}}$

Because ${\displaystyle M=2y}$, we can evaluate ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}=0}$, and because ${\displaystyle N=5x}$, ${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial y}}=0}$. 그러므로

${\displaystyle \iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.}$

예 2

Let's say we wanted to evaluate the flux of the following vector field defined by ${\displaystyle \mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}}$ bounded by the following inequalities:

${\displaystyle \{0\leq x\leq 3\right\}\{-2\leq y\leq 2\right\}\{0\leq z\leq 2\pi \right\}}}}}표시 스타일 \req \right\}}}}}}$

다양성 정리로는

${\displaystyle \iint _{V}\왼쪽(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d}V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d}S.}$

We now need to determine the divergence of ${\displaystyle {\textbf {F}}}$. If ${\displaystyle \mathbf {F} }$ is a three-dimensional vector field, then the divergence of ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ is given by ${\textstyl$$e \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}$.

따라서 다음과 같은$$ 플럭스 적분 $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle I=}$${\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \cdot n\mathbf{}}$ ${\displaystyle d}$ S${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n},\$mathrm$}S를 설정$할 수 있다$.$

${\displaystyle {\reasoned}I&,=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf{F}\,\mathrm{d}V\\[6pt]&,=\iiint _ᆰ\left({\frac{\partial \mathbf{F_{x}}}{\partial x}}와{\frac{\partial \mathbf{F_{y}}}{\partial는 y}}와{\frac{\partial \mathbf{F_{z}}}{\partial z}}\right)\mathrm{d}V\\[6pt]&,=\iiint _ᆲ(4x+4y+4z)\,\mathrm{d}V\\[6pt]&,=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^.{2\pi}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aigned}}$

이제 일체형(integral)을 설정했으니 평가할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}$

일반화

다차원

일반 스톡스의 정리를 사용하여 영역 U에 대한 벡터장 F의 다양성에 대한 n차원 부피 적분을 U의 경계에서 F의 (n - 1)차원 표면 적분과 동일시할 수 있다.

${\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint _{}\cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$

이 방정식은 발산 정리라고도 한다.

n = 2일 때 이것은 그린의 정리와 맞먹는다.

n = 1이면 부품별 통합으로 줄어든다.

텐서 필드

아인슈타인 표기법으로 정리를 쓰는 것:

${\displaystyle \iint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}\mathrm {d}V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\daystyle \mathbf {F} _{i}\,\mathrm {d}S}$

제안적으로 벡터 필드 F를 순위-n 텐서 필드 T로 대체하면 다음과 같이 일반화할 수 있다.^[15]

${\displaystyle \iint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}{\partial x_{i_}}}}{n}}}{partial x_{q}}}}}}}\mathrmatm {d}V=}}}}}V=}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{d}}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\\mathrm {d}S.}$

각 측면에서 최소 하나의 인덱스에 대해 텐서 수축이 발생한다. 이러한 형태의 정리는 여전히 3d로, 각 지수는 1, 2, 3의 값을 취한다. 더 높은 차원(또는 더 낮은 차원)까지 더 일반화할 수 있다(예: 일반 상대성에서는^[16] 4d 스페이스타임까지).

참고 항목

• 켈빈-스토크스 정리

참조

외부 링크

• "Ostrogradski formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• MathPages의 미분산 연산자와 발산정리
• Nick Bykov의 Difference (Gauss) 정리, 울프램 데모 프로젝트.
• Weisstein, Eric W. "Divergence Theorem". MathWorld. – 본 기사는 원래 PlanetMath(planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html://https://web.archive.org/web/20021029094728/http)의 GFDL 기사를 바탕으로 작성되었다.