테일러 정리

지수 함수 ${\textstyle y=e^{x}}$ = ${\textstyle y=e^{x}}$ {\textstyle y = e^{x}}(빨간색) 및 원점을 중심으로 4도(dashed 녹색)의 해당 테일러 다항식.

미적분학에서 테일러의 정리는 ${\textstyle k}$ 점을 중심으로 k {\ $textstyle k}$ 배 ${\textstyle k}$ 미분 가능 함수의 근사치를 ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle$ k $}차$ 테일러 ${\textstyle k}$ 다항식이라고 합니다. 매끄러운 함수의 경우, 테일러 다항식은 함수의 테일러 급수의 ${\textstyle k}$ k ${\textstyle$ k $}$ 차수에서의 절단입니다. 1차 테일러 다항식은 함수의 선형 근사치이며, 2차 테일러 다항식은 흔히 2차 근사치라고 합니다.^[1] 테일러의 정리에는 여러 가지 버전이 있으며, 어떤 버전은 테일러 다항식에 의한 함수의 근사 오차를 명시적으로 추정합니다.

테일러의 정리는 수학자 브룩 테일러의 이름을 따서 지어졌는데, 그는 1715년에 그것의 버전을 발표했지만,^[2] 그 이전 버전의 결과는 1671년에 제임스 그레고리에 의해 이미 언급되었습니다.^[3]

테일러의 정리는 미적분학 입문과정에서 가르치고 있으며, 수학적 분석의 중심적인 기초 도구 중 하나입니다. 지수 함수와 삼각 함수와 같은 많은 초월 함수의 값을 정확하게 계산하기 위해 간단한 산술 공식을 제공합니다. 분석 기능 연구의 출발점이며, 수치 해석과 수리 물리학뿐만 아니라 수학의 다양한 영역에서 기본적인 역할을 합니다. 테일러의 정리는 다변량 및 벡터 값 함수로도 일반화됩니다.

동기

실수 함수 ${\textstyle f(x)}$ ( ${\textstyle f(x)}$ ) ${\textstyle$ f $(x)}$ 가 점 ${\textstyle x=a}$ = a ${\$ textstyle $x$ = a}에서 미분 가능하다면, 이 점 근처에서 선형 근사치를 갖습니다. 이는 다음과 같은 함수₁ h(x)가 존재함을 의미합니다.

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\quad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.

여기서

P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)

는 점 a 근처의 x에 ${\textstyle f(x)}$ f ${\textstyle f(x)}$ ( ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle$ f $($ ${\textstyle y=f(x)}$ $)}$ 의 선형 근사치이며, 그래프 y = P ${\textstyle y=P_{1}(x)}$ ( ${\textstyle y=P_{1}(x)}$ ) ${\textstyle$ y = P_{1}( $x)}$ 는 x = a에서 그래프 y = f (x) {\textstyle y = f(x)}의 접선입니다. 근사치의 오차는 다음과 같습니다.

R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).

x가 a로 갈수록 이 오류는 $f'(a)(x{-}a)$ $f'(a)(x{-}a)$ ) $f'(a)(x{-}a)$ (x $f'(a)(x{-}a)$ - a $f'(a)(x{-}a)$ ) ${\displaystyle$ f $'(a)(x{-}a)}$ 보다 훨씬 빨리 0으로 이동하므로 $f'(a)(x{-}a)$ $f(x)\approx P_{1}(x)$ ( $f(x)\approx P_{1}(x)$ ) ≈ $f(x)\approx P_{1}(x)$ P 1 ( $x$ ) ${\displaystyle$ f( $x)\approx$ P_{1}(x)}가 유용한 근사값이 됩니다.

${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle f(x)}$ 에 대한 더 나은 근사를 위해 ${\textstyle f(x)}$ 일차 함수 대신 이차 다항식을 맞출 수 있습니다.

P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.

${\textstyle f(x)}$ 다항식은 x = ${\$ textstyle x=a}에서 f ${\textstyle f(x)}$ ( ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle f(x)}$ 의 도함수 하나를 단순히 일치시키는 것이 아니라 미분할 때 분명히 알 수 있듯이 첫 번째 도함수와 두 번째 도함수가 같습니다.

${\textstyle x=a}$ 의 정리는 x = ${\$ textstyle x=a}의 충분히 작은 이웃에서 2차 근사가 선형 근사보다 더 정확하다는 것을 보장합니다. 구체적으로.

f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},\quad \lim _{x\to a}h_{2}(x)=0.

여기서 근사의 오차는

R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},

h $h_{2}$ ${\$ 의 제한 동작을 고려할 $h_{2}$ 때, x가 a로 이동함에 $(x-a)^{2}$ 따라 $(x-a)^{2}$ ( $(x-a)^{2}$ - $(x-a)^{2}$ ) $(x-a)^{2}$ ${\$ 보다 더 빨리 0이 됩니다.

${\textstyle f(x)={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$ = ${\textstyle f(x)={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$ + x $2$ {\textstyle f(x) = {\dfrac {1} {1+x^{2}의 근사 $}}}}$ 파란색) ${\textstyle k=1,\ldots ,16}$ k $=$ ${\textstyle k=1,\ldots ,16}$ 16 {\ $textstyle$ k $=$ 1,\ldots $,$ 16}의 테일러 다항식 ${\textstyle P_{k}}$ ${\textstyle P_{k}$ 에 의해 x $=$ 0 {\textstyle x $=$ 0}(빨간색) 및 x $=$ 1 {\textstyle x $=$ 1}(녹색)을 중심으로 합니다. 근사치는 ${\textstyle (1-{\sqrt {2}},1+{\sqrt {2}})}$ 각각 외부 $(-1,1)$ $1$ ${\displaystyle(-1,$ 1 $)}$ 및 ${\textstyle (1-{\sqrt {2}},1+{\sqrt {2}})}$ ( ${\textstyle (1-{\sqrt {2}},1+{\sqrt {2}})}$ ${\textstyle (1-{\sqrt {2}},1+{\sqrt {2}})}$ ${\textstyle (1-{\sqrt {2}},1+{\sqrt {2}})}$ + $)$ {\ $textstyle(1-{\sqrt {2}}, 1+{\sqrt {2}}}$ 에서 $(-1,1)$ 전혀 개선되지 않습니다.

마찬가지로, 우리는 더 높은 차수의 다항식을 사용하면 f에 대한 더 나은 근사치를 얻을 수 있습니다. 그러면 우리는 더 많은 도함수를 선택된 기저점에서 f와 일치시킬 수 있기 때문입니다.

일반적으로 함수를 k차 다항식으로 근사하는 오차는 $(x-a)^{k}$ x가 a로 갈수록 $(x-a)^{k}$ ( $(x-a)^{k}$ - a ) $(x-a)^{k}$ ${\$ 보다 훨씬 $(x-a)^{k}$ 0이 됩니다. 그러나 근사 다항식의 정도를 증가시킨다고 해서 근사 정확도가 증가하지 않는 함수도 있습니다. x = a에서 그러한 함수가 분석에 실패한다고 합니다. 이 시점에서 (locally이) 도함수에 의해 결정되지 않습니다.

