사양의 공리 스키마

많은 대중적인 버전의 공리 집합 이론에서, 분리, 부분집합 공리 체계 또는 제한된 이해의 공리 스키마라고도 알려진 명세의 공리 스키마는 공리 스키마다. 본질적으로, 그것은 집합의 모든 정의 가능한 하위 클래스가 집합이라고 말한다.

일부 수학자들은 이것을 이해의 공리 스키마라고 부르지만, 다른 수학자들은 이 용어를 아래에서 논한 제한 없는 이해를 위해 사용한다.

이해를 제한하는 것이 러셀의 역설을 피했기 때문에, 제르멜로, 프라운켈, 괴델을 포함한 몇몇 수학자들은 그것을 세트 이론의 가장 중요한 공리로 여겼다.^[1]

성명서

x, w, ..., w_n, w₁, A 중에서 자유변수와 함께 집합이론의 언어로 스키마의 인스턴스 1개가 포함되어 있다. 그래서 B는 φ에서 자유롭지 않다. 집합 이론의 공식 언어에서 공리 스키마는 다음과 같다.

${\displaystyle \forall w_1},\ldots, w_{n}\,\exists B\,\forall x\, (x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots,{n}A))))])}$

또는 말로 다음과 같다.

어떤 세트 A를 주었을 때, 어떤 세트 x를 주었을 때, 만약 x가 A의 멤버이고 φ이 x를 주었을 때에만 x가 B의 멤버인 세트 B(A의 서브셋)가 있다.

이러한 모든 술어 φ에는 하나의 공리가 있으므로, 이는 공리 스키마라는 점에 유의한다.

이 공리 스키마를 이해하려면 집합 B가 A의 부분 집합이어야 한다는 점에 유의하십시오. 따라서 공리 스키마가 실제로 말하는 것은 A와 술어인 P를 주어진다면 P를 만족시키는 A의 멤버인 A의 서브셋 B를 정확히 찾을 수 있다는 것이다. 확장성의 공리에 의해 이 집합은 독특하다. 우리는 보통 세트빌더 표기법을 {C p A : P(C)}로 사용하여 이 세트를 나타낸다. 따라서 공리의 본질은 다음과 같다.

술어에 의해 정의되는 집합의 모든 하위 클래스는 그 자체로 집합이다.

명세의 공리 스키마는 통상적인 세트 이론 ZFC와 관련된 자명 세트 이론의 시스템의 특징이지만 대체 세트 이론의 근본적으로 다른 시스템에서는 대개 나타나지 않는다. 예를 들어, 뉴 파운데이션과 포지티브 세트 이론은 순진한 세트 이론의 이해에 대한 공리의 서로 다른 제한을 사용한다. Vopenka의 대체 세트 이론은 semisets라고 불리는 적절한 세트의 하위 클래스를 허용하는 특정한 요점을 만든다. ZFC와 관련된 시스템에서도, 이 체계는 요소들이 있는 Kripke-Platek 집합 이론에서와 같이 경계 정량자가 있는 공식으로 제한되는 경우가 있다.

대체 공리 스키마와의 관계

분리의 공리 스키마는 대체의 공리 스키마에서 거의 파생될 수 있다.

먼저 다음 공리 스키마를 호출하십시오.

$(C\in B\iff \exists D\, [D\in A\land C=F(D)])}$

기호 A, B, C 또는 D를 사용하지 않는 한 변수의 기능 술어 F에 대해. 명세 공리에 대한 적절한 술어인 P에 따라, 지도화 F by F(D) = P(D)가 참이면 D, F(D) = E(D)가 거짓이면 F(D) = E를 정의한다. 여기서 E는 P(E)가 참인 A의 어느 구성원이다. 그 다음 교체 공리에 의해 보장된 세트 B는 정확히 명세 공리에 필요한 세트 B이다. 유일한 문제는 그러한 E가 존재하지 않는 것이다. 그러나 이 경우 분리의 공리에 필요한 집합 B는 빈 집합이므로, 이격의 공리는 빈 집합의 공리와 함께 교체의 공리에서 따르게 된다.

이러한 이유로, 규격의 공리 스키마는 흔히 현대적인 제르멜로-프렌켈 공리의 리스트에서 누락된다. 그러나 이는 역사적 고려사항과 다음 절에서 볼 수 있는 바와 같이 집합 이론의 대안적 공리화와의 비교를 위해서도 여전히 중요하다.

무제한 이해

제한되지 않은 이해의 공리 스키마는 다음과 같이 읽는다.

${\displaystyle \forall w_1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi(x,w_{1},\ldots,w_{n})}}}$

즉,

φ라는 술어를 만족시키는 대상들을 정확하게 멤버로 하는 B세트가 존재한다.

