엡실론 유도

$집합론에서,$∈ {\$displaystyle$ \in$}$ - 유도는 엡실론 유도 또는 집합 유도라고도 하며, 모든 집합이 주어진 성질을 만족함을 증명하는 데 사용될 수 있는 원리입니다.공리적 원리로 간주되어 집합 귀납의 공리 스키마라고 불립니다.

그 원리는 트랜스피니트 유도와 재귀를 의미합니다.또한 근거가 충분한 관계에 대한 유도의 일반적인 맥락에서 연구될 수도 있습니다.

진술

The schema is for any given property ${\displaystyle \psi }$ of sets and states that, if for every set ${\displaystyle x}$, the truth of ${\displaystyle \psi (x)}$ follows from the truth of ${\displaystyle \psi }$ for all elements of ${\displaystyle x}$, then this property ${\displaystyle \psi }$ holds for all sets.기호:

${\displaystyle \for all x.{\big (}{\big (})\모두에 대해 (y\in x).\psi(y){\big )}\,\to \,\psi(x){\Big )},\to \,\to \,\모든 z에 대하여.\psi(z)}$

$x$ ${\displaystyle x}$가 빈 집합$${ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\}},$ 하위 표현식$$∀ (${\displaystyle y}$ ∈$x$) . ψ (y )${\displaystyle$ \forall (y\in x)입니다.$\psi$(y)}은(는) 모든 명제에 대해 명확하게 참이며, 따라서$$$ψ$({})${\$displaystyle \$psi$(\{\})}을${\displaystyle (}$를) 증명함으로써 암시가 증명됩니다.

즉, 속성이 있는 집합을 새 집합으로 수집할 때 속성이 지속적이라면(이 경우 빈 집합에 대한 속성을 설정해야 함) 속성은 모든 집합에 대해 단순히 참입니다.달리 말하면, 집합 형성에 대한 속성의 지속성은 담론 영역의 각 집합에 도달하기에 충분합니다.

수업에 있어서는

도식을 표현하기 위해 수업의 언어를 사용할 수 있습니다.Denote the universal class ${\displaystyle \{x\mid x=x\}}$ by ${\displaystyle {\mathbb {U} }}$. Let ${\displaystyle \Psi }$ be ${\displaystyle \{x\mid \psi (x)\}}$ and use the informal ${\displaystyle \Psi ={\mathbb {U} }}$ as abbreviation for ${\displaystyle \forall z.z\in \Psi }$. The principle then say$모든$ψ {\displaystyle \Psi$\}$에 대해,

${\displaystyle \forall (x\subseteq \Psi).x\in \Psi \,\,\좌측 오른쪽 화살표 \,\,\Psi ={\mathbb {U}}}$

여기서 정량자 범위는 모든 세트에 걸쳐 있습니다.즉, 모든 하위 집합을 포함하는 클래스는 단순히 모든 집합의 클래스일 뿐입니다.

유계 분리를 가정하면 $U{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 적절한 클래스입니다.따라서 ${\displaystyle \mathrm{속성}}$ ∀${\displaystyle }$(x ⊆ ψ ) . x ∈ ψ {\displaystyle \forall (x\subseteq \Psi).$x\in \Psi }$은(는) 적절한 $클래스{\displaystyle \mathbb{}}$ U$${\$displaystyle {\mathbb {U}}}$에서만 표시되며$,$ 특히 집합이 없습니다.실제로, 어떤 집합도 그 집합 자체의 부분 집합이며 몇 가지 더 많은 가정 하에서 이미 자기 구성원 자격이 배제될 것입니다.

다른 속성과 비교하려면 클래스 $A$의$$경우$$σ ${\$displaystyle \Sigma$}$이$(가)$ ∈ {\displaystyle \in} - transitive means입니다.

${\displaystyle \forall (x\in \Sigma).x\subseteq \Sigma }$

전이성 집합이 많습니다. 특히 이론적 서수 집합입니다.