테일러의 정리는 점근적 성질을 가지고 있습니다: k ${\textstyle$ k $}$ - 차수 ${\textstyle k}$ 다항식 P에 의한 ${\textstyle R_{k}}$ 에서 $오차$ R k {\textstyle ${\textstyle x\to a}$ ${k}$ 는 ${\textstyle x\to a}$ x → {\ $textstyle$ x $\to$ a $}$ 로서 $0$ 이 아닌 k {\textstyle $k}$ - 차수 다항식보다 더 빠르게 0이 되는 경향이 있다는 것만 알려줍니다 ${\textstyle x\to a}$ 확장 중심의 구체적인 이웃에서 오차가 얼마나 큰지는 알려주지 않지만, 이를 위해 f에 대한 몇 가지 추가적인 규칙성 가정 하에서 유효한 나머지 항(아래 주어진)에 대한 명시적인 공식이 있습니다. 이러한 테일러 정리의 향상된 버전은 일반적으로 확장 중심의 작은 이웃에서 근사 오차에 대한 균일한 추정치로 이어지지만, 함수 f가 분석적이라고 하더라도 너무 큰 이웃에 대한 추정치가 반드시 유지되는 것은 아닙니다. 이 경우 원래 함수의 신뢰할 수 있는 테일러 근사값을 가지려면 확장 중심이 다른 여러 테일러 다항식을 선택해야 할 수 있습니다(오른쪽 애니메이션 참조).

나머지 항을 사용할 수 있는 몇 가지 방법이 있습니다.

주어진 구간 (a – r, a + r)에서 ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle f(x)}$ ( ${\textstyle f(x)}$ ) ${\textstyle f(x)}$ 를 추정하는 k차 다항식 P_k(x)에 대한 오차를 추정합니다. (간격과 정도를 감안할 때 오차를 찾습니다.)
다항식 P_k(x)가 ${\textstyle f(x)}$ ( ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle f(x)}$ 에 ${\textstyle f(x)}$ 대하여 주어진 구간 (a - r, a + r)에서 주어진 오차 허용 오차 범위 내로 근사하는 최소 차수 k를 구하여라. (구간과 오차 허용 오차를 고려하면, 우리는 그 차수를 구할 수 있습니다.)
P_k(x)가 ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle$ f $(x)}$ 에 ${\textstyle f(x)}$ 대하여 주어진 오차 허용 범위 내에서 근사하는 최대 간격(a - r, a + r)을 구하여라. (정도와 오차 허용 범위를 고려하면, 우리는 그 간격을 얻는다.)

일 실변수에서의 테일러 정리

정리문

테일러 정리의 가장 기본적인 버전의 정확한 문장은 다음과 같습니다.

테일러의 정리 - k ≥ 1을 정수라고 하고, ∈ R인 지점에서 함수 f: R → R b k배 미분이 가능하도록 합니다. 그렇다면 다음과 같은 함수 h: R → R이 존재합니다.

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},

그리고.

\lim_{x\to}h_{k}(x)=0.

이것을 나머지의 페아노 형태라고 합니다.

테일러의 정리에 등장하는 ${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$ 은 k ${\$ - 차수 ${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$ 테일러 다항식입니다.

P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}

a 지점에서 함수 f의. 테일러 다항식(Taylor 다항식)은 다음과 같은 함수 h: R → $R$ 과 k ${\textstyle$ k} ${\textstyle k}$ 다항식이 존재할 때 고유한 "최적 적합" 다항식입니다.

f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,

그러면 p = P. 테일러 정리는 나머지 항의 점근적 행동을 설명합니다.

R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),

테일러 다항식으로 f를 근사할 때의 근사 오차입니다. little-o 표기법을 사용하면 테일러 정리의 문장은 다음과 같이 읽힙니다.

R_{k}(x)=o( x-a ^{k}),\quad x\to a.

나머지에 대한 명시적 공식

테일러 다항식의 나머지 항 R에_k 대한 몇 가지 정확한 공식이 있는 경우에 대한 더 강한 규칙성 가정 하에서 가장 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

나머지의 평균값 형식 — f : R → R bek + 열린 간격에서 1배 미분 가능하다고 가정합니다 $. f$ 는 {\ ${\textstyle x}$ a $}$ 와 x ${\textstyle x}$ {\ $textstyle$ x} 사이의 닫힌 간격에서 연속입니다 ${\textstyle x}$ 그리고나서

R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}

어떤 실수 ${\textstyle \xi _{L}}$ ξ L ${\textstyle$ \xi _{L}의 경우 ${\textstyle$ a $}$ 와 x ${\textstyle$ x} 사이입니다 $.$ 이것은 나머지의 라그랑주 형태입니다^[8].

유사하게,

R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{C})}{k!}}(x-\xi _{C})^{k}(x-a)

어떤 실수 ${\textstyle \xi _{C}}$ ξ C ${\textstyle$ \xi_{C}의 경우 ${\textstyle$ a $}$ 와 x ${\textstyle$ x} 사이에 $.$ 이것은 나머지의 코시 형태입니다^[9].

둘 다 다음 결과의 구체적인 경우로 생각할 수 있습니다. $p>0$ > 0 $p> 0$

R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{S})}{k!}}(x-\xi _{C})^{k+1-p}{\frac {(x-a)^{p}}{p}}

어떤

실수

{\textstyle \xi _{S}}

ξ S

{\textstyle \

xi_{S}의 경우,

{\textstyle

a

}

와 x

textstyle

x

}

{\textstyle a}

입니다. 이것은 나머지의 슐뢰밀치 형태(때로는 슐뢰밀치-로체라고도 함)입니다. 선택

{\textstyle p=k+1}

=

{\textstyle p=k+1}

+

{\textstyle p=k+1}

1 {\

textstyle

p = k + 1}은 라그랑주 형식이고 선택 p = 1 {\textstyle p = 1}은 코시 형식입니다.

테일러 정리의 이러한 개선은 일반적으로 평균값 정리를 사용하여 증명되며, 이때 이름이 붙여집니다. ${\textstyle k=0}$ k = ${\$ textstyle k = 0}일 때 이것이 바로 평균값 정리임을 유의하십시오. 다른 유사한 표현도 찾을 수 있습니다. 예를 들어, G(t)가 닫힌 구간에서 연속이고 ${\textstyle$ a $}$ 와 ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ 사이의 열린 구간에서 사라지지 않는 도함수로 미분 가능하다면 ${\textstyle x}$

R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}

${\textstyle$ $}$ 와 x ${\textstyle$ x} $사이$ 의 일부 숫자 ${\textstyle \xi }$ ξ ${\textstyle \$ xi}에 대해. 이 버전은 나머지의 라그랑주와 코시 형태를 특수한 경우로 다루며, 코시의 평균값 정리를 사용하여 아래에서 증명됩니다. $G(t)=(x-t)^{k+1}$ t) $G(t)=(x-t)^{k+1}$ = $G(t)=(x-t)^{k+1}$ ( $G(t)=(x-t)^{k+1}$ - t $G(t)=(x-t)^{k+1}$ ) k + 1 $display G(t$ ) = (x-t)^{k+1}}를 취하고, 코시 형태는 G( $G(t)=(x-t)^{k+1}$ ) = t - a {\display G(t) = t-a}를 취하여 구합니다.

나머지의 적분 형태에 대한 진술은 앞의 것보다 더 발전되어 있으며, 완전한 일반성을 위해서는 르베슈 적분 이론의 이해가 필요합니다. 그러나 (k + 1)차 도함수 off가 폐구간 [a,x]에서 연속인 경우 리만 적분의 의미에서도 성립합니다.

나머지의^[10] 적분 형식 — ${\textstyle a}$ ${\textstyle f^{(k)}}$ ( ${\textstyle f^{(k)}}$ ) {\ $textstyle$ f $^{(k)}$ ${\textstyle$ a $}$ 와 x ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ 의 ${\textstyle a}$ 닫힌 간격에서 절대 연속이라고 가정합니다 ${\textstyle f^{(k)}}$ ${\textstyle x}$ 그리고나서

R_{k}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.