이 세트 B는 다시 고유하며, 보통 {x : φ(x, w₁, ..., w)}(으_n)로 표시된다.

이 공리 스키마는 엄격한 공리화가 채택되기 전인 순진한 집합론 초기에는 암묵적으로 사용되었다. 불행하게도 φ(x)를 ¬(x ∈ x)(즉, x를 설정한 속성은 그 자체의 구성원이 아니다)로 삼음으로써 러셀의 역설로 직결된다. 그러므로 집합 이론의 유용한 공리화는 무제한 이해를 사용할 수 없다. 러셀의 역설의 증거가 직관적으로 타당하기 때문에 고전적 논리에서 직관적 논리로 넘어가는 것은 도움이 되지 않는다.

명세의 공리 스키마만을 받아들인 것은 자명 집합론의 시작이었다. 그 후 대부분의 다른 Zermelo-Fraenkel 공리(확장성의 공리, 규칙성의 공리, 또는 선택의 공리는 아님)는 이해의 공리 스키마를 규격의 공리 스키마로 변경함으로써 잃어버린 것의 일부를 보충하는 데 필요하게 되었다 – 이러한 공리들은 각각 특정 집합이 존재한다고 말하고, 그 집합을 정의한다. 구성원이 만족하도록 술어를 제공함으로써, 즉 이해의 공리 스키마의 특별한 경우다.

또한 뉴 파운데이션(아래 참조)의 층화 공식만 적용하거나(접합, 분리, 정량화, 원자 공식만 있는 공식)만 양 집합 이론에 적용하는 등 어느 공식을 적용할 수 있는지 제한함으로써 스키마가 일관되지 않도록 막을 수도 있다. 그러나 양성 공식은 일반적으로 대부분의 이론이 할 수 있는 특정한 것들을 표현할 수 없다. 예를 들어, 양성 집합 이론에는 보완이나 상대적 보완이 없다.

NBG 클래스 이론에서

폰 노이만-베르네이-괴델 집합론, 집합과 계급이 구별된다. 클래스 C는 클래스 E에 속하는 경우에만 세트다. 이 이론에는, 읽는 정리 스키마가 있다.

$[\displaystyle \exists D\, ([C\in D]\iff [P(C)]\land \exists E\, (C\in E)])\...}$

그것은

"C가 P를 만족시키는 세트인 경우에만 C 등급이 D의 일원이 되는 D 등급이 있다."

조건 P의 정량자는 집합으로 제한된다.

이 정리 스키마 자체는 제한된 이해의 형태로서, C가 세트라는 요건 때문에 러셀의 역설은 피한다. 그런 다음 집합 자체에 대한 사양을 단일 공리로 작성할 수 있다.

$(\displaystyle \ for all A\, (\exist E\, [A\in E])\implies \exists B\, [\exist E\, (B\in E)]\land \all C\, (C\in A\land C\in D])\,\)\.$

그것은

"D 등급과 A 등급이 있는 경우, A 등급과 D 등급이 등급은 A등급과 D등급이다.

또는 훨씬 더 단순하게

"D등급과 A등급의 교차점은 그 자체로 B등급이다."

이 공리에서, 술어 P는 D 등급으로 대체되며, 이 등급은 정량화할 수 있다. 동일한 효과를 얻는 또 다른 간단한 공리는 다음과 같다.

$[\displaystyle \for all B\, ([exists E\, (A\in E)\land \for \c\, (C\inblies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E]\...}$

그것은

"세트의 서브클래스는 세트다."

고차 설정에서

술어를 정량화할 수 있는 타이핑된 언어에서 명세의 공리 스키마는 단순한 공리가 된다. 이는 앞의 절의 NBG 공리에서 사용된 술어와는 거의 동일한 수법으로, 술어는 그 후 정량화된 등급으로 대체되었다.

고차수 의미론을 가진 2차수 논리학 및 고차수 논리학에서 명세 공리는 논리적 타당성이므로 이론에 명시적으로 포함시킬 필요가 없다.

인콰인의 새 재단

W.V.O. Quine에 의해 개척된 세트 이론에 대한 접근방식에서, 주어진 술어에 대한 이해의 공리는 제한되지 않은 형태를 취하지만 스키마에 사용될 수 있는 술어는 그 자체로 제한된다. 술어(C는 C에 없다)는 금지되어 있는데, 같은 기호 C가 멤버십 기호의 양쪽에 나타나기 때문이다(따라서 서로 다른 "상대적 유형"). 따라서 러셀의 역설은 피한다. 그러나 허용되는 P(C = C)를 (C = C)로 취함으로써 우리는 모든 세트의 집합을 형성할 수 있다. 자세한 내용은 층화를 참조하십시오.

참조