가우스의 중력의 법칙

물리학에서, 가우스의 중력 플럭스 정리라고도 알려진 가우스의 중력의 법칙은 뉴턴의 만유인력의 법칙과 동등한 물리 법칙이다.그것은 칼 프리드리히 가우스의 이름을 따서 지어졌다.닫힌 표면에 걸쳐 있는 중력장의 플럭스(표면 적분)가 둘러싸인 질량과 동일함을 나타냅니다.가우스의 중력의 법칙은 종종 뉴턴의 ^{[citation needed]}법칙보다 적용하기에 더 편리하다.

가우스의 중력 법칙의 형태는 수학적으로 맥스웰의 방정식 중 하나인 정전학을 위한 가우스의 법칙과 유사합니다.가우스의 중력의 법칙은 가우스의 정전학 법칙이 쿨롱의 법칙과 관련이 있는 것과 같은 수학적인 관계를 가지고 있다.이것은 뉴턴의 법칙과 쿨롱의 법칙이 모두 3차원 공간에서의 역제곱 상호작용을 묘사하기 때문입니다.

법률의 질적 진술

중력장 g(중력가속도라고도 함)는 벡터장입니다. 즉, 공간의 각 지점(및 시간)에 있는 벡터입니다.그것은 입자가 경험하는 중력이 입자의 질량에 그 지점의 중력장을 곱한 것과 같도록 정의된다.

중력 플럭스는 닫힌 표면 위에 있는 중력장의 표면 적분이며, 자속이 자기장의 표면 적분인 방식과 유사합니다.

중력 상태에 대한 가우스의 법칙:

닫힌 표면을 통과하는 중력 유속은 닫힌 질량에 비례합니다.

적분형식

중력에 대한 가우스의 법칙의 적분 형태는 다음과 같습니다.

$\oiint$ $\displaystyle \scriptstyle \partial V$ $\displaystyle \mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}$

어디에

$\oiint$ $\scriptstyle \partial V$ § $V$ $(<displaystyle$ $\scriptstyle \partial V$ \ $\oint _{\partial V}$ \ $partial$ V $\oint _{\partial V}$ 라고도 표기 $\oint _{\partial V}$ 는 닫힌 표면에 통합된 표면을 나타냅니다 $\scriptstyle \partial V$
δV는 닫힌 표면(임의 부피 V의 경계)이다.
dA는 벡터이며, 그 크기는 표면의 극히 작은 조각의 면적이고, 그 방향이 바깥쪽으로 향하는 표면 법선이다(자세한 내용은 표면 적분 참조).
g는 중력장이다.
G는 만유인력 상수이고,
M은 표면 δV 내에 포함된 총 질량이다.

이 방정식의 왼쪽은 중력장의 플럭스라고 불립니다.이 법칙에 따르면 항상 음(또는 0)이며 절대 양의 값이 아닙니다.이는 플럭스가 양수이거나 음수일 수 있는 가우스의 전기 법칙과 대조될 수 있습니다.차이점은 전하가 양이나 음이 될 수 있는 반면 질량은 양만 될 수 있기 때문입니다.

미분 형식

중력 상태에 대한 가우스의 법칙의 미분 형식

$\displaystyle \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}$

여기서 $\nabla \cdot$ δ $(\displaystyle \nabla \cdot)$ 는 $\nabla \cdot$ 발산, G는 만유인력 상수, δ는 각 점의 질량 밀도입니다.

적분 형태와의 관계

가우스의 중력 법칙의 두 가지 형태는 수학적으로 동일하다.발산정리는 다음과 같이 기술한다.

\displaystyle \point _{\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,dV}

여기서 V는 단순한 닫힌 방향 표면 δV로 둘러싸인 닫힌 영역이고, dV는 부피 V의 극소 조각입니다(자세한 내용은 부피 적분 참조).중력장 g는 V 근방에서 정의된 연속 미분 벡터장이어야 한다.

또한 을 고려하면

M=\int _{V}\rho \dV

우리는 가우스의 중력에 대한 법칙의 적분 형태에 발산 정리를 적용할 수 있는데, 이는 다음과 같다.

\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g}\dV=-4\pi G\int _{V}\rho \dV}

다시 작성할 수 있습니다.

\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g})\dV=\int _{V}(-4\pi G\rho)\dV.}

이것은 가능한 모든 볼륨 V에 대해 동시에 유지되어야 합니다.이러한 방법은 인테그랜드가 동일한 경우뿐입니다.이 때문에 우리는

\displaystyle \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}

중력에 대한 가우스의 법칙의 미분 형태입니다.

이 방법의 역수를 사용하여 미분 형식에서 적분 형식을 도출할 수 있습니다.

두 형식은 동일하지만, 어느 한쪽이 특정 계산에서 더 편리할 수 있습니다.