${\textstyle a}$ 와 ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle$ x $}$ 사이의 닫힌 구간에서 절대적인 연속성^(k) f로 인해 ${\textstyle x}$ 도함수 f는^(k+1) L-함수로¹ 존재하며, 결과는 미적분학의 기본 정리와 부품별 적분을 사용한 공식 계산으로 증명될 수 있습니다.

나머지에 대한 견적

테일러 근사식에 나타나는 잔차항을 정확한 공식으로 추정하는 것보다 추정할 수 있는 것이 실제로 유용한 경우가 많습니다. a를 포함하는 구간 I에서 f가 (k + 1)배 연속 미분 가능하다고 가정합니다. 다음과 같은 실수 상수 q와 Q가 있다고 가정하자.

q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q

일년 내내 그러면 나머지 항은 부등식을^[11] 만족합니다.

q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},

x > a인 경우와 x < a인 경우 유사한 추정치입니다. 이것은 나머지의 라그랑주 형태의 단순한 결과입니다. 특히, 만약

f^{(k+1)}(x) \leq M

어떤 r > 0 {\display r > 0}인 구간 I = ( $a$ - $r,$ a + r)에서, 다음과 같이,

R_{k}(x) \leq M{\frac { x-a ^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}

for all x∈(a − r,a + r). 두 번째 부등식은 구간 (a - r, a + r)의 모든 x에 대해 균일하게 유지되기 때문에 균일한 추정치라고 합니다.

예

${\textstyle e^{x}}$ = 0 {\textstyle x = 0}(적색)을 중심으로 ${\textstyle k=1,\ldots ,7}$ 순서 ${\textstyle k=1,\ldots ,7}$ = ${\textstyle k=1,\ldots ,7}$ 7 ${\$ textstyle k = 1,\ldots, 7 $}$ 의 테일러 다항식 $P_{k}$ ${\textstyle$ e $^{x}}($ 파란색)에 의한 ${\textstyle e^{x}}$ {\textstyle $e^{$ x}(파란색)의 근사.

근사의 오차가 10 이하가 되도록 하면서 구간 [-1, 1] {\textstyle [-1, 1]에서 ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ ( ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ = x ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ {\ $textstyle$ f(x) = e^{x}}의 근사값을 구하고자 한다고 가정합니다. 이 예제에서 우리는 지수 함수의 다음과 같은 성질만 아는 척 합니다.

e^{0}=1,\qquad {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\qquad e^{x}>0,\qquad x\in \mathbb {R} .

(★)

이러한 속성으로부터 모든 k {\textstyle k}에 ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$ ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$ ( ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$ ( ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$ = x ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$ {\ $textstyle$ f $^{(k)}($ x) = e^{x}}, 특히 f (k) (0) = 1 {\textstyle f^{(k)}(0) = 1}이 됩니다. ${\textstyle 0}$ 0 ${\textstyle$ 0 $}$ 에서 ${\textstyle f}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle f}$ 의 k ${\textstyle k}$ 차 ${\textstyle k}$ 테일러 다항식과 ${\textstyle 0}$ 라그랑주 형태에서의 나머지 항은 다음과 같이 주어집니다.

P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1}

where ${\textstyle \xi }$ is some number between 0 and x. Since e^x is increasing by (★), we can simply use ${\textstyle e^{x}\leq 1}$ for ${\textstyle x\in [-1,0]}$ to estimate the remainder on the subinterval $[-1,0]$ . $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ 에서 나머지에 대한 상한을 얻으려면 $[0,1]$ 0 < ${\textstyle 0<\xi <x}$ ξ < $x {\$ $textstyle e^{\xi}<$ e^{ ${\textstyle 0<\xi <x}$ 에 대해 속성 ${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$ ξ < x {\ $textstyle$ 0<\xi <x}를 사용하여 추정합니다.

e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1

2차 테일러 전개를 사용합니다. 그런 다음 우리는 그것을 추론하기 위해^x 해결합니다.

e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1

단순히 분자를 최대화하고 분모를 최소화하는 것입니다. 이^x 추정치들을 종합해보면,

R_{k}(x) \leq {\frac {4 x ^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,

따라서 필요한 정밀도에 확실히 도달할 수 있습니다.

{\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \long left right 화살표 \quad k\geq 9.

${\textstyle 9!=362880}$ ! ${\textstyle 9!=362880}$ = ${\textstyle 9!=362880}$ $textstyle$ 9! = 362880} 및 $10!$ = 3628800 {\textstyle 10! $=$ 3628800 $}.)$ 결론적으로 테일러의 정리는 근사치로 이어집니다.

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad  R_{9}(x) <10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.

예를 들어, 이 근사식은 소수점 이하 5자리까지 수정하는 소수점 $e\approx 2.71828$ $e\approx 2.71828$ ≈ 2. $71828$ ${\displaystyle e\proxy$ 2.71828}을 제공합니다.

분석에 대한 관계

실해석함수의 테일러 전개

⊂ R을 열린 구간으로 지정합니다. 함수 f : I → R 은 수렴 멱급수에 의해 국소적으로 정의된 경우 실제 분석입니다. 이것은 모든 ∈에 대하여 어떤 r > 0이 존재하고 (a - r, a + r) ⊂ I와 같은 계수열 c가 R ∈임을 의미합니다.

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad  x-a <r.

일반적으로, 멱급수의 수렴 반지름은 코시-하다마드 공식으로부터 계산될 수 있습니다.

{\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty } c_{k} ^{\frac {1}{k}}.

이 결과는 기하급수와의 비교를 기반으로 하며, 같은 방법으로 a에 기초한 멱급수가 어떤 b ∈ R에 대하여 수렴할 경우, 닫힌 ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$ 에서 균일하게 수렴해야 ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$ 을 보여줍니다 [ ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$ ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$ r ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$ , ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$ + r b ] ${\textstyle [a$ - $r_{b},$ a + ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$ r_{b}}, 여기서 ${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$ ${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$ = $b$ - a {\textstyle r_{b} =\left\vert b-a\right\vert }입니다. 여기서는 멱급수의 수렴만을 고려하며, (a - R, a + R)이 정의역 I off를 넘어 확장되는 것이 좋습니다.

실수 해석 함수 fat의 테일러 다항식은 단순히 유한 절단입니다.

P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}

국소적으로 정의되는 멱급수와 그에 대응하는 나머지 항은 분석 함수에 의해 국소적으로 주어집니다.

R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad  x-a <r.

여기에 함수가 있습니다.

{\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{align}

또한 정의 멱급수는 원래 급수와 같은 수렴 반경을 가지므로 분석적입니다. [a - r, a + r] ⊂ I과 r < R이라고 가정하면, 이 모든 급수들은 (a - r, a + r)에서 균일하게 수렴합니다. 당연히 분석 함수의 경우 확장의 중심에 있는 도함수 f'(a)의 시퀀스 꼬리에 의해 ${\textstyle R_{k}(x)}$ 나머지 항 ${\textstyle R_{k}(x)}$ {\ $textstyle R_{k}(x)}$ 를 추정할 수 있지만, 복잡한 분석을 사용하는 것도 또 다른 가능성이 발생하며, 이는 아래에 설명됩니다.

테일러 급수의 테일러 정리와 수렴

테일러 급수 f는 모든 도함수가 경계를 이루고 k가 무한대로 가면서 너무 빨리 성장하지 않는 어떤 구간에서 수렴할 것입니다. (그러나 테일러 급수가 수렴하더라도 아래에서 설명하는 것처럼 f로 수렴하지 않을 수 있습니다. 그러면 f는 비분석적이라고 합니다.)

