데카르트 곱

수학, 특히 집합론에서, 두 집합 A와 B의 데카르트 곱은 A × B로 표기되며, a는 A에 있고 b는 ^[1]B에 있는 모든 순서 쌍들의 집합이다.set-builder 표기법에서는 다음과 같습니다.

$(*displaystyle A\times B={(a,b)\mid A\in A\mbox{ 및 }}\b\in B\)}$^[2][3]

테이블은 행 집합과 열 집합의 데카르트 곱을 취하여 생성할 수 있습니다.데카르트 곱 행 × 열을 사용하는 경우 표의 셀에는 양식의 순서 쌍(행 값, 열 값)^[4]이 포함됩니다.

n개의 집합의 데카르트 곱(n-fold decarts 곱이라고도 함)을 비슷하게 정의할 수 있으며, n개의 차원 배열로 나타낼 수 있으며, 여기서 각 요소는 n개의 튜플이다.순서쌍은 2-태플 또는 커플입니다.보다 일반적으로 색인 집합군의 데카르트 곱을 정의할 수 있다.

데카르트 산물의 이름은 르네 데카르트의 ^[5]해석 기하학의 공식화가 직접적 산물의 관점에서 더욱 일반화된 개념을 낳았다.

예

카드 한 벌

예를 들면, 표준의 52 카드 덱이 있습니다.표준 카드 등급 {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2)은 13개 요소로 구성됩니다.카드 세트 {♥, ♦, ♣, ♣}은(는) 4개 세트로 구성되어 있습니다.이러한 집합의 데카르트 곱은 52개의 순서쌍으로 구성된 52개의 요소 집합을 반환합니다. 52개의 가능한 모든 플레이 카드에 해당합니다.

순위 × 적합은 {(A, ♠), (A, ♦), (A, ♦), (K, ♠), …, (3, ♣), (2, ♥), (2, ♥), (2, ♥)} 형식의 집합을 반환합니다.

정장 × 순위는 {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), …, (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2) 형식의 집합을 반환합니다.

이 두 세트는 구별되고 심지어 분리된다.

2차원 좌표계

해석기하학의 데카르트 평면이 주요 역사적 예다.기하학적 도형을 수치적으로 표현하고 도형의 수치 표현에서 수치 정보를 추출하기 위해 르네 데카르트는 평면 내의 각 점에 그 좌표라고 불리는 실수의 쌍을 할당했다.일반적으로 이러한 쌍의 첫 번째 성분과 두 번째 성분을 각각 x 및 y 좌표라고 합니다(그림 참조).따라서 그러한 모든 쌍의 집합(즉, δ가 실수를 나타내는 데카르트 곱 δ× δ)은 ^{[citation needed]}평면의 모든 점 집합에 할당된다.

가장 일반적인 구현(세트 이론)

집합이론 원리에서 데카르트 곱의 공식 정의는 순서쌍의 정의에서 따른다.순서쌍의 가장 일반적인 정의는 (${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =}${ { ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$, {${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \}}$ $}$ {$display$ ($x$ , y ) = \ { \ $display$ ( x , y ) = \ { \ { x , y \$$} \$$} $\}{\displaystyle }$ 입니다.이 정의에서${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ,y}$ )$$\ $style ( x$ , y )\ style ( x , y$$)\ } \ of$$ )는${\displaystyle }P$의 ${\displaystyle \mathrm{요소}}$입니다.$laystyle$ X$\times$Y는$$ 이 세트의 서브셋입니다.$여기$서$$P {\$displaystyle {\mathcal$ {P$}}$는 전력 집합 연산자를 나타냅니다.따라서 ZFC에서 두 세트의 데카르트 곱의 존재는 페어링, 합집합, 전력 집합 및 사양의 공리에 따라 달라집니다.함수는 보통 관계의 특수한 경우로 정의되고 관계는 보통 데카르트 곱의 부분 집합으로 정의되기 때문에, 두 집합 데카르트 곱의 정의는 필연적으로 대부분의 다른 정의보다 앞선다.

비교환성 및 비관련성

A, B, C 및 D를 설정합니다.

데카르트 곱 A × B는 가환적이지 않다.

$(\displaystyle A\times B\neq B\times A,)$^[4]

다음 조건 중 적어도 하나가 ^[6]충족되지 않는 한 순서가 매겨진 쌍이 반전되기 때문입니다.

• A는 B와 같다.
• A 또는 B는 빈 세트입니다.

예를 들어 다음과 같습니다.

A = {1,2}, B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × = ∅

B × A = × × {1,2} = ∅

엄밀히 말하면, 데카르트 곱은 연관성이 없다(관련된 집합 중 하나가 비어 있지 않은 경우).

$(\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$

예를 들어 A = {1}이면, (A × A) × A = {(1, 1, 1)} { {(1, (1)}), = A × (A × A)이다.

교차로, 결합 및 하위 집합

데카르트 곱은 교차로에 관해 다음 특성을 만족한다(가운데 그림 참조).