뉴턴의 법칙과의 관계

뉴턴의 법칙에서 가우스의 법칙을 도출하다

가우스의 중력의 법칙은 뉴턴의 만유인력의 법칙에서 유래할 수 있는데, 이 법칙은 점 질량에 의한 중력장이 다음과 같다고 말합니다.

\displaystyle \mathbf {g}(\mathbf {r})=-{\frac {GM}{r^{2}}\mathbf {e_{r}}}

어디에

e는_r 방사 단위 벡터입니다.
r은 반지름 r입니다.
M은 원점에 위치한 점 질량으로 가정되는 입자의 질량입니다.

벡터 미적분을 이용한 증명은 아래 상자에 나와 있습니다.이는 (전기정전학에서)^[1] 쿨롱의 법칙에서 시작된 가우스의 법칙의 증명과 수학적으로 동일하다.

입증의 개요

r에서의 중력장인 g(r)는 우주의 모든 질량의 비트로 인한 g(r)에 대한 기여도를 더함으로써 계산될 수 있다.이를 위해 공간의 모든 점에 통합하고 s의 질량과 관련된 g(r)에 기여도를 더합니다. 여기서 이 기여도는 뉴턴의 법칙에 의해 계산됩니다.결과는 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathbf {g}(\mathbf {r})=-G\int \rho(\mathbf {s}){\mathbf {r} -\mathbf {s}} {\mathbf {s}} {\mathbf} d^{3}\mathbf {s}

(ds는³ dsds를_x_y_z 나타냅니다.각각 -dsds는 -ds에서 +ds로 통합됩니다).만약 우리가 r에 대해 이 방정식의 양쪽의 차이를 취한다면, 그리고 알려진^[1] 정리를 사용한다.

\displaystyle \cdot \leftfac \frac {r} {\mathbf {r}} \right} = 4 \pi \pi \pi ( \mathbf {r} ) }

여기서 θ(r)는 Dirac 델타 함수이며 결과는 다음과 같습니다.

\displaystyle \cdot \mathbf {g}(\mathbf {r})=-4\pi G\int \rho(\mathbf {s})\displaystyle(\mathbf {r} -\mathbf {s})\d^{3}\mathbf {s}.}

Dirac 델타 함수의 "시프트 속성"을 사용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \cdot \mathbf {g}(\mathbf {r})=-4\pi G\rho(\mathbf {r})}

가우스의 중력에 대한 법칙의 미분 형태입니다.

가우스의 법칙과 비회전성으로부터 뉴턴의 법칙을 도출하는 것

가우스의 법칙은 g의 분산을 규정하지만 g의 컬에 관한 정보를 포함하지 않기 때문에 가우스의 법칙만으로는 뉴턴의 법칙을 수학적으로 증명하는 것은 불가능하다.가우스의 법칙과 더불어 중력이 보수적인 힘이기 때문에 g는 비회전(컬이 0)이라는 가정이 사용된다.

\displaystyle \times \mathbf {g} = 0

이것들조차 충분하지 않다: g의 경계 조건 또한 뉴턴의 법칙을 증명하기 위해 필요하다. 예를 들어, 장은 질량과 무한히 떨어져 있다는 가정이다.

이러한 가정으로부터 뉴턴의 법칙의 증거는 다음과 같다.

입증의 개요

가우스의 법칙의 필수 형태부터 시작합니다.

\displaystyle \point _{\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.}

이 법칙은 부피 V가 점질량 M을 중심으로 한 반지름 r의 구인 경우에 적용한다.점 질량으로부터의 중력장이 구형 대칭이 될 것으로 예상하는 것은 타당하다.(간단함을 위해 증명은 생략합니다.)이 가정으로 g는 다음과 같은 형태를 취합니다.

\displaystyle \mathbf {g}(\mathbf {r})=g(r)\mathbf {e_{r}}}

(즉, g의 방향은 r의 방향과 평행하며 g의 크기는 r의 방향이 아닌 크기에만 의존한다.)이를 꽂아 δV가 r이 일정하고

4\pi r^{2}

이

4\pi r^{2}

구면이라는 점을

4\pi r^{2}

하여 r 2

4\pi r^{2}

{\

displaystyle

4

\pi

r

^{2

g(r)\point _{\mathbf {e_{r}} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM

g(r)(4\pi r^{2})=-4\pi GM

g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}

\mathbf {g}(\mathbf {r})=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}}{r^{2}}

뉴턴의 법칙이죠

포아송 방정식과 중력 퍼텐셜

중력장은 위에서 언급한 바와 같이 제로 컬(즉, 중력은 보수적인 힘)을 가지므로 중력 전위라고 불리는 스칼라 전위의 기울기로 나타낼 수 있습니다.

\displaystyle \mathbf {g} =-\displayla \phi .}

그러면 중력에 대한 가우스의 법칙의 미분 형태가 푸아송의 방정식이 됩니다.

