이 글은 미적분학의 방법에 관한 것이다. 다른 용도의 경우 역수를 참조하십시오. 미적분학 에서, 역수 법칙 은 f의 파생적 관점에서 함수 f 의 역수적 파생물을 제공한다. 역수 규칙은 음수 지수에 대해 이미 설정된 경우 검정력 규칙 이 음수 지수를 유지한다는 것을 보여주는 데 사용할 수 있다. 또한 호혜적 규칙 과 제품 규칙 에서 인용 규칙 을 쉽게 추론할 수 있다.
역수 규칙은 f 가 점 x 와 f(x ) 0 0에서 서로 다른 경우 g(x ) = 1/f (x )도 x 에서 서로 다른 것으로 한다.
g ′ ( x ) = d d x ( 1 f ( x ) ) = − f ′ ( x ) f ( x ) 2 . {\displaystyle g'(x)={\frac {d}{dx}}\좌익}{1}{f(x)}\frac {1}{1}{f(x)^{2}}. }
증명 이 증거는 f {\displaystyle f} x {\displaystyle x,} f {\displaystyle f} 연속 된다는 정리에 의존한다. f( x x {\displaystyle x } g {\ displaystyle g} 다음
g ′ ( x ) = d d x ( 1 f ( x ) ) = 임이 있는 h → 0 ( 1 f ( x + h ) − 1 f ( x ) h ) = 임이 있는 h → 0 ( f ( x ) − f ( x + h ) h ⋅ f ( x ) f ( x + h ) ) = 임이 있는 h → 0 ( − f ( x + h ) − f ( x ) h ⋅ 1 f ( x ) f ( x + h ) ) . {\displaystyle {\frac{d}{dx}}\좌측{dx}}\frac {1}{f(x)}\우측)&=\lim_{h\to 0}\좌측{frac{1}{f+h}}-{frac {1}{f(x){h}{h}}}}}}}}}우측). \\&=\lim _{h\to 0}\left\frac {f(x+h)-f(x+h)}{h\cdot f(x+h)}\오른쪽) \\&=\lim _{h\to 0}\왼쪽{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}\frac {1}{f(x+h)}\오른쪽). \end{정렬}}} 이 제품의 한계는 다음과 같으며, 해당 요인의 기존 한계의 산물과 동일하다. ( 임이 있는 h → 0 − f ( x + h ) − f ( x ) h ) ⋅ ( 임이 있는 h → 0 1 f ( x ) ⋅ f ( x + h ) ) . {\displaystyle \left(\lim _{h\to 0}-{frac {f(x+h)-f(x)-f(x)}\cdot \좌(\lim _{h\to 0}{frac {1}{f(x)\x+h)}}\오른쪽). } x {\displaystyle x} f {\displaystyle f} 번째 x {\displaystyle -f'(x) f ( x ) ≠ 0 {\ displaystyf (x)\neq 0 두 1 ( x ) 같다 . ) 2 {\displaystyle 1/f(x)^{2}, g ′ ( x ) = − f ′ ( x ) ⋅ 1 f ( x ) 2 = − f ′ ( x ) f ( x ) 2 . {\displaystyle g'(x)=-f'(x)\cdot {\frac {1}{f(x)^{2}}=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}. }
제품 규칙에서 대수적으로 따르는 약한 역수 규칙 라고 주장할 수도 있다.
f ( x ) ⋅ 1 f ( x ) = 1 , {\displaystyle f(x)\cdot {\frac {1}{f(x)}=1,}
제품 규칙을 적용하면 다음과 같다.
f ′ ( x ) ( 1 f ) ( x ) + f ( x ) ( 1 f ) ′ ( x ) = 0 , {\displaystyle f'(x)\lefts\frac {1}{f}\f}\flac {1}{f}\오른쪽)=0,}
그리고 이것은 대수적으로 다시 배열되어 있다고 말할 수 있다.
( 1 f ) ′ ( x ) = − f ′ ( x ) f ( x ) 2 . {\displaystyle \left({\frac {1}{f}\오른쪽)'(x)={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}. }
그러나 이것은 1/f 가 x 에서 차별화 가능하다는 것을 증명하지 못한다; 그것 은 x에서 1/f 의 차별성이 이미 확립된 경우에만 유효하다. 그런 면에서 위에서 증명된 호혜적 규칙보다 약한 결과다. 그러나 차이가 나지 않는 것이 없고 파생상품이 한계에 의해 정의되지 않는 미분대수 의 맥락에서 호혜적 규칙과 보다 일반적인 지수적 규칙이 확립되는 것은 이와 같은 방식이다.
