외부자동형성군

수학에서 집단의 바깥쪽 오토모르프 그룹 $G$ 는 지수인 $Aut(G)$ / $Inn(G$ )이며 $,$ 여기서 $Aut(G)$ 는 $G$ 의 오토모르프 그룹이고 $Inn(G$ )은 내적 오토모르프로 구성된 하위그룹이다.외부 자동형성 그룹은 보통 $Out(G$ )으로 표시된다 $.$ $Out(G)$ 이 사소한 것이고 $G$ 가 사소한 중심을 가지고 있다면 $G$ 는 완전하다고 한다.

내면이 아닌 집단의 자동형성을 외부 자동형성이라고 한다.외부 자동화에 관한 $Inn(G)$ 의 코세트는 그 $다음 Out$ (G)의 요소들이다 $.$ 이것은 집단의 인수가 일반적으로 (이형) 부분군에 대한 것이 아니라는 사실을 보여주는 예다.만일 내적 오토모르피즘 집단이 사소한 것이라면(집단이 아벨리안일 때), 오토모피즘 집단과 외적 오토모르피즘 집단이 자연적으로 확인된다. 즉, 외적 오토모르피즘 집단이 그 집단에 작용한다.

예를 들어 교류 그룹인 $A$ 의_n 경우, 외부 자동형 집단은 일반적으로 순서 2의 집단이며, 예외는 다음과 같다.오래 되거나 더 정확하게"를 나타내는 클래스의(은)외부 자기 동형:내부 자기 동형의"의 대칭 군, Sn의 이상한 치환에 의해 하위 그룹, 활용 대한 고려하고 있는 외부 자기 동형 그러나 외부 자기 동형 접합에 대해 별다른 이상한 요소로 일치하지 않는다, 두고 이상한 요소로 모든 활용형들을 있equiv.에일짝수 요소에 의한 조합까지.

구조

슈레이어 추측에 따르면 $G$ 가 유한한 단순 집단일 때 $아웃(G)$ 은 항상 해결 가능한 집단이라고 주장한다.이 결과는 비록 더 간단한 증거가 알려져 있지 않지만, 현재는 유한한 단순 집단의 분류에 대한 귀결로서 참된 것으로 알려져 있다.

중앙의 이중으로

외부 자동형성군은 다음과 같은 의미에서 중심과 이중적이다: $G$ 의 원소에 의한 결합은 자동형성으로, $지도$ : : $G$ → $오토(G$ )를 산출한다 $.$ 결합 맵의 커널이 중심인 반면, 코커넬은 외부 오토모피즘 그룹(그리고 이미지는 내부 오토모피즘 그룹)이다.이것은 정확한 순서에 의해 요약될 수 있다.

Z(G)

↪

G

\to\to

Aut(G)

↠

Out(G)

↠.

적용들

그룹의 외부 자동형성 그룹은 결합 계층에 작용하며, 따라서 문자 표에 작용한다.문자 표의 세부 정보: 외부 자동화를 참조하십시오.

표면 위상

딘-닐슨 정리(Dehn-Nielsen 정리)에 의해 제공되는 연결이 있기 때문에 표면의 위상에서 외부 자동형 집단은 중요하다: 표면의 확장된 매핑 클래스 집단은 그 기본 집단의 외부 자동형 집단이다.

유한군

모든 유한 단순 그룹의 외부 자동형 집단에 대해서는 유한 단순 집단의 목록을 참조한다.산발적으로 단순한 그룹과 교대 그룹(교대 그룹, $A 6$ ; 아래 참조)은 모두 순서가 1 또는 2인 외부 자동형 그룹을 가진다.Lie형 유한단순군 외부자동화군은 "대칭자동화"군 $(D (q n$ , 순서 4를 제외한 주기), "장자동화"군(항상 주기), 그리고 "그래프 자동화"군( $D 4 (q,$ 3점 대칭군일 경우 순서 1 또는 2)군(주문 1)의 확장이다.이러한 확장은 교류 그룹 $A$ 의₆ 사례에서 알 수 있듯이 항상 반간접적인 제품은 아니다. 이러한 현상이 발생하는 정확한 기준은 2003년에 제시되었다.^[1]

그룹	매개변수	$아웃(G)$	$아웃(G)$
$Z$		$C 2$	$2$ : 아이덴티티와 외형 자동형 $x$ ↦ $-x$
$C n$	$n > 2$	$(NOW/NOW) \times$	$φ (n)$ = $n\prod _{p\|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$ $n\prod _{p\|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$ $n\prod _{p\|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$ n $n\prod _{p\|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$ ( 1 $n\prod _{p\|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$ - $n\prod _{p\|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$ $n\prod _{p\|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$ ) ${\$ 1}{ $p}}\right$ $//Nℤ$ 링에서 반전성 요소에 의한 곱셈에 해당하는 것 $.$
$Z p n$	$p$ p prime, n > 1	$GL n (p)$	$(p n - 1)(p n - p)(p n - p 2)...(p n - p n -1)$
$S n$	$n \neq 6$	$C 1$	$1$
$S 6$		$C 2$ (아래 참조)	$2$
$A을 n$	$n \neq 6$	$C 2$	$2$
$A을 6$		$C 22$ × C (아래 참조)	$4$
$PSL 2 (p)$	$p > 3$ prime	$C 2$	$2$
$PSL 2 (2 n)$	$n > 1$	$C n$	$n$
$PSL 3 (4) = M 21$		$디흐 6$	$12$
$M n$	$n \in {11, 23, 24}$	$C 1$	$1$
$M n$	$n \in {12, 22}$	$C 2$	$2$
$Co n$	$n \in {1, 2, 3}$	$C 1$	$1$