${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$^[7]

대부분의 경우 교차로를 유니언으로 대체하면 위의 문장은 사실이 아닙니다(맨 오른쪽 그림 참조).

사실, 다음과 같은 것이 있습니다.

설정 차이에 대해서는, 다음의 아이덴티티도 있습니다.

다음은 다른 연산자와의 분배성을 나타내는 몇 가지 규칙입니다(맨 왼쪽 ^[6]그림 참조).

$(\displaystyle (A\times B)^{\completion }=\left (A^{\completion }\right)\cup \left (A^{\completion }\times B\right)\cup \left (A\times B^{\completion }\right)\completion }\right!$^[7]

$여기$서 A는$$A의 절대보수를 나타냅니다$.$

서브셋과 관련된 기타 속성은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\text{both}}A,B,neq\emptyset {\text},A,B, 서브셋 C, D, !,iff \!A\subseteq C{\text{ and }}}B\subseteq D.}$^[8]

카디널리티

세트의 카디널리티는 세트의 요소 수입니다.예를 들어, 다음의 2개의 세트를 정의합니다.A = {a, b} 및 B = {5, 6}입니다.세트 A와 세트 B는 모두 2개의 요소로 구성되어 있습니다.A × B로 작성된 데카르트 곱은 다음과 같은 요소를 가진 새로운 집합을 생성한다.

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

여기서 A의 각 요소는 B의 각 요소와 쌍을 이루며 각 쌍이 출력 세트의 하나의 요소를 구성합니다.결과 집합의 각 요소의 값 수는 데카르트 곱이 취해지는 집합의 수와 같습니다(이 경우 2).출력 세트의 카디널리티는 모든 입력 세트의 카디널리티 곱과 동일합니다.그것은,

A × B = A · B ^[4]。

이 경우 A × B = 4

유사하게

A × B × C = A · B · C

기타 등등.

A 또는 B 중 하나가 무한하고 다른 집합이 빈 집합이 아닌 경우 집합 A ×^[9] B는 무한입니다.

여러 세트의 데카르트 곱

n-아리 데카르트 곱

데카르트 곱은 집합 X, ..., X에_1n 걸쳐 n-ary 데카르트 곱으로 일반화될 수 있다.

$\displaystyle X_{1}\times X_{n}=\{(x_1},\ldots,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\{text{for every}\i}\in \in \{1,\ldots,n}\}\}$

n-tuppes의 경우.튜플을 중첩 순서 쌍으로 정의하면 (X₁ × × × X_n−1) × X로_n 식별할 수 있다. 만약 튜플이 {1, 2, …, n}의 함수로 정의된다면, 튜플의 i에서의 값이 튜플의 ih 원소가 되는 경우, 데카르트 곱 X₁×××X는_n 함수 집합이다.

$\displaystyle \{x:\{1,\ldots,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\x(i)\in X_{i}\\in {1,\ldots,n\}\.}$

n-아리아 데카르트 거듭제곱

집합 X의 데카르트 제곱은 데카르트 곱 X² = X × X이다. 예를 들어, 2차원 평면² R = R × R이다. 여기서 R은 모든 ^[1]점(x,y)의 집합이며, 여기서² x와 y는 실수이다(데카르트 좌표계 참조).

${\displaystyle X^{}}$ n$(\$ X$^{n$으로 $표시$된 집합 X의 n-ary 데카르트 거듭제곱은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X}_{n}_{(x_{1}\ldots,x_{n}\in X\text{for every}}\i\in X\in \{1,\texts\}\}\in \i}\in \i\in \{\{\}\}\\in \ {1,\}\\\\\\\cdots\cdots\}.}$

이것의 예는 R = R × R × R이며, R은³ 다시 실수의 집합이며,^[1] 보다 일반적으로 R이다ⁿ.

집합 X의 n-ary 데카르트 거듭제곱은 x로 설정된 n-원소의 함수 공간과 동형이다.특별한 경우로서 X의 0-아리의 데카르트곱은 코드메인 X의 빈 함수에 대응하는 싱글톤 집합으로 간주할 수 있다.

무한 데카르트 제품

임의의(아마도 무한) 색인 집합군의 데카르트 곱을 정의할 수 있습니다.I가 인덱스 세트이고${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {ii}_{}}$I {\$displaystyle$\{$X_{i}\}_{$i\$in$I}}가$$ 인덱스 세트 패밀리인 경우 {$X$ i ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {ii}_{}}$I {\$displaystyle$\{$X_i}\{in}$ I$}$에 있는 세트의 데카르트 곱은 정의됩니다.

${\displaystyle \in I}X_{i}=\left\{\left.f:I \ bigcup _ { i \ in I } X _ { i } \ right \ ( \ for all i ) ( f ( i ) \ in X _ { i } \ right \ } 。$

즉, 특정 지수 i에서 함수의 값이 X의 요소가_i 되도록 지수 집합에 정의된 모든 함수의 집합이다.각 X가_i 비어 있지 않더라도, 그러한 모든 곱이 비어 있지 않다는 진술과 동등한 선택 공리가 가정되지 않는다면 데카르트 곱은 비어 있을 수 있다.