귀납의 관련 개념

If ${\displaystyle \psi (x)}$ is ${\displaystyle (x\in \Sigma )\to P(x)}$ for some predicate ${\displaystyle P}$, then with ${\displaystyle (A\to (B\to C))\leftrightarrow (B\to (A\to C))}$,

${\displaystyle \forall (x\in \Sigma).{\Big(}{\big(})\모두에 대하여(y\in(x\cap \Sigma)).P(y){\big )}\,\to \,P(x){\Big )}\,\to \,\for all (z\in \Sigma).P(z)}$

여기서 $y$ ∈ $x$∩ σ {\displaystyle$$y\in x\cap \Sigma}는 y ∈ x ∧ y ∈ σ {\displaystyle y\in x\land y\in \Sigma}로 정의됩니다. 만약 σ {\displaystyle \Sigma}이(가) 범용 클래스라면, 이것은 다시 스키마의 인스턴스일 뿐입니다.그러나 $실제로$σ ${\$displaystyle \Sigma$}$이(가) $임의의$∈ ${\$displaystyle \in} - transient${\displaystyle }$class이면 ${\displaystyle \mathrm{여전히}}$∀ (x ∈ σ ) . ( x ∩ = x ) {\displaystyle \forall (x\in \Sigma) .$(x\cap \Sigma$ $=$ x)} 및 $P$ ${\displaystyle P}$에 대한 집합 귀납법 버전이$$$σ$ {\$displaystyle$ \Sigma} 내부에 있습니다.

서수

서수는 과도 집합의 과도 집합으로 정의될 수 있습니다.자연수의 집합인 첫 번째 무한 순서$$ω {\displaystyle$$\omega$\}$에서의 유도 상황은 아래에서 더 자세히 설명됩니다.집합 유도가$$ω {\displaystyle$$\omega$\}$를 포함하는 과도적 집합에서 유도를 허용하기 때문에, 이것은 실제로 전체 적절한 종류의 서수를 사용하여 트랜스피니트 재귀에 의한 트랜스피니트 유도 및 정의라고 불리는 것을 제공합니다.서수의 경우 귀납법은 모든 집합이 서수 순위를 가지며 서수의 순위는 그 자체임을 증명합니다.

폰 노이만 서수의 이론은 그러한 집합을 설명하고, 거기서 $y$∈ x {\$displaystyle$ y\in x}는 순서 관계 < x${\displaystyle$y<x}를 모델링하며, 이는 고전적으로 삼차적이고 완전할 수 있습니다.흥미로운 것은 서수를 서수에 매핑하는 후속 연산 ${\displaystyle x}$ ↦ x${\displaystyle }$∪ { $x$ } ${\displaystyle x\mapsto$ x\cup \{x\}입니다.고전적인 경우에, 후속 서수에 대한 유도 단계는 단순화될 수 있으므로 연속 서수들 사이에서 속성이 단지 보존되어야만 합니다(이것은 일반적으로 트랜스피니트 유도로 이해되는 공식입니다).집합은 $기본값이$∈ {\$displaystyle \$in}입니다.

근거있는 관계

For a binary relation ${\displaystyle R_{D}}$ on a set ${\displaystyle D}$, well-foundedness can be defined by requiring a tailored induction property: ${\displaystyle y\in x}$ in the condition is abstracted to ${\displaystyle R_{D}(y,x)}$, i.e. one always assumes ${\displaystyle R_{D}(y,$$x)$위 문에서 사용된 ${\displaystyle \mathrm{교차}}$ $∈$ ($x$$∩$ D) ${\displaystyle$y\in (x\cap D)} 대신$\landy\in$ D$}$입니다.기초가 탄탄한 관계 ${\displaystyle {RD}_{}}$ ${\displaystyle R_{D}$에$$대해 무한 내림 ${\displaystyle {RD}_{}}$ ${\displaystyle R_{D}$ - 시퀀스가 ${\displaystyle \mathrm{없음}}$을 알 수 있습니다.${\displaystyle {}_{}}$¬ ${\displaystyle {RD}_{}}$ (y, y) {\$displaystyle$ \forally.$\neg R_{D}(y,y$ 또한 ${\displaystyle {RD}_{}}$ ${\$로 재귀에 의한 함수 정의를 도메인에서 정의할 수 있습니다$$.

고전적으로, 집합에서의 관계의 근거가 충분하다는 것은 또한 모든 부분 집합에 대한 최소 요소 존재의 강력한 속성으로 특징지어질 수 있습니다.종속적인 선택으로, 무한한 하강 사슬의 존재하지 않는 성질이 약하다는 것도 특징일 수 있습니다.