누군가는 테일러 시리즈를 생각할지도 모릅니다.

f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots

a에서 "infinite 차수 테일러 다항식"으로서 무한히 많은 미분 가능한 함수 f: R → R. 이제 나머지에 대한 추정치는 만약 임의의 r에 대하여 f 의 도함수가 (a - r, a + r) 위에 경계지어지는 것으로 알려진 경우, 임의의 순서 k에 대하여 그리고 임의의 r > 0에 대하여 상수 M_k,r > 0이 존재함을 의미합니다.

R_{k}(x) \leq M_{k,r}{\frac { x-a ^{k+1}}{(k+1)!}}

(★★)

모든 x ∈(a - r, a + r)에 대하여. 때때로 상수 M은_k,r 고정된 r과 모든 k에 대하여 M이_k,r 위에 경계지어지는 방식으로 선택될 수 있습니다. 그런 다음 테일러 급수 f는 어떤 해석 함수로 균일하게 수렴합니다.

{\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{align}

(M이_k,r 충분히 느리게 성장하는 한 M이 위에 경계를 두지 않더라도 수렴을 얻습니다.)

극한 함수 T는_f 정의상 항상 분석적이지만 f가 무한히 미분 가능하더라도 반드시 원래 함수 f와 동일한 것은 아닙니다. 이 경우 f는 비해석적 평활 함수, 예를 들어 평탄 함수라고 합니다.

{\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \&f(x)={\begin{case}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}&x>0\0&x\leq 0.\end{case}}\end{align}

수학적 귀납법에 의한 연쇄법칙을 반복적으로 사용하면, 어떤 순서 k에 대하여,

f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}

차수 2(k - 1)의 어떤 다항식 p에_k 대하여. 함수 $e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$ - $e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$ x $e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$ ${\displaystyle$ e $^{-{\frac {1}{x^{2}}}$ 는 ${\textstyle x\to 0}$ → 0 {\ $textstyle$ x $\to$ 0 $}$ 으로 어떤 다항식보다 더 빨리 0이 되는 경향이 있으므로 ${\textstyle x\to 0}$ f는 모든 양의 정수 k에 대해 무한히 여러 배 미분 가능하고 f(0) = 0입니다. 이 경우 위의 결과는 모두 다음과 같습니다.

테일러 급수 f는 모든 계수가 0인 분석적인 영함수 T(x) = 0으로 균일하게 수렴합니다.
함수 f는 이 테일러 급수와 동일하지 않으므로 비분석적입니다.
어떤 순서 k ∈ N과 반지름 r > 0에 대하여 위의 나머지 경계(★★)를 만족하는 M > 0이 존재합니다.

그러나 고정된 r에 대해 k가 증가함에 따라 M의_k,r 값이 r보다^k 더 빠르게 증가하고 오차가 0으로 가지 않습니다.

복소해석학에서의 테일러 정리

테일러 정리는 복소 평면의 열린 부분 집합 U ⊂ C에서 복소 미분 가능한 함수 f: C → C로 일반화됩니다. 그러나 그 유용성은 복잡한 분석에서 다른 일반 정리에 비해 왜소합니다. 즉, 코시의 적분 공식을 사용하여 복잡한 미분 가능 함수 f: U → C에 대해 다음과 같이 더 강한 버전의 관련 결과를 추론할 수 있습니다.

닫힌 원반 B(z, r) ∪ S(z, r)가 U 안에 포함되도록 r > 0이라고 합니다. 그런 다음 t $t\in [0,2\pi ]$ ∈을 $t\in [0,2\pi ]$ 갖는 원 S( $t\in [0,2\pi ]$ r)의 양의 매개변수화 γ(t) = z + re를 갖는 코시의 적분 공식 $[0$ , 2 $t\in [0,2\pi ]$ π] {\displaystyle t\in [0,2\pi ]}은 다음을 제공합니다.

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.

여기서 모든 적분은 적분 부호 하에서 미분을 정당화하는 원 S(z, r) 위에서 연속적입니다. 특히, f 가 열린집합 U 위에서 미분할 수 있는 복소수이면, 실제로는 U 위에서 미분할 수 있는 무한히 여러 배 복소수입니다. 또한 코시의 추정치를^[12] 구합니다.

f^{(k)}(z) \leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{ w-z ^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{ w-c =r} f(w)

B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U인 임의의 z ∈ U와 r > 0에 대하여, 이 추정은 복소 테일러 급수를 의미합니다.

T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}

off는 임의의 ${\textstyle B(c,r)\subset U}$ ${\textstyle B(c,r)\subset U}$ B ${\textstyle B(c,r)\subset U}$ ( ${\textstyle B(c,r)\subset U}$ r ${\textstyle B(c,r)\subset U}$ ⊂ $U$ ${\$ textstyle B (c $,$ r)\subset U}에서 S (c, r) ⊂ U {\textstyle S (c, r)\subset U}를 어떤 함수 T로 균일하게 수렴합니다. 또한 도함수 f^(k)(c)에 대한 등고선 적분 공식을 사용하면,

{\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw=f(z),\end{aligned}}

따라서 열린 집합 U ⊂ C에 있는 임의의 복소 미분 가능 함수 f는 사실 복소 분석적입니다. 여기서 실제 분석 함수에 대해 언급된 모든 것은 열린 부분 집합 U 디스크 C로 대체되고 a-중심 ∈ (a - r, a + r)가 c-중심 디스크 B (c, r)로 대체되는 복잡한 분석 함수에도 적용됩니다. 특히 테일러 확장은 다음과 같은 형태로 유지됩니다.

f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},

여기서 나머지 항 R은_k 복소해석적입니다. 복합 분석 방법은 테일러 전개에 관한 몇 가지 강력한 결과를 제공합니다. 예를 들어, 영역 W ⊂ U {\textstyle W\subset U}의 $경계$ ∂ W ⊂ U {\ $textstyle$ $\$ subset $U$ }를 매개 변수화하는 임의의 양의 요르단 곡선 γ ${\textstyle$ \gamma}에 대한 코시의 적분 공식을 사용하면 위와 같은 도함수 f(c)에 대한 식을 얻는다. T(z) = f(z)에 대한 계산을 약간 수정하면 정확한 공식에 도달합니다.

R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.

여기서 중요한 특징은 $영역$ ${\textstyle W\subset U}$ ⊂ U {\ $textstyle$ W $\subset$ U}에 대한 테일러 다항식에 의한 근사치의 ${\textstyle \partial W\subset U}$ 이 $경계$ ∂ W ${\textstyle \partial W\subset U}$ ⊂ ${\textstyle \partial W\subset U}$ U {\textstyle \partial W\subset U}에 대한 함수 f 자체의 값에 의해 지배된다는 것입니다. 마찬가지로 나머지에 대한 급수식에 코시의 추정치를 적용하면, 일률적인 견적을 내다

R_{k}(z) \leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r} z-c ^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac { z-c ^{k+1}}{1-{\frac { z-c }{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac { z-c }{r}}\leq \beta <1.

예

함수.

{\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1} {1+x^{2}}}\end{align}}

실제 분석적이고, 테일러 급수에 의해 지역적으로 결정됩니다. 이 함수는 일부 기본 함수가 너무 큰 팽창 중심 부근에서 테일러 다항식으로 근사화될 수 없다는 사실을 설명하기 위해 위에 표시되었습니다. 이런 행동은 복잡한 분석의 틀에서 쉽게 이해됩니다. 즉, 함수 f는 동형 함수로 확장됩니다.

