카우치-하다마르 정리

수학에서 카우치-하다마드 정리는 프랑스 수학자 아우구스틴 루이 코치와 자크 하다마드의 이름을 딴 복잡한 분석의 결과로서, 권력 시리즈의 수렴 반경을 기술하고 있다.1821년 코치에 의해 출판되었으나,^[1] 하다마드가 재발견할 때까지 비교적 미지의 상태로 남아 있었다.^[2]Hadamard가 이 결과를 처음 발표한 것은 1888년이었다.^[3] 그는 또한 이 결과를 1892년 박사 학위 논문의 일부로 포함시켰다.^[4]

하나의 복합 변수에 대한 정리

폼의 하나의 복잡한 변수 z에 있는 공식 파워 시리즈를 고려

f(z)=\sum _{n=0}^{\nft }c_{n}(z-a)^{n}}}}}}}}}}}}}

여기서

a,c_{n}\in \mathbb {C} .

,

a,c_{n}\in \mathbb {C} .

a,c_{n}\in \mathbb {C} .

a,c_{n}\in \mathbb {C} .

a,c_{n}\in \mathbb {C} .

a,c_{n}\in \mathb {C}.

그런 다음 a 지점에서의 f의 $R$ $수렴$ R {\ $displaystyle R}$ 반경이 다음에 의해 주어진다.

{\frac {1}{R}=\limsup _{n\to \inflt }\왼쪽(c_{n} ^{1/n}\오른쪽)

여기서

lim supp

는 n번째 위치 이후 sequence 값의 우월성에

n

이 접근함에 따라 한계에 도달한다.

시퀀스

값이 결합되지 않아 림

Sup

이 ∞이면 파워 시리즈가 a

근처

에 수렴되지 않는 반면, 림

Sup

이 0이면 수렴 반경이 ∞이며, 이는 시리즈가 전체 평면에 수렴한다는 것을 의미한다.

증명

일반성의 손실 없이 $a=0$ = $a=0$ $a=0$ 을(를) 가정한다 $a=0$ 먼저 파워 시리즈 ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ seriesn ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ ${\$ $c_{$ $n}z^{$ $n$ n}}}}}이 ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ $|z|>R$ $)$ z < $|z|<R$ > ${\displaystyle z$ > $R$ 에 대해 수렴된다는 것을 보여줄 것이다 $|z|>R$

첫번째 거예요 z<>R{\displaystyle z<>R} 할게. t=1/R{\displaystyle t=1/R}지 않다 0{0\displaystyle}또는±∞.ε를 들어{\displaystyle \pm \infty.};0{\displaystyle \varepsilon>0},{n\displaystyle}n의 한정된 몇가지 존재하지 c등 n. n≥ t+ε{\textstyle{\sqrt[{n}]{c_{n}}}\geq t+\varepsilon}. 모든지만 cn{\displaystyle c_{n}을 한정}이제 c n≤(t+ε)n{\displaystyle c_{n}\leq(t+\varepsilon)^{n}}, 그래서 시리즈 ∑ 소음 한계 nzn{\textstyle \sum_{n}c_{n}z^{n}}는 한 점인 만약 z<1/(t+. ε $|z|<1/(t+\varepsilon )$ $z <1/(t+\varepsilon )$ .이것이 첫 번째 부분을 증명한다.

무한히 많은 cn{\displaystyle c_{n}}에 반대로 ε 을 모든 0{\displaystyle \varepsilon>0}, cn≥(t− ε)n{\displaystyle c_{n}\geq(t-\varepsilon)^{n}}, 만약 z=1/(t− ε)>R{\displaystyle z=1(t-\varepsilon)&gt을 말한다.R}, 우리는 시리즈이기 때문에 모일 수 없다는 것을 알다.n번째 항은 0이 되는 경향이 없다.^[5]

여러 복잡한 변수에 대한 정리

Let $\alpha$ be a multi-index (a n-tuple of integers) with $\alpha =\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ , then $f(x)$ converges with radius of convergence $\rho$ (which is also a multi-index) if and only if

\limsup _{ \put \to \inflt }{\qrt[{ \put }}{_{\put }} \rho ^{\put }}=1

다차원 전력 시리즈로

\sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}(z_{1}-a_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{\alpha _{n}}

증거는 에서 찾을 수 있다.

메모들

^ Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique.
^ Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0. Warren Van Egmond에 의해 이탈리아어로 번역되었다.
^ Hadamard, J., "Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable", C. R. Acad. Sci. Paris, 106: 259–262.
^ 또한Hadamard, J. (1892), "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4^e Série, VIII Teseses présentées a la compensé des science de Paris에서는 Obtenir le sciques de Docteur es sciques, Paris: Gautier-Villars et fils, 1892.
^ Lang, Serge (2002), Complex Analysis: Fourth Edition, Springer, pp. 55–56, ISBN 0-387-98592-1 수학 대학원 교과목
^ Shabat, B.V. (1992), Introduction to complex analysis Part II. Functions of several variables, American Mathematical Society, ISBN 978-0821819753

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Cauchy-Hadamard theorem". MathWorld.

[1] Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique.

[2] Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0. Warren Van Egmond에 의해 이탈리아어로 번역되었다.

[3] Hadamard, J., "Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable", C. R. Acad. Sci. Paris, 106: 259–262.

[4] 또한Hadamard, J. (1892), "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4^e Série, VIII Teseses présentées a la compensé des science de Paris에서는 Obtenir le sciques de Docteur es sciques, Paris: Gautier-Villars et fils, 1892.

[5] Lang, Serge (2002), Complex Analysis: Fourth Edition, Springer, pp. 55–56, ISBN 0-387-98592-1 수학 대학원 교과목

[6] Shabat, B.V. (1992), Introduction to complex analysis Part II. Functions of several variables, American Mathematical Society, ISBN 978-0821819753

[1]

[2]

[3]

[4]

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증명

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