^{[필요하다]}

대칭 및 교대 그룹

유한단순집단의 일부 무한가족에서 유한단순집단의 외부자동화 집단은 거의 언제나 가족의 모든 요소에 작용하는 균일한 공식에 의해 주어질 수 있다.이에 대한 한 가지 예외가 있는데,^[2] 교류 그룹 $A$ 는₆ 다른 단순 교대 그룹과 마찬가지로 2가 아니라 4의 외부 자동 형태 그룹을 가지고 있다(이상한 순열에 의한 결합으로 주어짐).동등하게 대칭 그룹 $S$ 는₆ 비종교적 외부 자동형 그룹을 가진 유일한 대칭 그룹이다.

{\begin{aligned}n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})&=\mathrm {C} _{1}\\n\geq 3,\ n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})&=\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\end{aligned}}

$참고$ 로G = $A 6$ = $PSL(2, 9)$ 의 경우 순서 1 $1 G$ ⟶ 자동 $(G)$ ⟶ $Out(G) 1$ 1은 분할되지 않는다.유사한 결과가 $PSL(2,$ $q 2$ ), $q$ 이상에 대해 유지된다.

환원 대수군

Dynkin 도표

D

의₄ 대칭은 3차성에서의

Spin(8)

의 외부 자동화에 해당한다.

$이제$ G를 대수적으로 닫힌 분야 위에 연결된 환원군이 되게 하자.그러면 어떤 두 개의 보렐 부분군은 내부 자동형성에 의해 결합되기 때문에 외부 자동형을 연구하기 위해서는 주어진 보렐 부분군을 고정하는 자동형을 고려하는 것으로 충분하다.보렐 하위그룹과 연관된 것은 단순한 뿌리의 집합이며, 외부 자동형성은 연관된 다인킨 도표의 구조를 보존하면서 그것들을 허용할 수 있다.이러한 방법으로 $G$ 의 Dynkin 다이어그램의 자동형성 그룹을 $Out(G$ )의 부분군으로 식별할 수 있다 $.$

$D$ 는₄ 매우 대칭적인 Dynkin 도표를 가지고 있는데, 이것은 $스핀(8$ ),즉 $Out(Spin$ (8) = $S$ 의₃ 큰 외부 자동형 집단을 산출한다. 이것을 삼차성이라고 한다.

복잡하고 진짜 심플한 리알헤브라스

Dynkin 도표의 대칭으로서 외형 자동화를 선행 해석하는 것은, 복잡하거나 실제적인 단순한 Lie 대수학인 $경우$ , 자동형 그룹 오토 $(Aut$ )는 $Inn($ inn)과 $Out(𝔤$ )의 반간접적인 제품 $,$ 즉 짧은 정확한 시퀀스라는 일반적인 사실에서 따온 것이다.

1 ⟶ Inn(𝔤) ⟶ Aut(𝔤) ⟶ Out(𝔤) ⟶ 1

분열. 복잡한 단순 사례에서 이것은 고전적인 결과인 반면,^[3] 진짜 단순한 리알헤브라의 경우, 이 사실은 2010년까지만 해도 증명되었다.^[4]

워드플레이

외부 자동형성이라는 용어는 단어 놀이에 자신을 빌려주는데, 외부 자동형성이라는 용어는 때때로 외부 자동형성에 사용되기도 하며, $아웃(F n)$ 이 작용하는 특정한 기하학적 구조를 외부공간이라고 한다.

참고 항목

참조

^ A. 루치니, F.메네가초, M. 모리기(2003) "자동화 그룹에서 유한한 단순 집단에 대한 보완의 존재에 대하여" 일리노이 J. 수학 47, 395–418.
^ ATLAS 페이지 16세
^ (Fulton & Harris 1991, 제안 D.40) harv 오류: 대상 없음: CITREFFultonHarris1991(도움말)
^ JLT20035

외부 링크

유한그룹표현의 ATLAS-V3에는 열거된 각 그룹의 $아웃(G)$ 순서를 포함해 다양한 종류의 유한그룹(특히 산발적인 단순그룹)에 대한 정보가 많이 포함되어 있다.

[1] A. 루치니, F.메네가초, M. 모리기(2003) "자동화 그룹에서 유한한 단순 집단에 대한 보완의 존재에 대하여" 일리노이 J. 수학 47, 395–418.

[2] ATLAS 페이지 16세

[3] (Fulton & Harris 1991, 제안 D.40) harv 오류: 대상 없음: CITREFFultonHarris1991(도움말)

[JOLT-4] JLT20035

[1]

[2]

[3]

[4]

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