음수 술어의 경우

이 절에서는 음의 형태인${\displaystyle }$ψ (x) : = ¬ S (x$) {\displaystyle$ \psi (x) :$=$\$neg$ S($x$ 건설적으로, 결과 문은 일반 술어의 집합 귀납법보다 일반적으로 약합니다.동등성을 확립하기 위해서는 다음과 같은 유효한 원칙이 필요합니다.

${\displaystyle \mathrm{\forall }}{\displaystyle x}$. (${\displaystyle A}$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle \mathrm{)}\to }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle B}$ ( ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle \mathrm{)\; \leftrightarrow }}$ ¬ ∃$x$ . ( A${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{x}}$ )$∧$B ($x$ ) ${\displaystyle \ for all$ x$.{\$big (}$A(x))\to$ \neg B(x){\big$)}\,\n$.{\$big$ $(\}$A(x)\land B(x){\big )}, ,

는 일반적으로 사용되며, $두{\displaystyle }$ 개의 술어 A ${\displaystyle A}$ $및$ B ${\displaystyle B}$는 어떤 값에 대해서도 동시에 유효성을 검사할 수 없습니다$$.이중부정제거가 허용되는 경우는 다음 절에서 설명합니다.

Denoting the class ${\displaystyle \{x\mid S(x)\}}$ by ${\displaystyle \Sigma }$, this amounts to the special case of above with, for any ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle P(x)}$ equal to the false statement ${\displaystyle x\neq x}$. One has ${\displaystyle x\cap \Sigma =\{\}}$ denoting ${\displaystyle \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }(y\in \mathrm{\Sigma }).}$$y$$y\in x$ 모든 집합이 클래스 $σ$ {\displaystyle \Sigma}의 멤버가 아니라는 문장에 대해 $σ$ $=$ {}$$${\displaystyle$ \Sigma $=$\{\}을(를) 쓰면 유도 스키마가 다음으로 줄어듭니다.

${\displaystyle \neg \exists (x\in \Sigma).x\cap \Sigma =\{\}\,\,\왼쪽 오른쪽 화살표 \,\,\Sigma =\{\}$

$즉$, ∈ {\$displaystyle \$in} - 최소 집합이 없는 속성(클래스)은 단순히 잘못된 속성(빈 집합)입니다.(A minimal ${\displaystyle x}$ for a relation ${\displaystyle R}$ is one for which there does not exist another ${\displaystyle y}$ with ${\displaystyle R(y,x)}$. Here the membership relation restricted to ${\displaystyle \Sigma }$ is considered, i.e. a minimal element with respect to ${\displaystyle \Sigma }$ is one without a ${\displaystyle y\in x\cap }$${\displaystyle$ y$\in$ x$\$cap \Sigma}).

무한히 내려오는 사슬

위와 같은 함의 선행은 ∀${\displaystyle }$(x σ σ ) .${\displaystyle }$¬ ¬ ∃ (y ∈ ∈ ) . y ∈ x {\displaystyle \forall (x\in \Sigma)로 표현할 수 있습니다.$\neg \neg \exists (y\in \Sigma).$$y\in$ x$\}.$빈 집합을 공백으로 유지합니다.ω$$${\$displaystyle \omega}의 함수로서 내림차순 멤버십 체인이 존재하는 경우, 교체 공리는 이를 충족하는 집합 σ {\displaystyle \Sigma}의 존재를 증명합니다.따라서 유도 원리를 가정하는 것은 그러한 연쇄의 존재를 모순되게 만듭니다.

이 항에서는 유도 원리 대신 종속 선택의 공리를 가정합니다.위 선행의 모든 결과는 구성적으로 더 강한 조건인 $이중$ 부정을 제거하여 얻은$$∀ ∃ {\$displaystyle \forall$\exists} - 문장에 의해서도 암시됩니다.${\displaystyle$\forall \exists} -property라는$$∀ ∃을$$가진 집합 σ ${\$displaystyle$$\Sigma}을(를) 고려하십시오.집합이 사람이 거주한다고 가정할 때, 종속 선택은 시퀀스로서 무한 하강 멤버쉽 체인의 존재를 의미합니다. 즉, 자연계에서 함수 ω → σ ${\displaystyle$ \omega \to \Sigma}.따라서 exists 이 {\$displaystyle \forall$ \property} - ∀ ∃인 집합에 대해 이러한 체인의 비existence을 설정(또는 가정)하는 것은 가정이 잘못되었다는 것을 의미합니다. $즉$, σ = { }${\$displaystyle \Sigma =\{\}.

