제품 적분

제품 적분은 일반적인 총량 기반 적분의 제품 기반 적분이다. 최초의 제품 적분(아래 타입 I)은 수학자 비토 볼테라가 1887년 선형 미분 방정식의 시스템을 해결하기 위해 개발했다.^[1][2] 제품 통합의 다른 예로는 기하 적분(아래 Type II), 대수 적분(아래 Type III), 그리고 비뉴턴 미적분학의 일부 다른 적분 등이 있다.^[3][4][5]

제품 통합은 역학(Kaplan-Meier 추정기)에서 곱셈 통합(다중합체), 분석 및 양자 역학을 사용한 확률적 모집단 역학까지 영역에서 사용한다는 것을 발견했다. 기하학적 적분은 기하학적 파생물과 함께 이미지 분석과^[6] 성장/디케이 현상 연구(예: 경제 성장, 박테리아 성장, 방사능 붕괴)에 유용하다.^[7][8] 빅미터 적분은 빅미터 파생상품과 함께 프랙탈의 일부 적용과 ^{[9][10][11][12]}경제학의 탄력성 이론에 유용하다.^[3][5][13]

이 글은 볼테라 등이 선호하는 "통합"${\displaystyle }$" ${\displaystyle \int$}($$일반적으로 "시간" 기호나 문자 P가 중첩되어 수정됨) 대신 제품 통합을 위해 "제품" $\prod {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \$prod }$ 표기법을$$ 채택하고 있다. 임의의 유형 분류도 채택해 현장에서 어느 정도 질서를 부여한다.

기본 정의

함수 $f{\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$→ R ${\$의 고전적 리만 적분은 관계에 의해 정의될 수 있다$$.

${\displaystyle \int _{a}^{b(x)\,dx=\lim _{\Delta x\to 0}\sum f(x_{i})\\Delta x,}$

여기서 제한은 표준이 0에 근접하는${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$의 모든 구간에 대해 취해진다.

대략적으로 말하면, 제품 통합은 비슷하지만, 총액의 한도 대신 제품의 한도를 가져간다. 그것들은 "구체적인" 제품의 "연속적인" 버전이라고 생각할 수 있다.

가장 인기 있는 제품 통합은 다음과 같다.

I형: 볼테라 적분

${\displaystyle \prod_{a}^{b}{\big (}}{1+f(x)\,dx{\big )}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {\big (},\1+f(x_{i}),\Delta x{\big )}.}$

제1종 제품 적분은 볼테라의 원래 정의에 해당한다.^[2][14][15] 스칼라 함수 $f{\displaystyle :}$[ a ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$→ R ${\$에 다음과 같은 관계가 존재한다$.$

${\displaystyle \prod_{a}^{b}{b}{\big (}1+f(x)\,dx{big )}=\ex \ef(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\right),}}$

승수 연산자가 아니에요 (따라서 제품 적분과 승적 적분의 개념은 같지 않다.)

볼테라 제품 적분은 마지막 동일성이 더 이상 참이 아닌 바나흐 대수에서 값을 갖는 행렬 값 함수 또는 함수에 적용할 때 가장 유용하다(아래 참조 참조 참조).

비규격 필드에 속하는 스칼라, 행렬, 연산자, 즉 통근하지 않는 수학적 물체에 적용할 때 볼테라 적분은 두 가지 정의로 갈라진다.

왼쪽 제품 일체형

${\displaystyle P(A,D)=\prod _{i=m}^{1}(\mathb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i}=(\mathb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m}\cdots(\mathb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1}}$

왼쪽 제품의 표기법(즉, 왼쪽부터 적용되는 일반 제품)

${\displaystyle \prod _{a}^{b}(\mathb {1} +A(t)dt)=\lim_{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)}$

올바른 제품 일체형

${\displaystyle P(A,D)^{*=\prod _{i=1}^{m}(\mathb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i}=(\mathb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1}\cdots(\mathb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m}}}$

올바른 제품의 표기법(즉, 오른쪽에서 적용)

${\displaystyle(\mathb {1} +A(t)dt)\prod_{a}^{b}=\lim_{\max \delta t_{i}\to 0}P(A,D)^{*}}}}}}$

여기서 $1{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$1}은$($는) ID 매트릭스이고 D는 리만 의미에서 구간[a,b]의 파티션이다. 즉, 한계는 파티션의 최대 간격을 초과한다. 이 경우 시간 순서가 정의에 어떻게 분명하게 나타나는지 주목하십시오.

스칼라 함수의 경우 볼테라 계통의 파생상품은 로그파생물이므로 볼테라 계통은 승수 미적분이 아니며 뉴턴 계통도 아니다.^[2]

타입 II: 기하학적 적분

${\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{dx}=\lim_{\delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\delta x}}}}}}}\ex좌우,}$

이것은 기하학적 적분이라고 불리며 승법 연산자 입니다.

