실제 표현

수학적 표현 이론에서 실제 표현은 대개 실제 벡터 공간 U에 대한 표현이지만, 불변 실제 구조, 즉 항이린 등가선 지도와 함께 복잡한 벡터 공간 V에 대한 표현을 의미할 수도 있다.

$♪ 디스플레이 스타일 j\colon V\to V}$

만족스러운

${\displaystyle j^{2}=+1.}$

U가 그룹 G(예를 들어)에 의해 작용하는 실제 벡터 공간이라면, V = UcC는 복잡한 결합에 의해 주어지는 반선형 등가선 지도로 복잡한 벡터 공간에 나타난 표현이기 때문에 두 가지 관점은 동등하다.반대로 V가 그렇게 복잡한 표현이라면 U를 j의 고정점 집합(유전자값 1을 갖는 아이겐스페이스)으로 복구할 수 있다.

표현을 행렬의 관점에서 구체적으로 보는 경우가 많은 물리학에서, 실제 표현은 그룹 요소를 대표하는 행렬의 항목이 실제 숫자인 것이다.이러한 행렬은 실제 또는 복잡한 열 벡터에 작용할 수 있다.

복잡한 벡터 공간의 실제 표현은 그것의 복잡한 결합 표현에 이형적인 것이지만, 그 반대는 사실이 아니다: 그것의 복잡한 결합에 이형적인 표현이지만 실제가 아닌 표현을 유사 표현이라고 부른다.불가역적 유사 표현 V는 반드시 쿼터니온적 표현이다: 불변적 쿼터니온적 구조, 즉 반선형 등가선적 지도를 인정한다.

$♪ 디스플레이 스타일 j\colon V\to V}$

만족스러운

${\displaystyle j^{2}=-1.}$

실제와 쿼터니온적 표현의 직접적인 합은 일반적으로 실제도 아니고 쿼터니온적도 아니다.

복잡한 벡터 공간에 대한 표현은 또한 그것의 복잡한 결합의 이중 표현과 이형화될 수 있다.이러한 현상은 표현에서 예를 들어 은둔자 형태와 같이 변질되지 않는 불변성 sesquilinar 형식을 인정할 때 정확히 일어난다.그러한 표현은 때때로 복잡하거나 (의사-)허미티안이라고 한다.

프로베니우스슈르 지표

성격 이론의 관점에서 돌이킬 수 없는 표현의 실체에 대한 기준(소형 그룹 G의 경우)은 프로베니우스-슈르 지표에 의해 정의된다.

${\displaystyle \int _{g\in G}\chi(g^{2})\,d\mu }$

여기서 χ은 표현상의 특징이며 μ는 μ(G) = 1. 유한집단의 경우 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {1 \over G}\sum _{g\in G}\chi(g^{2}).}$

표시기는 1, 0 또는 -1 값을 취할 수 있다.표시기가 1이면 표현은 실제다.지표가 0이면 표현은 복잡(헤르미티아어),^[1] -1이면 표현은 쿼터니온어다.

예

우리는 영 tableaux를 사용하여 수정 불가능한 표현들의 완전한 집합을 만들 수 있기 때문에 대칭 집단의 모든 표현은 진짜(그리고 사실 이성적이다)이다.

홀수차원 공간에 대한 회전 그룹의 모든 표현은 모두 기본 표현 복사본의 텐서 생산물의 하위 표현으로 나타나기 때문에, 그것은 모두 현실이다.

실제 표현에 대한 추가 예로는 k = 1, 2, 3에 대한 8k-1, 8k 및 8k+1 치수의 스핀 그룹 스피너 표현이다.이 주기성 모듈로 8은 클리포드 알제브라스의 이론뿐만 아니라 대수학적 위상에서도 KO 이론에서 알려져 있다. 스핀 표현을 참조하라.

메모들

참조

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103..
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9.