따라서 집합 유도는 무한 하강 사슬의 존재하지 않는 공준과 관련이 있습니다.그러나 후자의 경우에 필요한 추가적인 가정을 고려할 때, 단지 존재하지 않는 가정은 비교에서 상대적으로 약합니다.

셀프멤버십

모순의 경우, 자신의 단일톤 집합 $s$ =${\displaystyle }${$}$$displaystyle$ s=\{s\}와 동일한 특성을 가진 거주자 $집합${\$displaystyles}$이 존재한다고 가정합니다.$$형식적으로는 ∀ y . (y ∈s ↔ y = s ) {\displaystyle \forally. (y\ins\left rightarrow=s)}이(가) 존재하며, 이로부터 {\displaystyle s\ins} 및 모든 집합이 ∈가 됩니다.${\displaystyles}$의 l 멤버는 모든 $속성$을 공유합니다($예$: ∀ (y ∈ $).s$ ∈y {\displaystyle \forall (y\in)).$s\iny$ 이전 형태의 원리에서 $보면$ s $=$ ${}$ {\displaystyle s$=$\{\}, 모순입니다.

위의 다른 보조 용어를 사용하여 논의한 바와 같이$,$ $하나는$displaystyles}과(와$)$ 같지 않은 $집합$의 $클래스$ψ {\displaystyle \Psi}에 대한 귀납법을 연구합니다. 따라서 음수의${\displaystyle \mathrm{술어}}$에서 S$$(x) ${\$$displaystyle$$$S(x))는 $술어$ ${\displaystyle x}$ = s {\$displaystyle$ x=s}이며, 이는 S ${\displaystyle$ S$}$를 $나타내는$ 집합이 d를 가짐을 의미합니다.efining properties of ${\displaystyle s}$. Using the set builder notation, one is concerned with ${\displaystyle \Sigma =\{s\}}$. Assuming the special property of ${\displaystyle s}$, any empty intersection statement ${\displaystyle x\cap s=\{\}}$ simplifies to just ${\displaystyle s\notin x}$.σ${\displaystyle$ \Sigma}의 관점에서 공식의 $원리는$∉ ${\displaystyles$notins$}$로 ${\displaystyle \mathrm{감소}}$하며${\displaystyle ,}$ 이는 다시 모순입니다.다시 원래의 공식으로 ${\displaystyle \mathrm{돌아가서}}$, ∀ ${\displaystyle z}$.$z$는 ${\displaystyle \forall$ $.$z\$neqs$}을(를$)$ ≠$하고$ ψ {\displaystyle \Psi}은(는) 단순히 모든 집합의 도메인입니다.귀납법이 설정된 이론에서 설명된 재귀적 속성을 가진$$ ${\displaystyles}$은(는) 실제로 집합이 아닙니다.

더 복잡한 시나리오에도 유사한 분석이 적용될 수 있습니다.예를 들어 $u$ =${\displaystyle }${$,$ v ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$u =\{0, v$\}$와 v = {1, u $}$ {\displaystyle v =\{1,u\}이(가) 모두 집합인 경우 {v, u } {\displaystyle \{v,u\}이(가) 쌍으로 존재하지만 이 또한 {\displaystyle \forall \exists } - property입니다.

대조군

부정이 있는 형태의 대비는 구조적으로 더욱 약하지만$$σ${\$displaystyle$$\Sigma$\}$에 대한 정규 주장에서 단 한 번의 이중 부정 제거입니다.

${\displaystyle \Sigma \neq \{\}\,\to \,\neg \neg \exists (x\in \Sigma).x\cap \Sigma =\{\}$

선행 및 결론에 이중 부정이 있는 경우 ${\displaystyle \mathrm{선행}}$은 ∃${\displaystyle }$z로 ${\displaystyle \mathrm{동등}}$하게$대체$될 수 $있습니다$. (z ∈ σ$)$ ${\$displaystyle \exist z.(z\in \Sigma )}.

고전 동치

접속형

보편적으로 정량화된 술어에 대한 제외 중간 문장은 다음과 같이 고전적으로 표현할 수 있습니다.모든 항에 대해 성립하거나 술어가 실패하는 항이 있습니다.