이 제품 적분 정의는 이산 제품 운영자의 연속적인 아날로그 입니다.

${\displaystyle \prod_{i=a}^{b}}}$

($i{\displaystyle }$, ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ Z ${\$ $\})$ 및 승법 아날로그(정상/표준/addivity) 적분

${\displaystyle \int _{a}^{b}dx}$

($x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$]$$[\$displaystyle x\in [a,b]})$ 사용:$$

	첨가제의	승수의
별개의	${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)}$	${\displaystyle \prod _{i=a}^{b}f(i)}$
연속의	${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$	${\displaystyle \prod_{a}^{b}f(x)^{dx}}}$

로그 우도(즉, 독립 랜덤 변수의 제품 적분 로그)가 이러한 (적외적으로 많은) 랜덤 변수의 로그 적분인 확률론에서 매우 유용하다.

${\displaystyle \ln \prod_{a}^{b}p(x)^{dx}=\int_{a}^{b}\ln p(x)\,dx.}$

타입 III: 비계 적분

${\displaystyle \prod_{a}^{b}f(x)^{d(\ln x)}=\ex \ex \left(\int _{r}^{s}\ln f(e^{x}\,dx\right),}}$

여기서 r = ln a, s = ln b.

타입 III 제품 적분(integrated)은 비계 적분(bigeometric integrity)이라고 하며, 승법 연산자다.

결과.

기본결과

다음 결과는 타입 II 제품 적분(기하학적 적분)에 대한 것이다. 다른 유형은 다른 결과를 낳는다.

${\displaystyle \prod_{a}^{b}c^{dx}=c^{b-a}}$

${\displaystyle \prod_{a}^{b}x^{dx}={\frac {b^{b}}{a^{a}}{\rm{e}^{a-b}}}}}$

${\displaystyle \prod_{0}^{b}x^{dx}=b^{b}{\rm {e}^{-b}}}$

${\displaystyle \prod_{a}^{b}\왼쪽(f(x)^{k}\right)^{dx}=\dx(\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}\right)^{k},}$

${\displaystyle \prod_{a}^{b}\왼쪽(c^{f(x)}\right)^{dx}=c^{dx}=c^{\int_{a}^{b}f(x)\,dx}}$

기하학적 적분(위의 타입 II)은 기하학적 미적분학에서 중심 역할을 하는데,^[3][17][18] 이것은 승수적 미적분학이다. 기하학적 적분인 기하학적 적분인 ${\displaystyle 역}$은 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$^{*}(x)}$을$($를) 사용하여 정의된다.

${\displaystyle f^{*(x)=\exp \leftd\frac {f'(x)}{f(x)}}\오른쪽)}$

따라서 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.

기본 정리

${\displaystyle \prod_{a}^{b}f^{**(x)^{dx}=\prod_{a}^{b}\ex \frac\frac {f'(x)}}{f(b)}}}}{f(a)},}}}$

제품 규칙

${\displaystyle (fg)^{*}=f^{*}g^{*}.}$

지분의 법칙

${\displaystyle (f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}.}$

대수의 법칙

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}}{\underset {n\to \ft{\longrightarrow }}}}\prod _{x}X^{dF(x)}}}}}}}}}$

여기서 X는 확률 분포 F(x)를 갖는 랜덤 변수다.

대수의 표준 법칙과 비교해 보십시오.

${\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}{\underset {n\to \inflt{{\longrightarrow }}}}}}\{\longrightarrow }}\in X\,dF(x)(x)}$

르베그형 제품 일체형

Lebesgue 버전의 (클래식) 통합처럼 간단한 기능의 제품 통합과 근사하게 비교해 제품 통합을 계산할 수 있다. 제품 일체형의 종류마다 단순한 기능을 위한 형태가 다르다.

I형: 볼테라 적분

단순함수는 단계함수를 일반화하기 때문에, 다음에 나오는 것은 단계함수인 단순함수의 특수한 경우만을 고려할 것이다. 이것은 또한 르베그 정의와 리만 정의를 비교하는 것을 더 쉽게 만들 것이다.

${\displaystyle \mathrm{스텝}}$ 함수 ${\displaystyle }$: [ , b${\displaystyle }$→ R ${\$ f$:[a,b]\to \mathb {R}$에 해당 파티션 a= 0 < < < ${\$ 및 $태그가$지정된 $파티션$

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b,\quad x_{0}\leq t_{0}\leq x_{1},x_{1}\leq t_{1}\leq x_{2},\dots ,x_{n-1}\leq t_{n-1}\leq x_{n},}$

I형 제품 적분 "Remann 정의"의 근사치는 다음과 같다^[19].