{\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}\end{aligned}

컴팩트화된 복잡한 평면에서. ${\textstyle z=i}$ = ${\$ $textstyle$ z = i} 및 z = - i {\textstyle z =-i}에 단순 극이 있으며 다른 곳에서는 분석적입니다. 이제 z를 중심으로 한 테일러 급수는 r < z - z를 가진 모든 디스크 B(z, r)에서 수렴하며, 여기서 동일한 테일러 급수는 z ∈ C에서 수렴합니다. 따라서 0에 중심을 둔 테일러 급수 f는 B(0, 1)에 수렴하고 i와 -i의 극으로 인해 z > 1인 어떤 z ∈ C에 대해서도 수렴하지 않습니다. 같은 이유로 1에 중심을 둔 f의 테일러 급수는 B ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$ ( ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$ 2 ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$ ${\textstyle$ B $(1$ , ${\sqrt {2}}$ 에 수렴하고 ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$ - 1 > $2$ z-1 $\right\vert >{\$ sqrt ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$ {2}}인 어떤 z ∈ ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$ 에 대해서도 수렴하지 않습니다.

테일러 정리의 일반화

고차 미분가능성

함수 f: R → R은 선형 함수 L: R → R과 함수 h: R → R이 존재하는 경우에만 ∈ R에서 미분할 수 있습니다.

f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.

이 경우, ${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$ = ${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$ (a $)$ {\textstyle L = df({\boldsymbol {a}})}는 점 a에서의 (uniquely 정의된) 미분입니다. 또한 f의 편미분은 a에 존재하고 fata의 미분은 다음에 의해 주어집니다.

{\displaystyle df ({\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}({\boldsymbol {a})v_{1}+\codots +{\frac {\partial f}{\n}}({\boldsymbol {a})v_{n}}({\boldsymbol {a})}.

다중 인덱스 표기법을 소개합니다.

\alpha =\alpha_{1}+\cdots +\alpha_{n},\quad \alpha !=\alpha_{1}!\cdots \alpha_{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots x_{n}^{\alpha_{n}

for α ∈ Nⁿ and x ∈ Rⁿ. f:R → R의 모든 ${\textstyle k}$ ${\textstyle$ k $}$ 차 편미분이 ∈ R에서 연속이면, a에서 혼합 도함수의 순서를 바꿀 수 있으므로, 표기법

D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{ \alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}\qquad \leq k

이 상황에서 고차 편미분이 정당화되기 때문입니다. f 의 모든 (k - 1)차 편미분이 a의 근방에 존재하고 a에서 미분 가능한 경우에도 마찬가지입니다.^[13] 그러면 우리는 a 지점에서 fk와 미분할 수 있다고 말합니다.

다변량 함수에 대한 테일러 정리

앞 절의 표기법을 사용하면 다음과 같은 정리를 얻을 수 있습니다.

테일러 정리의 다변량 버전 — f : R → R 이 ∈ R인 지점에서 k-회 연속 미분 가능 함수라고 가정합니다. $그렇다면$ 함수 $h :$ R → $R$ 이 존재하며, 여기서 α = $|\alpha |=k,$ ${\$ displaystyle \alpha = k,}는 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}&f ({\boldsymbol {x}})=\sum _{ \alpha \leq k}{\frac {D^{\alpha }f ({\boldsymbol {a}}{\alpha!}}({\boldsymbol {x}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{\alpha =k}h_{\alpha }({\boldsymbol {x})^{\alpha}}\\&{\mbox{and}}\quad \lim _{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}h_{\alpha}({\boldsymbol {x})=0.\end{align}}

닫힌 볼에서 함수 f : R → $R$ 이 k + 1배 연속적으로 미분 가능한 경우 B = { y ∈ R n : ‖ a - y ‖ ≤ r } {\displaystyle B =\{\mathbf {y} \in \mathbb {R}^{n}:\left\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\leq r\} 일부 r > 0 {\display r>0}에 대해, 그러면 이 근방에서 f 의 (k+1)차 편미분으로 나머지에 대한 정확한 공식을 유도할 수 있습니다.^[15] 즉,

{\begin{aligned}&f ({\boldsymbol {x}}=\sum _{ \alpha \leq k}{\frac {D^{\alpha }f ({\boldsymbol {a}}{\alpha!}}({\boldsymbol {x}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{ \beta =k+1}R_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {a})^{\beta }({\boldsymbol {x}})=\&R_{\beta}({\boldsymbol {x})={\frac {\beta }{\beta}({\boldsymbol!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{ \beta  -1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{align}}

이 경우, 콤팩트 집합 B에서 (k+1)차 편미분의 연속성으로 인해, 즉시 균일한 추정치를 얻을 수 있습니다.

\left R_{\beta}({\boldsymbol {x}})\right \leq {\frac {1}{\beta !}\max _{ \alpha = \beta }\max _{\boldsymbol {y}\in B} D^{\alpha }f ({\boldsymbol {y}),\qquad {\boldsymbol {x}\in B.

2차원 예제

예를 들어 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 매끄러운 함수 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 의 3차 테일러 다항식은 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ → R $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 이며, ${\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}$ - ${\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}$ = v ${\displaystyle {\boldsymbol$ {x}-{\boldsymbol {a}}-= {\boldsymbol {v}},

{\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f ({\boldsymbol {a}}+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}({\boldsymbol {a}}v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}({\boldsymbol {a})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}({\boldsymbol {a}}v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}){\frac {v_{2}}}({\frac {2}}}!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{align}}

증명

일 실변수에서 테일러 정리에 대한 증명

레트^[16]

h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}

여기서 테일러의 정리처럼

P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.

그것을 보여주기에 충분합니다.

\lim_{x\to}h_{k}(x)=0.

여기서의 증명은 L'Hotpital의 규칙을 반복적으로 적용하는 것에 기반을 두고 있습니다. 각 ${\textstyle j=0,1,...,k-1}$ = ${\textstyle j=0,1,...,k-1}$ 1 ${\textstyle j=0,1,...,k-1}$ $...,$ k - 1 {\textstyle j = 0,1,...,k-1}, f (j ) (a ) = P (j) (a) {\displaystyle f^{(j)}(a) = P^{(j)}(a)}(a)}에 대해 유의하십시오. $h_{k}(x)$ $h_{k}(x)$ ( $h_{k}(x)$ $h_{k}(x)$ 분자의 첫 ${\textstyle k-1}$ ${\textstyle k-1}$ 도함수는 $x=a$ = ${\$ displaystyle x=a}에서 사라지며 분모도 마찬가지입니다. 또한 한 ${\textstyle f}$ 에서 ${\textstyle f}$ 함수 f {\ $textstyle$ f $}$ 가 ${\textstyle f}$ k ${\textstyle$ k $}$ 배 ${\textstyle k}$ 미분 가능하다는 조건은 해당 점의 ${\textstyle k-1}$ 에서 ${\textstyle k-1}$ k ${\textstyle k-1}$ - ${\textstyle k-1}$ {\ $textstyle k-1}$ 의 차수까지 미분 가능성을 요구하기 때문에(이는 사실이며 미분 가능성은 한 점의 전체 근방에서 함수가 정의되어야 하기 때문에), ${\textstyle a}$ 와 그 ${\textstyle k-2}$ - 2 ${\textstyle k-2}$ 도함수는 ${\textstyle a}$ 근방에서 미분 가능합니다 ${\textstyle a}$ 분명히 분모 또한 해당 조건을 만족시키며, ${\textstyle x=a}$ = a ${\$ textstyle x = a}가 아니면 소멸되지 않으므로, L'Hotal의 규칙에 필요한 모든 조건이 충족되지 않으면, 그리고 그것의 사용은 정당합니다. 그렇게

{\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}=\cdots =\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-f^{(k)}(a))=0\end{aligned}}

${\textstyle x=a}$ 서 x = a {\textstyle x= ${\textstyle x=a}$ }에서 도함수의 정의가 뒤따릅니다 $.$

한 실수 변수에서 테일러 정리에 대한 대체 증명

$f(x)$ ( $f(x)$ ${\displaystyle$ f $(x)}$ 를 $f(x)$ 테일러 다항식으로 근사화할 실수 값 $연속$ 함수라고 가정합니다.