${\displaystyle \for all z.P(z)\,\lor \,\존재 x.\neg P(x)}$

이를 통해, 논리적 삼단논법을 사용하여, 반례의 가능성을 배제하는 것은 모든 용어에 대한 속성을 고전적으로 증명합니다.이 순수한 논리적 원리는 용어들 사이의 다른 관계들, 예를 들어 요소성(또는 계승, 아래 참조)과는 무관합니다.$({\displaystyle B}$∨ ¬ A ) → (${\displaystyle A}$ → B ) {\$displaystyle$ ($B\lor \neg A)\to$ ($A\$to B)}를 사용하면 고전적으로 동치이며 이중 부정 제거를 사용하면 유도 원리를 다음 문장으로 변환할 수 있습니다.

${\displaystyle \for all z.P(z)\,\lor \,\exist x.{\Big (}\neg P(x)\,\land \,\forall (y\in x).P(y){\Big}}$

술어 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$의 경우 모든 집합에 대해 성립하거나$,$ P ${\displaystyle$ P}이$($가) $성립$하지 않는$$ $집합{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$이(가) 있으며, P ${\displaystyle$P}은$($는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 모든 요소에 대해 성립됨을 나타냅니다$.$ 이를 다시 원래 공식과 연결:가능하다면, 임의의 $집합$ x ${\displaystyle x}$에 대하여 ∀${\displaystyle }$(${\displaystyle y}$ ∈ x ). P (y) ${\displaystyle$\forall (y\in x)임을 증명합니다$.$$P(y)}$는 $P{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle P(x)}$를 의미하며$,$ 여기에는 아래 $케이스$ P${\displaystyle$ P$(\{\})}$의 증명이 포함됩니다$.$ 그런 다음, 실패 케이스는 배제되고, 그 다음, 연결 해제 삼단논법에 의해 연결 ${\displaystyle \mathrm{해제}}$$∀$ z. P$($ z) ${\displaystyle$ \forall z$.$$P(z)}$이(가) 유지됩니다.

반례의 존재를 배제하여$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$를 증명하는 작업의 경우, 유도 원리는 따라서 제외된 중간 분리와 유사한 역할을 하지만 전자는 건설 프레임워크에서도 일반적으로 채택됩니다.

정규성과의 관계

이전 섹션의 유도는 집합 유도가 고전적으로 다음을 의미한다는 것을 보여줍니다.

${\displaystyle \Sigma \neq \{\}\,\to \,\존재합니다(x\in \Sigma).x\cap \Sigma =\{\}$

즉, 일부 집합에서 표시되는 속성은 위에서 정의한$$"최소 집합" $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$에서도 표시됩니다.클래스의 경우, 비어 있지 않은 모든 클래스$$σ${\$displaystyle$$\Sigma}에는 이 클래스와 분리된$멤버$ x${\displaystyle$ x}이(가) 있습니다.

일반적인 프레임워크인 1차 집합 이론에서 집합 유도 원리는 임의의 술어(즉, 클래스)에 대해 공리를 부여하는 공리 스키마입니다.이와 대조적으로, 규칙성의 공리는 단일 공리이며, 논의 영역의 요소, 즉 집합에 대해서만 보편적인 정량자로 공식화됩니다.σ$${\$displaystyle$ \Sigma$}$이(가) 집합이고 유도 스키마가 가정되면, 위는 σ$\{\backslash$displaystyle \Sigma$}$에 대한 $정규성$ 공리의 인스턴스입니다. 따라서 고전적 논리에 대한 집합 유도를 가정하면(즉, 배제된 중간 법칙 가정), 정규성의 모든 인스턴스는 성립합니다.

분리 공리가 있는 맥락에서 정규성은 (하나의 분리 공리에서 허용되는 술어에 대해) 제외된 중간을 의미하기도 합니다.한편, 집합 유도 스키마는 배제된 중간을 의미하지는 않지만, 위에서 설명한 바와 같이 강력한 유도 원리를 의미할 수 있을 만큼 충분히 강합니다.이에 따라 스키마는 예를 들어 유형 이론 모델을 가진 구성 집합 이론 CZF에 채택됩니다.따라서 그러한 집합론적 틀 안에서 집합 귀납은 규칙성보다 엄밀하게 약한 강력한 원리입니다.정규성과 완전 분리의 공리를 채택할 때, CZF는 표준 ZF와 같습니다.

역사

규칙성의 공리는 1925년 폰 노이만에 의해 공식화되었습니다.그 동기는 규칙성이나 대체성이 없는 이론인$$저멜로 집합 이론 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\$에서 스콜렘의 무한 하강 사슬에 대한 1922년 논의로 거슬러 올라갑니다.