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\왼쪽[{\big (}1+f(t_{k}}{\big )}\cdot (x_{k+1}-x_{k}\right}).}$

(I형) 제품 일체형은 대략 1931년 기사에서 루트비히 슐레신저에 의해 이러한 제품의 한계로 정의되었다.^[which?]

I형 제품 적분 "Remann 정의"의 또 다른 근사치는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\exp {\big (}f(t_{k})\cdot (x_{k+1}-x_{k}{big )}.}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 상수 함수인 경우 첫 번째 유형의 근사치 한계는 두 번째 유형의 근사치와 동일하다.^[20] 일반적으로 스텝 함수의 경우, 파티션의 단계 함수를 정의하는 파티션의 정교함이 두 번째 유형의 근사치가 파티션에 따라 달라지지 않는 반면, 첫 번째 유형의 근사치는 부품의 정교함에도 불구하고 파티션의 정밀도에 따라 달라진다.단계 함수를 정의하는 방법.

제품^[21] 통합형 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에$$대해 첫 번째 유형의 근사치가 두 번째 유형의 근사치 한계와 같다는 것이 밝혀졌다. 스텝 함수의 경우, 두 번째 유형의 근사치는 파티션의 정밀도에 따라 "정확히 미세"하지 않기 때문에 스텝 함수의 "Lebesgue(타입 I) 제품 적분"을 스텝 함수로 정의하는^[22] 것이 타당하다.

${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}}{1+f(x)\,dx{\big )}{def}{}}}}{{k=0}^{m-1}}\exp {\big (}f_{k+1}-y_{k}}}}},},},},},},},},},},},},},},},},},},},},},)}$

어디 y0<>a=s0<>y 1<>⋯<>yn− 1<>매우 n− 1<> 베nxb{\displaystyle y_{0}<, a=s_{0}<, y_{1}<, \dots <, y_{n-1}<, s_{n-1}<, y_{n}=b}은 지정된 칸막이 및 다시 a=y0<>y 1<>⋯<> 베m{\displaystyle a=y_{0}<, y_{1}<, \dots <, y_{m}}는 파티션입니다. 그 계단 함수 f{\displayst에 해당한다.$yle f}$. (대조적으로, 해당 수량은 첫 번째 유형의 근사치를 사용하여 명확하게 정의되지 않을 것이다.)

이것은 공간을 쉽게 임의로 측정할 수 있도록 일반화한다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가$)$ 있는 측정 공간인$$ 경우, 모든 제품 통합형 ${\displaystyle \mathrm{단순함수}}$ f${\displaystyle (}$x )${\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{1n}_{}}$ ${\displaystyle {K{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ A${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {x_{}}_{}}$ )${\displaystystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k$}{k$}{$k}}{k}}}}}}{k}}}}}}}}}{k}}}}}{k}}}}}{k}}}}}}}}$I_{A_{k}}(x)}$ (i.e. a conical combination of the indicator functions for some disjoint measurable sets ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X}$), its type I product integral is defined to be

${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu(x){\big )}{def}{}}}{{k=0}^{m-1}\exp {\big(}a_{k}}\big )},},},}$

since ${\displaystyle a_{k}}$ is the value of ${\displaystyle f}$ at any point of ${\displaystyle A_{k}}$. In the special case where ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mu }$ is Lebesgue measure, and all of the measurable sets ${\displaystyle A_{k}}$ are intervals, 특수 사례에 대해 위에 주어진 정의와 동일한지 검증할 수 있다. Lebesgue (일반적인) 통합 이론과 유사하게, 제품 통합 $기능{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 포함된 Volterra 제품은 제품 통합이 가능한 단순한 기능의 Volterra 제품 통합의 증가하는 시퀀스의 한계로 기록될$$ 수 있다.

위 정의의 양쪽에 대한 로그를 취하면 제품 통합이 가능한 단순 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 대해 다음과 같은 로그를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \ln \left(\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\right)=\ln \left(\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )}\right)=\sum _{k=0}^{m-1}a_{k}\mu (A_{k})=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\iff }$

${\displaystyle \prod_{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu(x){\big )=\exp \left(\int_{X}f(x)\,d\mu(x)\right),}}$

여기서 우리는 간단한 기능에 대한 적분 정의를 사용했다. 더욱이 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \exp }$과 같은 연속적인 기능은 한계와 상호 교환할 수 있으며$$, 제품 통합 기능 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 제품 일체화는 단순한 기능의 제품 통합의 한계와 같기$$ 때문에 그 관계가 뒤따른다.

${\displaystyle \prod_{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu(x){\big )=\exp \left(\int_{X}f(x)\,d\mu(x)\right),}}$

일반적으로 모든 제품 통합형 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대한 보유$.$ 이것은 위에서 언급한 재산을 분명히 일반화한다.