1단계: ${\textstyle F}$ ${\textstyle F}$ 와 ${\textstyle F}$ G ${\textstyle$ G $}$ 를 함수라고 ${\textstyle G}$ 합니다. ${\textstyle F}$ ${\textstyle F}$ 및 ${\textstyle F}$ ${\textstyle G}$ ${\textstyle$ G $}$ 를 ${\textstyle G}$ 다음과 같이 설정합니다.

{\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}

{\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}

2단계: ${\textstyle F}$ ${\textstyle F}$ 및 ${\textstyle G}$ ${\textstyle$ G $}$ 의 속성 ${\textstyle G}$

{\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!}}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}

유사하게,

{\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {2f''(a)(a-a)}{1!}}-...-{\frac {f^{(n-2)}(a)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!}}=0\end{align}}

{\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}

3단계: 코시 평균값 정리 사용

Let $f_{1}$ and $g_{1}$ be continuous functions on $[a,b]$ . Since $a<x<b$ so we can work with the interval $[a,x]$ . $f_{1}$ $f_{1}$ $f_{1}$ 및 $g_{1}$ 1 $g_{1}$ 을 $(a,x)$ ( $(a,x)$ x $(a,x)$ $(a,x)$ 에서 구별할 수 있다고 가정합니다 $(a,x)$ $g_{1}'(x)\neq 0$ $g_{1}'(x)\neq 0$ ( $g_{1}'(x)\neq 0$ ≠ 0 ${\displaystyle g_{1$ }'(x)\n모든 $x\in (a,b)$ $∈$ (a, $b$ ) ${\displaystyle x\$ in $x\in (a,b)$ a, b)}에 대하여 $eq 0}$ 입니다. 그러면 $c_{1}\in (a,x)$ $∈$ (a, x) ${\displaystyle$ c_{1}\in (a, $x)}$ 그러므로 $c_{1}\in (a,x)$

{\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}

참고: $G'(x)\neq 0$ ≠ 0 {\ $displaystyle$ G'(x)\n $(a,b)$ $(a,b)$ $(a, b)$ 및 F $F(a),G(a)=0$ (a $F(a),G(a)=0$ $F(a),G(a)=0$ ( $F(a),G(a)=0$ ) $=$ 0 ${\$ displaystyle F(a), G(a) $=$ 0}의 $eq$ 0 $}$ 이므로

{\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}

일부 $c_{1}\in (a,x)$ $c_{1}\in (a,x)$ ∈(a, $x$ ) {\ $displaystyle c_{1}\$ in $c_{1}\in (a,x)$ (a,x)}에 대해.

이 작업은 $(a,c_{1})$ ( $(a,c_{1})$ c $)$ {\ $displaystyle (a,c_{1})}$ 에 대해서도 수행할 수 있습니다 $(a,c_{1})$

{\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}

일부 $c_{2}\in (a,c_{1})$ ∈( $c_{2}\in (a,c_{1})$ c 1) {\ $displaystyle c_{2}\in$ (a $c_{2}\in (a,c_{1})$ c_{1}}에 대해. 이것은 $c_{n}$ ${\$ 까지 계속할 수 있습니다 $c_{n}$

이것은 $(a,b)$ ( $)$ {\ $displaystyle (a,$ b $)}$ 에서 파티션을 제공합니다 $(a,b)$

{\begin{aligned}a<c_{n}<c_{n-1}<...<c_{1}<x\end{aligned}}

와 함께

{\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}}={\frac {F'(c_{1)}}{G'(c_{1)}}=...={\frac {F^{(n)}(c_{n})}{G^{(n)}(c_{n})}}\end{aligned}}.

$c=c_{n}$ c = $c=c_{n}$ {\displaystyle c = c_{n}}:

{\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}\end{aligned}}

4단계: 뒤로 대체

{\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}{(x-a)^{n}}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}\end{aligned}}

거듭제곱 규칙에 $(x-a)^{n}$ $(x-a)^{n}$ - a $(x-a)^{n}$ n ${\displaystyle (x-a)^{n$ $G^{(n)}(c)=n(n-1)...1$ ( $G^{(n)}(c)=n(n-1)...1$ ) $G^{(n)}(c)=n(n-1)...1$ ( $G^{(n)}(c)=n(n-1)...1$ ) = $G^{(n)}(c)=n(n-1)...1$ $G^{(n)}(c)=n(n-1)...1$ - 1 $G^{(n)}(c)=n(n-1)...1$ ) $G^{(n)}(c)=n(n-1)...1$ .1 {\displaystyle G^{(n)}(c) = n(n-1)의 반복 도함수를 사용합니다. $1$ 그래서:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n(n-1)...1}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}\end{align}}.

이를 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

{\begin{aligned}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}.

재배열을 통해 다음과 같은 이점을 얻을 수 있습니다.

{\begin{aligned}f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}},

$c_{n}=a$ c = $c_{n}=a$ {\displaystyle c_{n} = a}가 결국 다음과 같이 되기 때문입니다.

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}.

나머지의 평균값 형태에 대한 도함수

G가 ${\textstyle$ $a$ $}$ 와 ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ 사이의 닫힌 구간에서 연속이고 ${\textstyle x}$ ${\textstyle$ a $}$ 와 ${\textstyle a}$ x ${\textstyle x}$ 사이의 열린 구간에서 사라지지 않는 도함수로 미분 가능하다고 하자 ${\textstyle x}$

F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}.

$t\in [a,x]$ a,x]}의 t ∈ [ $a,x$ ] ${\displaystyle$ t\in [a $,$ x]}에 대하여, 코시의 평균값 정리에 의하여,

{\frac {F'(\xi )}{G'(\xi )}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}

(★★★)

$어떤$ ${\textstyle \xi }$ ξ ${\textstyle$ \xi $}$ 에 대하여 ${\textstyle$ a $}$ 와 ${\textstyle a}$ $x {\textstyle$ x} 사이의 열린 구간. 여기서 ${\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}$ F ${\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}$ ) ${\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}$ - F ( ${\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}$ ) = ${\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}$ R k ( $x$ ) {\textstyle F (x) - F (a) = $R_{k}(x)}$ 는 ${\textstyle y=f(x)}$ y $=$ ${\textstyle y=f(x)}$ ( $)$ {\textstyle y $=$ f(x)}에 대한 테일러 다항식의 나머지입니다. 계산

{\begin{aligned}F'(t)={}&f'(t)+{\big (}f''(t)(x-t)-f'(t){\big )}+\left({\frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{\frac {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)\right)+\cdots \\&\cdots +\left({\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{\frac {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}\right)={\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},\end{aligned}}

(★★★)에 꽂고 용어를 재배열하여 다음을 찾습니다.

R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}.