$이론{\displaystyle \mathsf{}}$ Z ${\$이(가) 모든 집합 유도 인스턴스를 증명하지는 않습니다$$.정규성은 증명된 바와 같이 부정된 문장에 대한 집합 귀납법의 대비와 고전적으로 동등합니다.세트에서 클래스로의 브리지가 아래에 나와 있습니다.

정규성 및 경과성 집합에서 인덕션 설정

규칙성을 가정할 때, 사람은 비유의 반전과 같은 고전적인 원리를 사용할 수 있습니다.또한, 음의 $술어$¬ S ${\displaystyle$ \neg S}의 관점에서 진술된 귀납 스키마는 술어 변수 P {\displaystyle P}의 관점에서 1만큼 강력하며, 후자는 단순히 ¬(¬ P) {\displaystyle \neg(\neg P)}와 같으므로, 과제는 다음과 같습니다.정규성을 일반 클래스$$σ {\displaystyle$$\Sigma$\}$에 대한 문장으로 다시 변환합니다. 분리 공리는 집합과 클래스 사이의 교차를 허용하기 때문에 결국에는 작동합니다.정규성은 집합 내에서의 교집합에만 관계되며, 이는 과도 집합을 사용하여 평탄화될 수 있습니다.

그 증명은 규칙성 공리 인스턴스의 조작에 의한 것입니다.

${\displaystyle s\neq \{\}\,\to \,\exists(x\ins).x\caps=\{\}$

for a particular subset ${\displaystyle s\subseteq \Sigma }$ of the class ${\displaystyle \Sigma }$. Observe that given a class ${\displaystyle \Sigma }$ and any transitive set ${\displaystyle t}$, one may define ${\displaystyle s=t\cap \Sigma }$ which has ${\displaystyle x\in s\to (x\in \Sigma \land x\subsete$$q$t)}$$및 ($x$$⊆$ ${\displaystyle t}$ ) $→$$$(x $∩$ s $=$ $x$ $∩$ $σ$ ) {\displaystyle (x\$subset$eq t)\to (x\cap s $=$ x\cap \Sigma )}. 이와 함께 {\displaystyle s} 집합은 정규 인스턴스의 끝에서 항상 클래스 $σ$ {\displaystyle \Sigma}로 대체될 수 있습니다.

나머지 목적은 선행문에서도 이를 대체한 문장을 구하는 것, 즉 $보다$ 일반적인${\displaystyle }$σ$$≠ { } ${\displaystyle$\neq$$\{\}}을(를) 가정할 때 원칙 홀드를 설정하는 것입니다. 따라서 일부 z ∈ σ {\displaystyle z\in \Sigma}이(가$)$ ${\displaystyle \mathrm{있다고}}$ $가정$합니다.$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$을(를) 부분 $집합$으로 가지는$$$$ 일부 추이 집합 ${\displaystyle t}$의 존재와 함께.An intersection ${\displaystyle s_{z}}$ may be constructed as described and it also has ${\displaystyle (z\cap \Sigma )\subseteq s_{z}}$. Consider excluded middle for whether or not ${\displaystyle t}$ is disjoint from ${\displaystyle \Sigma }$, i.e. ${\displaystyle s_{z}=\{\}}$. If ${\displaystyle s_{z}}$ is empty,$또한$ z ∩ σ = { }${\$displaystyle z\cap \Sigma =\{\}, x = z {\displaystyle x = z} 자체가 항상 원칙을 충족합니다.그렇지 않으면 ${\displaystyle {}_{}}$으로${\displaystyle }$∃($x$ ∈ sz) ${\displaystyle$ \$existrystyle($x\in s_{z})}이$($가) 존재하며 논의된 대로 $sz {\$$displaystyle$s_{z}을(를) σ {\displaystyle \Sigma}(으)로$$하여 $문$을 조작할 수 있습니다.이 경우 x ∈ σ {\$displaystyle$ x\in s_z}뿐만 아니라 $x$ ∈s z$${\displaystyle x\in \sigma}라는 더 날카로운 정보를 전달하기 때문에 이전 섹션의 문장보다 약간 더 강력한 문장도 얻을 수 있습니다.

과도집합존재

위의 증명은 주어진 집합을 포함하는 일부 전이 집합의 존재를 가정합니다.이것은 과도 봉쇄 공리로 가정될 수 있습니다.