전원 규칙의 일반화에 대한 적용 종종 x x n x n 1 {\ dfracyle {\d}{d }}(x^{n})=nx^{n-1} ( n 이 음이 아닌 정수일 때만 유효한 방법으로 증명된다. 이것 m displaystyle n=-m} 정수 n으로 확장할 수 있다. m 은 양의 정수다.
d d x x n = d d x ( 1 x m ) = − d d x x m ( x m ) 2 , 호혜적 규칙으로 = − m x m − 1 x 2 m , 양의 정수에 적용되는 전원 규칙에 의해 m , = − m x − m − 1 = n x n − 1 , 되감아줌으로써 n = − m . {\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dx}}x^{n}&, ={\frac{d}{dx}}\,\left({\frac{1}{x^{m}}}\right)\\&, =-{\frac{{\frac{d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}},{상호적인 규칙{에 의해 \text}}\\&, =-{\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}},{전원 규칙{에 의해 \text 긍정적인 정수에 지원했다.}}m,\\&, =-mx^{-m-1}=nx^{n-1},{{다시 대체하여 \text}}n=-.m \end{정렬}}}
인수 규칙의 증명에 대한 적용 역수 법칙은 x 와 g (x ) ≠ 0에서 f 와 g 가 서로 다른 경우라고 기술한 인용 규칙의 특별한 경우다.
d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) [ g ( x ) ] 2 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\왼쪽[{\frac {f(x)}}{g(x)}\오른쪽]={\frac {g(x)f\, (x)-f(x)g'}{[g(x)]^{2}}. }
지수의 법칙은 글로 증명할 수 있다.
f ( x ) g ( x ) = f ( x ) ⋅ 1 g ( x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}}}
먼저 제품 규칙을 적용한 다음 두 번째 요인에 역수 규칙을 적용한다.
d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = d d x [ f ( x ) ⋅ 1 g ( x ) ] = f ′ ( x ) ⋅ 1 g ( x ) + f ( x ) ⋅ d d x [ 1 g ( x ) ] = f ′ ( x ) ⋅ 1 g ( x ) + f ( x ) ⋅ [ − g ′ ( x ) g ( x ) 2 ] = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) [ g ( x ) ] 2 = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) [ g ( x ) ] 2 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\왼쪽[{dx(x)}}}\frac {f(x)}\오른쪽]&={\frac {d}}{dx}\frx}\cdot {\1}{1}{g(x)}\오른쪽]\\\\ \&=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}+f(x)}\cdot {\frac {d}}{dx}}\왼쪽[{\frac {1}{g(x)}\오른쪽]\ \&=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}+f(x)\cdot \좌측[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}\오른쪽] \&={\frac {f'(x)}{g(x)}-{\frac {f(x)g'}{{[g(x)^{2}}\\&={\frac {f'(x)g(x)}{[g(x)^{2}}}. \end{정렬}}}
삼각함수의 분화에 대한 적용 역수 법칙을 사용함으로써 제2차 함수와 제2차 함수의 파생형을 찾을 수 있다.
Secant 함수의 경우:
d d x 초 x = d d x ( 1 cas x ) = − d d x cas x cas 2 x = 죄를 짓다 x cas 2 x = 1 cas x ⋅ 죄를 짓다 x cas x = 초 x 햇볕에 그을리다 x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sec x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\cos x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin x}{\cos x}}=\sec x\tan x.\end{aligned}}}
코세컨트는 유사하게 처리된다.
d d x csc x = d d x ( 1 죄를 짓다 x ) = − d d x 죄를 짓다 x 죄를 짓다 2 x = − cas x 죄를 짓다 2 x = − 1 죄를 짓다 x ⋅ cas x 죄를 짓다 x = − csc x 요람을 달다 x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\csc x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\sin x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\sin x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin x}}\cdot {\frac {\cos x}{\sin x}}=-\csc x\cot x.\end{aligned}}}
참고 항목 
같은 결과를 얻을 수 있다. 
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f\,'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8796d779957e4cbcd36d6db3cbabb756de532d1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&={\frac {d}{dx}}\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beed5ab1507340a9c2a4b3be1568d392d5602b3f)