I의 각 j에 대해 함수는

$\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j}$

${\displaystyle {\pi }_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle f}$ ) $=$ (${\displaystyle j}$) { $displaystyle \pi$ _${j}(f$)=$f(j)}$로 정의된 값을 j번째 투영 맵이라고 합니다.

데카르트 검정력은 모든 요인_i X가 동일한 집합 X인 데카르트 곱입니다.이 경우,

$\displaystyle _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X}$

는 I부터 X까지의 모든 함수의 집합으로, 자주 X로 표시됩니다^I.이 경우는 기본 지수 연구에서 중요하다.중요한 특수한 경우는 인덱스 집합이 자연수인$$N ${\displaystyle \mathbb${N$\}$인 경우입니다. 이 데카르트 곱은 대응하는_i 집합 X에 ith 항이 있는 모든 무한 시퀀스의 집합입니다.예를 들어, 의 각 요소는

$\displaystyle _{n=1}^{\infty}\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }$

는 셀 수 있을 만큼 무한의 실수 성분을 가진 벡터로 시각화할 수 있다.${\displaystyle {}^{}}$ 세트는 자주 R ${\$ {\$displaystyle \mathbb {R}$^{\$mathbb$ {$R$$\}\}$ 또는 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ N$${\$displaystyle \mathbb${R}$^{\mathbb {N}$ 로 $표시$됩니다.

기타 양식

생략형

여러 집합을 함께 곱하는 경우(예₁: X, X₂, X₃ 등), 일부 저자는^[10] 데카르트 곱을 단순 ×X로_i 축약하는 방법을 선택한다.

함수의 데카르트 곱

f가 X에서 A까지의 함수이고 g가 Y에서 B까지의 함수라면, 그들의 데카르트 곱 f × g는 X × Y에서 A × B까지의 함수이다.

$\displaystyle(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}$

이것은 튜플 및 무한 함수 집합으로 확장될 수 있습니다.이것은 집합으로 간주되는 함수의 표준 데카르트 곱과는 다릅니다.

실린더

$(디스플레이 스타일$ A$)$를 세트$,$ B$(디스플레이$ 스타일$$B$)$를 세트라고 합니다.그러면 A$(디스플레이 스타일$ A$)$에 $대한{\displaystyle }$ B$(디스플레이$ 스타일 B)의 실린더는 B$(디스플레이 스타일$ B$)$와 A$(디스플레이 스타일$ A$)$의 데카르트 $제품$입니다.

$일반적으로$A$(디스플레이$ 스타일 A)는 콘텍스트의 세계라고 간주되어 방치됩니다.예를 들어 B$(\displaystyle$ B$)$가 $자연수{\displaystyle \mathbb{}}$N(\$displaystyle \mathbb {N$의 서브셋인 $경우{\displaystyle }$$$B(\$displaystyle$ B$\times \mathbb {N$의 실린더는${\displaystyle }$B ×$$(\$displaystyle$ B\times \mathbb {N$})$입니다.

집합론을 벗어난 정의

범주론

데카르트 곱은 전통적으로 집합에 적용되지만 범주 이론은 수학적 구조의 곱에 대한 보다 일반적인 해석을 제공합니다.이것은 섬유제품의 일반화인 범주 이론의 데카르트 제곱의 개념과 관련이 있지만 구별된다.

지수화는 데카르트 곱의 오른쪽 인접이다. 따라서 데카르트 곱(및 최종 객체)을 가진 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.

그래프 이론

그래프 이론에서, 두 그래프 G와 H의 데카르트 곱은 G × H로 나타나는 그래프이다. 정점 집합은 (정점) 데카르트 곱 V(G) × V(H)이고, 두 정점 (u,v)와 (u,v)가 G × H에 인접하고 있는 경우, 그리고 만약 u=가 V와 인접해 있는 경우에만 그러하다.그래프의 데카르트 곱은 범주 이론의 의미에서의 곱이 아니다.대신, 범주형 곱은 그래프의 텐서 곱으로 알려져 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 이항 관계
• 문자열 집합의 연결
• 공동 제작
• 크로스 프로덕트
• 그룹의 직접 제품
• 빈 제품
• 유클리드 공간
• 지수 객체
• 종족 관계
• 가입(SQL) » 크로스 조인
• 전체 순서 집합의 데카르트 곱에 대한 주문
• 멱집합 공리(데카르트 곱의 존재를 증명하기 위해)
• 제품(카테고리 이론)
• 제품 토폴로지
• 제품 종류
• 울트라프로덕트

레퍼런스

외부 링크

• ProvenMath의 데카르트 곱
• "Direct product", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 교육 포털 아카데미 데카르트 제품 찾는 방법