어떤 집합에 대해서도 멤버쉽과 관련하여 더 강력한 전이적 폐쇄의 존재는 일부 더 강력한 표준 공리로부터 유도될 수 있습니다.이것은 $집합$으로서$$ω {\displaystyle \omega}에 대한 무한대 공리, ω$${\displaystyle \omega}에 대한 $재귀$ 함수$,$$$ω {\displaystyle \omega}에 대한 $대체$ 공리$,$ 그리고 마지막으로 결합 공리가 필요합니다.즉, 멱집합의 공리를 제외하고 많은 표준 공리가 필요합니다.강한 분리가 없는 상황에서는 재귀적 함수 정의를 가능하게 하기 위해 적합한 함수 공간 원리를 채택해야 할 수도 있습니다.

엡실론과 자연수 유도 비교

표준 자연수의 타이티브 폰 노이만 모델$$ω${\$displaystyle$$\omega}는 첫 번째 무한 서수입니다.거기서 집합론의 $이진$ 멤버쉽 관계 " ∈ {\$displaystyle$\in}"은 자연수의엄격한 순서 "< ${\displaystyle$ <}"를 정확하게 모델링합니다.그러면, 집합 귀납법에서 유도되는 원리는 완전 귀납법입니다.

이 절에서 양화자는 1차 Peano 산술 ${\displaystyle \mathsf{PA}}$ ${\$또는 Heyting 산술 ${\displaystyle \mathsf{HA}}$ ${\$의 도메인 범위로 이해됩니다.$$서명에는 상수 기호 "$$ ${\displaystyle 0},$ 후속 함수 기호 "$$ ${\displaystyle$ S$\},$ 추가 및 다중화 함수 기호 "$$+ ${\displaystyle +}$"$resp$ " ∗ ${\$displaystyle *}이(가) 포함됩니다. 이와 함께 자연은 반올림을 형성하며, 반올림은 항상 표준 비 엄격 사전 순서$$" ≤ ${\displaystyle$\leq }과(와) 함께 제공됩니다.", $$그리고 무굴절적인<{\$displaystyle <}>$은 다음과 같이 정의될 수 있습니다.마찬가지로 이진 순서 관계 ${\displaystyle k<n}$도 ∃ ${\displaystyle m}$.${\displaystyle k}$ + $Sm$= n ${\$displaystyle \ exists m.k + Sm=n}으로 정의할 수 있습니다.

임의의 $술어{\displaystyle }$Q {\$displaystyle$Q}에 대해 전체 유도 원리가 읽힙니다$.$

${\displaystyle \for all n.{\Big(}{\big(})\모두에 대하여(k<n).Q(k){\big )}\,\to \,Q(n){\Big )}\,\to \,\to \,\모든 m.Q(m)}$

(∀ ( < .$Q$( k ) ↔ ( ∀ ( k < n ) . Q ( k ) ∧ Q ( n ) {\big (})\forall (k < Sn ) .$Q(k){\big )}\,\,\좌측 오른쪽 화살표 \,\,{\big (})\모두(k<n)입니다.$$Q(k){\big )}\land Q(n$ 원리는 수학적 귀납법 스키마의 표준 형태로 이미 암시되어 있습니다.후자는 결정 가능한 순서 관계 ${\displaystyle$ 로 표현되는 것이 아니라 원시 기호,

${\displaystyle {\Big (})\phi (0)\,\land \,\for all n.{\big (}\phi (n)\,\to \,\phi (Sn){\big )}{,\to \,\모든 m에 대하여.\phi(m)}$

