평탄함수

$함수{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle \ne }$ 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$/ x ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$, ${\displaystyle$ y$(x\neq$ 0$)=e^{-1/x^{2}},}$ ${\displaystyle \mathrm{y<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; y(x\backslash neq\; 0)=e^\{-1/x^\{2\}\},\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/62083190cc9323f754e24cc13910c2f98ddaac63"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:18.311ex;\; height:3.509ex;"\; papago-attr-id="27">}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ y$(0)=0}$은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ = ${\displaystyle x=0}$에 평탄하다$.$

In mathematics, especially real analysis, a flat function is a smooth function ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ all of whose derivatives vanish at a given point ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$. The flat functions are, in some sense, the antitheses of the analytic functions.${\displaystyle 분석\mathbb{}}$ 함수 $f{\displaystyle }$: R${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ f$:\mathb {R}$\오른쪽 $화살표 \mathb {R}$\mathb {R}}은(는) $\mathb {R}$에 가까운 수렴 전력 시리즈에 의해 주어진다$$$.$

${\displaystyle f(x)\sim \im _{n\to \inflt }\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{f^{(k)}(x_{0}}}}}}}{k!}}}}}}}$

In the case of a flat function we see that all derivatives vanish at ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$, i.e. ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})=0}$ for all ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. This means that a meaningful Taylor series expansion in a neighbourhood of ${\displaystyle x_0}$${\displaystyle x_{0}}$은(는) 불가능하다$$.테일러의 정리 언어에서 함수의 일정하지 않은 부분은 항상 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$에 대한 나머지 ${\displaystyle R_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle R_{n}(x)$에 있다$.$

그 기능은 단 한 지점에서 평탄할 필요는 없다.사소한 일에도 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 상수 함수는 어디에나 평탄하다$$.하지만 다른, 덜 사소한 예들이 있다.

예

정의한 함수

${\displaystyle f(x)={\displaystyle f(x)={\case}e^{-1/x^{2}}~{\text{{{}}}{}x\neq 0\\\{\text{}}}}}}}$

x = 0으로 평탄하다.따라서 이것은 비분석적 매끄러운 기능의 예다.이 사례의 병리학적 특성은 복잡한 숫자에 대한 확장이 사실상 다를 수 없다는 사실에 의해 부분적으로 조명된다.

참조

• Glaister, P. (December 1991), A Flat Function with Some Interesting Properties and an Application, The Mathematical Gazette, Vol. 75, No. 474, pp. 438–440, JSTOR 3618627