(\displaystyle \displayla ^{2}\phi = 4\pi G\rho )

이것은 중력 전위와 중력장을 계산하는 대체 수단을 제공한다.포아송 방정식을 통한 g 연산은 수학적으로 가우스의 법칙에서 g를 직접 계산하는 것과 동일하지만, 주어진 상황에서 한 가지 또는 다른 접근법이 더 쉬운 연산일 수 있다.

반지름 대칭 시스템에서 중력 전위는 하나의 변수(예: $r=|\mathbf {r} |$ $r=|\mathbf {r} |$ \ $displaystyle$ r = \ $mathbf {r}$ )의 $r=|\mathbf {r} |$ 함수이며, 포아송 방정식은 다음과 같다(원통 및 구면 좌표의 델 참조).

{1}{r^{2}}{\frac}{\left(r^{2}),{\frac\phi}{\frac r}=4\pi G\rho(r)

반면 중력장은 다음과 같습니다.

\mathbf {g}(\mathbf {r})=-\mathbf {e_{r}(\frac \phi }{\frac r})

방정식을 풀 때 유한 밀도의 경우 θ/θr은 경계(밀도의 비율)에서 연속이어야 하며 r = 0에 대해서는 0이어야 한다는 점을 고려해야 한다.

적용들

가우스의 법칙은 뉴턴의 법칙을 직접적으로 적용하는 것이 더 어려운 경우에 중력장을 쉽게 유도하기 위해 사용될 수 있다.이러한 도출 방법에 대한 자세한 내용은 문서 가우스 표면을 참조하십시오.이러한 어플리케이션의 3개는 다음과 같습니다.

부게르 판

유한 두께의 무한 평판(Bouguer 플레이트)에 대해 플레이트 외부의 중력장은 플레이트까지의 거리에^[2] 관계없이 단위 면적당 질량의 2µG 배인 평판(Bouguer 플레이트)과 수직이라는 결론을 내릴 수 있다(중력 이상 참조).

보다 일반적으로 하나의 데카르트 좌표 z에만 의존하는 밀도의 질량 분포의 경우, 임의의 z에 대한 중력은 이 z 값의 양쪽에 있는 단위 면적당 질량의 2µG배이다.

특히 단위 면적당 질량이 동일한 두 개의 평행 무한 플레이트의 병렬 조합은 이들 사이에 중력장을 생성하지 않는다.

원통 대칭 질량 분포

무한 균일(z 단위) 원통 대칭 질량 분포의 경우(원통형 가우스 표면을 사용하여) 중심으로부터의 거리 r에서의 전계 강도는 더 작은 거리(축으로부터의 거리)에서 단위 길이 당 총 질량의 2G/r의 크기로 안쪽에 있다고 결론을 내릴 수 있다.ance를 클릭합니다.

예를 들어 무한 균일 중공 원통 내에서는 필드가 0입니다.

구대칭 질량 분포

구형 대칭 질량 분포의 경우 중심으로부터의 거리 r에서의 전계 강도는 r보다 작은 거리 내의 총 질량만 G/r의² 크기로 안쪽으로 결론을 내릴 수 있다.중심에서 r보다 더 먼 거리에 있는 모든 질량은 결과적인 효과가 없습니다.

예를 들어, 속이 빈 구는 내부에 어떠한 순중력도 생성하지 않습니다.내부의 중력장은 마치 중공 구체가 존재하지 않는 것과 같다(즉, 결과장은 구체를 포함하지 않는 모든 질량의 것으로, 구체의 내부와 외부에 있을 수 있다.

비록 이것은 중력에 대한 가우스의 법칙에서 한 두 줄의 대수학에서 따르지만, 아이작 뉴턴이 그의 중력의 법칙을 사용하여 직접 도출하는 데 몇 페이지의 번거로운 미적분학이 필요했다; 이 직접 도출에 대한 기사 껍데기 정리를 참조하라.

라그랑지안에서의 파생

뉴턴 중력의 라그랑주 밀도는

\displaystyle {L}(\mathbf {x},t)=-\rho(\mathbf {x},t)\phi(\mathbf {x},t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla {x},t)^{2}}

이 라그랑지안에 해밀턴의 원리를 적용하면, 그 결과는 중력에 대한 가우스의 법칙입니다.

\displaystyle 4\pi G\rho(\mathbf {x},t)=\displayla ^{2}\phi(\mathbf {x},t)}

자세한 내용은 라그랑지안(장 이론)을 참조하십시오.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b 예를 들어,Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. p. 50. ISBN 0-13-805326-X.
^ 역학적 문제 해결사, 포기엘, 페이지 535–536

추가 정보

"중력에 대한 가우스의 법칙"이라는 용어의 사용에 대해서는 예를 들어 다음을 참조하십시오.

[Griffiths-1] 예를 들어,Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. p. 50. ISBN 0-13-805326-X.

[2] 역학적 문제 해결사, 포기엘, 페이지 535–536

[1]

[2]

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