서명 기호를 추상화하면 집합 귀납법에 가까운 정리를 증명할 수 있습니다.새 술어 $Q{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {(}_{}n)}$ ${\displaystyle Q_{\mathrm {-1}}(n$)}(n)을$($${\displaystyle n}$ = ${\displaystyle 0)}$∨ ∃$p$. ($Sp$ = n ∧ Q ( p ) {\displaystyle (n = 0)\lor \displaystyle p.${\big (}Sp=$n\land $Q(p){\big )},$설계상 0을 거의 유지하지 않습니다.집합 귀납법의 아래쪽 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$와 마찬가지로, $함의$ Q -${\displaystyle 1_{}}$( 0 )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{Q}}$( 0 ) ${\displaystyle Q_{\mathrm {-1} }(0)\,\to \,Q(0)}$는 단지 Q ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle Q(0)}$와 같습니다$.$ 귀납법을 사용하면,${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$은(는) 모든$n개$의 {\$displaystyle$ n$}$이(가) 0이거나 $n$ = ${\displaystyle \mathrm{Sp}}$ ${\$displays${\displaystyle \mathsf{t}}$yle n=Sp}인 계산 가능한 고유한 이전 $p${\$displaystyle p}$을(를) 가지고 있음을 증명합니다.This may be used to establish ${\displaystyle Q(n)\leftrightarrow Q_{\mathrm {-1} }(Sn)}$. When ${\displaystyle n}$ is the successor of ${\displaystyle n-1}$, then ${\displaystyle Q_{\mathrm {-1} }(n)}$ expresses ${\displaystyle Q(n-1)}$. By case analysis, one obtains

${\displaystyle \for all n.{\big (}Q_{\mathrm {-1}}(n)\,\to \,Q(n){\big )}\,\to \,\to \,모든 m.Q(m)}$

고전 동치

위에 언급된 고전적인 원리들을 사용하면, 위의 것들은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle \forall m.Q(m)\,\lor \,\exist n 입니다.{\big (})\neg Q(n)\,\land \,\forall (k<n).Q(k){\big}}$

술어 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Q$}$에 대해 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Q$}$이$($가) 모든 숫자에 대해$$ 보류되거나, $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$이(가) 모든 이전 숫자에 대해 보류됨에도$$ 불구하고 $Q{\displaystyle }$ ${\$displaystyle Q$}$이(가) 보류되지 않는$$ 자연수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 있음을 나타냅니다.

∀(k<) $대신$ . Q ( k ) {\displaystyle \forall (k < n ).$Q(k$ $Q{\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$1 ${\displaystyle {(}_{}n)}$ ${\displaystyle Q_{\mathrm {-1}}(n)}$을(를) 사용하여$$ 관련 문을 얻을 수도 있습니다.이는 자연수의 속성에 대한 반례를 배제하는 작업을 제한합니다.아래쪽 케이스 $Q{\displaystyle }$(${\displaystyle 0)}$ ${\displaystyle Q(0)}$이(가) 유효하고 $n개$의 ${\displaystyle n}$에 대해$$$Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ 속성이 항상 ${\displaystyle \mathrm{Sn}}$ ${\displaystyle Sn}($으$$)로 전달된다는 것을 증명할 수 있는 경우$,$ 이는 이미 실패 케이스를 제외합니다.또한 고장 사례가 존재하는 경우 최소 개수 원리를 사용하여 이러한 고장 사례의 존재를 증명할 수도 있습니다.

최소수 원칙

집합 이론의 경우와 같이, 부정된 술어에 대한 귀납법을 고려하고, 그 비유를 취할 수 있습니다.몇 가지 고전적인 논리적 동치를 사용한 후 조건부 존재 주장을 얻습니다.

Let ${\displaystyle \Theta }$ denote the set of natural numbers ${\displaystyle \{n\in \omega \mid T(n)\}}$ validating a property ${\displaystyle T}$. In the Neumann model, a natural number ${\displaystyle n}$ is extensionally equal to ${\displaystyle \{k\mid k<n\}}$,$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$보다 작은 수의 집합완전한 귀납법에서 얻은 최소수 원리는 집합으로 표현되며,

${\displaystyle \Theta \neq \{\}\,\to \,\neg \neg \exists(n\in \Theta).n\cap \Theta =\{\}$

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 유효성을 검사하는 숫자가 있으면$,$ < ${\displaystyle$ n$}$의 유효성을 검사하는 숫자가 k < n ${\displaystyle k$< n$}$이(가) 없을 정도로 최소한의 숫자 $n$이 있습니다.이것은 규칙성과 비교되어야 합니다.

결정 가능한 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 및$$ $T{\displaystyle (m)}$가$${\$displaystyle T(m)}$인 $주어진{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$에 대해 모든 < m ${\displaystyle k<m}$을(를) 테스트할 수 있습니다$.$또한 산술에서 마코프 원리를 채택하면 일반적으로$$ 결정 가능한 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에 대한 이중 네거티브를 제거할 수 있습니다.

참고 항목

• 구성집합론
• 수학적 귀납법
• 근거 없는 집합론
• 트랜스피니트 유도
• 근거있는 귀납법