이것은 평균값 형태의 나머지가 있는 테일러 정리의 실제 진술 다음에 언급된 나머지 항의 형태입니다. 나머지의 라그랑주 $G(t)=(x-t)^{k+1}$ 는 G $G(t)=(x-t)^{k+1}$ = ( $G(t)=(x-t)^{k+1}$ - $G(t)=(x-t)^{k+1}$ t ) k + 1 {\ $display$ G(t) = (x-t)^{k+1}}를 선택하고, 코시 형태는 G(t) = t - a {\display G(t) = t-a}를 선택하여 찾습니다.

멘트. 이 방법을 사용하면 나머지의 적분 형태를 선택하여 복구할 수도 있습니다.

G(t)=\int _{a}^{t}{\frac {f^{(k+1)}(s)}{k!}}(x-s)^{k}\,ds,

그러나 f가^(k) 절대적으로 연속적인 경우에 그 주장을 증명하는 것을 목표로 한다면, 평균값 정리의 사용에 필요한 f의 요건은 너무 강합니다. 그러나 르베슈 적분 대신 리만 적분을 사용하면 가정이 약화될 수 없습니다.

나머지의 적분 형태에 대한 도함수

Due to absolute continuity of $f^{(k)}$ on the closed interval between ${\textstyle a}$ and ${\textstyle x}$ its derivative $f^{(k+1)}$ exists as an $L^{1}$ -function, 그리고 우리는 미적분학과 부분별 적분의 기본 정리를 사용할 수 있습니다. $f^{(k)}$ 증명은 f $f^{(k)}$ ( $f^{(k)}$ ${\$ f $^{(k)}$ 가 $f^{(k)}$ ${\textstyle a}$ 구간에서 연속적이고 ${\textstyle a}$ 와 ${\textstyle a}$ x ${\textstyle$ x $}$ 사이의 열린 구간에서 미분 가능하다고 가정할 때 리만 적분에도 적용되며 ${\textstyle x}$ 이는 평균값 정리를 사용하는 것과 동일한 결과로 이어집니다.

미적분학의 기본 정리는 다음과 같습니다.

f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}\,f'(t)\,dt.

이제 우리는 부분별로 적분하여 미적분학의 기본 정리를 다시 사용하여 이것을 볼 수 있습니다.

{\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\Big (}xf'(x)-af'(a){\Big )}-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+x\left(f'(a)+\int _{a}^{x}f''(t)\,dt\right)-af'(a)-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{x}\,(x-t)f''(t)\,dt,\end{aligned}}

이것은 $k=1$ 테일러의 정리이며, k= ${\$ displaystyle k=1}인 경우에 나머지는 적분 형태입니다. 일반적인 문장은 귀납법을 사용하여 증명됩니다. 다음과 같이 가정합니다.

f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.

(★★★★)

나머지 항을 도착한 부품별로 통합

{\begin{aligned}\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt=&-\left[{\frac {f^{(k+1)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\,dt\\=&\ {\frac {f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1}\,dt.\end{align}}

이를 (★★★★)의 공식에 대입하면 $k$ $k$ 값에 대해 유지되는 경우 $k$ k $k+1$ + $k+1$ $k+1$ 값에 대해서도 유지되어야 함을 알 수 있습니다 $k+1$ $k=1$ k = ${\$ displaystyle k=1}에 대해 유지되므로 모든 양의 정수 k {\displaystyle k}에 대해 유지되어야 합니다.

나머지 다변량 테일러 다항식에 대한 유도

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 는 f: R $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ → R {\ $displaystyle$ f $:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}}$ 이 $($ 가) $중심$ 이 {\displaystyle ${a}$ 인 일부 닫힌 볼 $B$ $B$ 에서 $k+1$ + $k+1$ $k+1$ 순서까지 연속 편미분을 갖는 특수한 경우를 증명합니다 ${\boldsymbol {a}}$ 증명의 전략은 ${\boldsymbol {x}}$ 정리의 1변수 $경우$ 를 f ${\displaystyle$ f $}$ 의 제한에 적용하여 x ${\$ 및 ${\$ 에 ${\boldsymbol {x}}$ 인접한 선분에 $f$ 적용하는 것입니다 ${\boldsymbol {a}}$ ^[17] ${\boldsymbol {a}$ 과 x ${\boldsymbol {x}$ 사이의 선분을 ${\boldsymbol {u}}(t)={\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})$ = a ${\boldsymbol {u}}(t)={\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})$ + ${\boldsymbol {u}}(t)={\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})$ - a) {\displaystyle {\boldsymbol {u}(t) = {\boldsymbol {a}+t ({\boldsymbol {x}-{\boldsymbol {a}}} $g(t)=f({\boldsymbol {u}}(t))$ g에 테일러 정리의 원 variable 버전을 적용합니다. $g(t)=f({\boldsymbol {u}}(t))$ $g(t)=f({\boldsymbol {u}}(t))$ ( $u$ ( t ) {\displaystyle g(t) $g(t)=f({\boldsymbol {u}}(t))$ f $g(t)=f({\boldsymbol {u}}(t))$ \bold 기호 {u}}(t)}:

f({\boldsymbol {x}})=g(1)=g(0)+\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j!}}g^{(j)}(0)\ +\ \int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{k}}{k!}}g^{(k+1)}(t)\,dt.

여러 변수에 대해 연쇄 규칙을 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

{\begin{aligned}g^{(j)}(t)&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f(u(t))\\&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\&=\sum _{ \alpha =j}\left ({\begin{matrix}j\\\alpha \end{matrix}\right)(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t ({\boldsymbol {x}-{\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {x}-{\boldsymbol {a})^{\aligned}

여기서 ${\tbinom {j}{\alpha }}$ ( ${\tbinom {j}{\alpha }}$ ${\tbinom {j}{\alpha }}$ ${\$ 는 ${\tbinom {j}{\alpha }}$ 다항식 계수입니다. ${\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}$ ${\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}$ ! ${\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}$ ( ${\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}$ ${\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}$ ) = ${\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}$ ${\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}$ ! ${\tfrac {1$ { $j!$ $}}{\tbinom {j}{\alpha$ }}} $=$ {\ $tfrac {1}{\alpha$ 다음을 얻습니다.

f ({\boldsymbol {x}})=f ({\boldsymbol {a}}+\sum _{1\leq \alpha \leq k}{\frac {1}{\alpha!}(D^{\alpha}f)({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {x}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha =k+1}{\frac {k+1}{\alpha!}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\int _{0}^{1}(1-t)^{k}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\,dt.

참고 항목

하다마드 보조개
로랑 시리즈 – 음의 거듭제곱이 있는 거듭제곱 시리즈
파데 근사 – 주어진 차수의 유리 함수에 의한 함수의 '최상' 근사
뉴턴 시리즈 – 방향 하는 도함수 페이지의 이산 아날로그

각주

^ (2013). "선형 및 2차 근사" 2018년 12월 6일 검색
^ Taylor, Brook (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (in Latin). London. p. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2). 에서 영어로 번역됨
^ 클라인 1972, 페이지 442, 464
^ Genocchi, Angelo; Peano, Giuseppe (1884), Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, (N. 67, pp. XVII–XIX): Fratelli Bocca ed.{{citation}}: CS1 메인터넌스: 위치(링크)
^ Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd ed.), Houston, TX: Publish or Perish, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8
^ "Taylor formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
^ ${\textstyle a}$ 과 ${\textstyle a}$ (와) ${\textstyle x}$ ${\textstyle$ x $}$ 사이의 닫힌 간격에서 f가^(k) 연속이라는 가설은 중복되지 ${\textstyle x}$ 않습니다. ${\textstyle a}$ 가 ${\textstyle a}$ {\ $textstyle a}$ 와 ${\textstyle x}$ x {\ $textstyle$ x ${\textstyle a}$ $}$ 사이의 열린 간격에서 k + 1배 미분 가능하지만 ${\textstyle a}$ 는^(k) ${\textstyle$ a $}$ 와 ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ 사이의 열린 간격에서 연속임을 의미합니다 ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ f가^(k) ${\textstyle$ a $}$ 와 ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle$ x $}$ 사이의 닫힌 구간에서 연속임을 의미하지 않습니다 ${\textstyle x}$ 즉, f가^(k) 해당 구간의 끝점에서 연속임을 의미하지 않습니다. Consider, for example, the function f : [0,1] → R defined to equal $\sin(1/x)$ on $(0,1]$ and with $f(0)=0$ . This is not continuous at 0, but is continuous on $(0,1)$ . Moreover, 이 함수에 항유함수가 있음을 보여줄 수 있습니다. Therefore that antiderivative is differentiable on $(0,1)$ , its derivative (the function f) is continuous on the open interval $(0,1)$ , but its derivative f is not continuous on the closed interval $[0,1]$ . So the theorem would not apply in this case.
^ 클라인 1998, § 20.3, 아포스톨 1967, § 7.7
^ 아포스톨 1967, § 7.7.
^ 아포스톨 1967, § 7.5.
^ 아포스톨 1967, § 7.6
^ 1987년 루드, § 10.26
^ 이것은 함수 f의 편미분이 a의 근방에 존재하고 a에서 연속적이면, 함수는 a에서 미분 가능하다는 정리의 반복적인 적용으로부터 이어집니다. 예를 들어, Apostol 1974, Theorem 12.11을 참조하십시오.
^ Königsberger 분석 2, 페이지 64ff.
^ https://sites.math.washington.edu/ ~폴란드/매스425/테일러2.pdf^{[맨 URL PDF]}
^ 스트롬베르크 1981
^ Hörmander 1976, pp. 12-13

참고문헌

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Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6.
Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 2, Oxford University Press.
Kline, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach, Dover, ISBN 0-486-40453-6.
Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis, Springer, ISBN 0-387-94108-8.
Stromberg, Karl (1981), Introduction to classical real analysis, Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2.
Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.
Tao, Terence (2014), Analysis, Volume I (3rd ed.), Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-64-9.
Proof of Taylor's Theorem (PDF), Chinese University of Hong Kong.

외부 링크

[1] (2013). "선형 및 2차 근사" 2018년 12월 6일 검색

[2] Taylor, Brook (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (in Latin). London. p. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2). 에서 영어로 번역됨

[3] 클라인 1972, 페이지 442, 464

[4] Genocchi, Angelo; Peano, Giuseppe (1884), Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, (N. 67, pp. XVII–XIX): Fratelli Bocca ed.{{citation}}: CS1 메인터넌스: 위치(링크)

[5] Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd ed.), Houston, TX: Publish or Perish, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8

[6] "Taylor formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[7] ${\textstyle a}$ 과 ${\textstyle a}$ (와) ${\textstyle x}$ ${\textstyle$ x $}$ 사이의 닫힌 간격에서 f가^(k) 연속이라는 가설은 중복되지 ${\textstyle x}$ 않습니다. ${\textstyle a}$ 가 ${\textstyle a}$ {\ $textstyle a}$ 와 ${\textstyle x}$ x {\ $textstyle$ x ${\textstyle a}$ $}$ 사이의 열린 간격에서 k + 1배 미분 가능하지만 ${\textstyle a}$ 는^(k) ${\textstyle$ a $}$ 와 ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ 사이의 열린 간격에서 연속임을 의미합니다 ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ f가^(k) ${\textstyle$ a $}$ 와 ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle$ x $}$ 사이의 닫힌 구간에서 연속임을 의미하지 않습니다 ${\textstyle x}$ 즉, f가^(k) 해당 구간의 끝점에서 연속임을 의미하지 않습니다. Consider, for example, the function f : [0,1] → R defined to equal $\sin(1/x)$ on $(0,1]$ and with $f(0)=0$ . This is not continuous at 0, but is continuous on $(0,1)$ . Moreover, 이 함수에 항유함수가 있음을 보여줄 수 있습니다. Therefore that antiderivative is differentiable on $(0,1)$ , its derivative (the function f) is continuous on the open interval $(0,1)$ , but its derivative f is not continuous on the closed interval $[0,1]$ . So the theorem would not apply in this case.

[8] 클라인 1998, § 20.3, 아포스톨 1967, § 7.7

[9] 아포스톨 1967, § 7.7.

[10] 아포스톨 1967, § 7.5.

[11] 아포스톨 1967, § 7.6

[12] 1987년 루드, § 10.26

[13] 이것은 함수 f의 편미분이 a의 근방에 존재하고 a에서 연속적이면, 함수는 a에서 미분 가능하다는 정리의 반복적인 적용으로부터 이어집니다. 예를 들어, Apostol 1974, Theorem 12.11을 참조하십시오.

[14] Königsberger 분석 2, 페이지 64ff.

[15] ttps://sites.math.washington.edu/ ~폴란드/매스425/테일러2.pdf^{[맨 URL PDF]}

[16] 스트롬베르크 1981

[17] Hörmander 1976, pp. 12-13

[1]

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[10]

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[17]

v t 미적분학.
프리칼큘러스	이항정리 오목함수 연속함수 요인 유한차 자유 변수 및 한계 변수 함수의 그래프 선형 함수 라디안 롤의 정리 챈트 슬로프 접선
한계	불확정형태 함수의 극한 일방한계 수열의 한계 근사순서 (ε, δ)-한계의 정의
미분적분학	도함수 이차 도함수 편미분 미분 미분 연산자 평균값정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴 표기법 미분의 법칙 직선성 힘 합 체인 호텔스 제품. 라이프니츠 장군의 법칙 몫 기타기법 암묵적 미분 역함수와 미분 로그 도함수 관련요금 정지점 1차 도함수 검정 이계도함수 판정법 극값 정리 최대값과 최소값 추가 응용프로그램 뉴턴의 방법 테일러 정리 미분방정식 상미분방정식 편미분방정식 확률미분방정식
적분학	원시함수 호 길이 리만 적분 기본속성 적분 상수 미적분학의 기본 정리 적분 기호에 따른 미분 부품별 통합 대체에 의한 적분 삼각법의 오일러 접선 반각 치환 적분에서 부분분수 이차 적분 사다리꼴 규칙 볼륨 워셔 방식 쉘법 적분방정식 적분차방정식
벡터 미적분학	도함수 컬 방향 도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본정리 선적분 그린즈 스톡스' 가우스의
다변수 미적분학	발산정리 기하학적 헤센 행렬 야코비안 행렬 및 행렬식 라그랑주 승수 선적분 매트릭스 다중적분 편미분 표면적분 부피적분 고급주제 미분형식 외도함수 일반화된 스톡스 정리 텐서 미적분학
수열과 급수	산술 기하학 수열 시리즈의 종류 교대 이항 푸리에 기하학적 고조파 인피니트 힘 매클로린 테일러 망원경 수렴성 검정 아벨스 교대급수 코시 응축 직접비교 디리클레츠 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수함수 그리고 숫자들	베르누이 수 e(mathemat 상수) 지수함수 자연로그 스털링의 근사
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수학의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 무한소 무한소 미적분학 아이작 뉴턴 플럭시온 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭스의 방법 기계적 정리의 방법
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