볼테라 제품 일체형은 세트함수로써 승화성이 있으며,^[23] 위의 속성을 이용하여 나타낼 수 있다. 좀 더 구체적으로, 제품 $통합형{\displaystyle }$ 함수$$f {\$displaystyle f}$을(를) 지정하면$$ 모든 측정 가능한 $세트{\displaystyle }$ $B$⊆ ${\displaystyle$${\v}_{f}$를 정의함으로써$$ 세트 $함수{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ f를 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\cal {V}}_{f}(B){\overset {def}{=}}\prod _{B}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{X}{\big (}1+(f\cdot I_{B})(x)\,d\mu (x){\big )},}$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B{}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle I_{B}(x)}$은(는) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 표시기 기능을 나타낸다$$$.$ 그러면 두 개의 불연속 측정 가능 집합 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$B ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}개 중 하나가$$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {V}}_{f}(B_{1}\sqcup B_{2})&=\prod _{B_{1}\sqcup B_{2}}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\\&=\exp \left(\int _{B_{1}\sqcup B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}f(x)\,d\mu(x)+\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu(x)\오른쪽)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}f(x)\,d\mu(x)\right)\exp \exp \ef(int _{B_{2}}f(x)\,d\mu(x)\right)\\\&=\prod _{B_{1}(1+f(x)d\mu(x))\prod _{B_{2}}(1+f(x)\,d\mu(x))\\&={\cal {{V}_{f}(B_{1}){\cal {V}{f}(B_{2}){\cal {V}}.\end{정렬}}}$

이 특성은 가법 집합 함수인 측정값과 대조될 수 있다.

그러나 볼테라 제품 일체형은 기능으로서 승산이 없다. ${\displaystyle \mathrm{제품}}$ 통합 기능 $f{\displaystyle }$, g ${\displaystyle f,g}$및 측정 가능한 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을$($를) 고려할 때 일반적으로 다음과 같은 경우

${\displaystyle \prod _{A}{\big (}1+(fg)(x)\,d\mu (x){\big )}\neq \prod _{A}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\prod _{A}{\big (}1+g(x)\,d\mu (x){\big )}.}$

타입 II: 기하학적 적분

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가$)$ 있는 측정 공간인$$ 경우, 모든 제품 통합형 ${\displaystyle \mathrm{단순함수}}$ f${\displaystyle (}$x )${\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{1n}_{}}$ ${\displaystyle {K{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ A${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {x_{}}_{}}$ )${\displaystystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k$}{k$}{$k}}{k}}}}}}{k}}}}}}}}}{k}}}}}{k}}}}}{k}}}}}}}}$I_{A_{k}}(x)}$ (i.e. a conical combination of the indicator functions for some disjoint measurable sets ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X}$), its type II product integral is defined to be

${\displaystyle \prod_{X}f(x)^{d\mu(x)}{def}{=}}}}{k=0}^{m-1a_{k}^{k}^{mo(A_{k})}}}}.}$

이는 위에 주어진 정의를 일반화하는 것으로 볼 수 있다.

양쪽의 로그를 보면, 제품 통합이 가능한 모든 단순 $함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$에 대해 다음과 같은 것을 알 수 있다$.$

${\displaystyle \ln \left(\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}\right)=\sum _{k=0}^{m-1}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\iff \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right),}$

여기서 우리는 간단한 기능들을 위해 르베그 일체형의 정의를 사용했다. 위에서 이미 이루어진 것과 유사한 이 관찰은 "기하적 통합의 르베그 이론"을 (일반적) 통합의 르베그 이론으로 완전히 축소시킬 수 있게 한다. 즉 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \exp },$ ${\displaystyle \mathrm{ln<img\; alt="\backslash exp\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4d1185b570f67b4221307626254f64f9e619e769"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:3.552ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="381">}}$ ${\displaystyle \ln }$과 같은 연속적인 기능은 한계와 상호 교환할 수 있으며, 제품 통합 $기능{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 제품 통합 순서의 일부 증가 제한과 동일하기 때문에 다음과 같다. 관계

${\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu(x)}=\exp \left(\int_{X}\ln f(x)\,d\mu(x)\오른쪽)}$

일반적으로 모든 제품 통합형 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대한 보유$.$ 이것은 위에서 언급한 기하학적 통합의 속성을 일반화한다.

참고 항목

• 대체 캘컬리의 파생상품 및 통합 목록
• 무기한상품
• 로그파생상품
• 순서 지수
• 프랙탈 유도체

참조

외부 링크

• 논뉴턴 미적분 웹사이트
• Richard Gill, 제품 통합
• Richard Gill, 제품 일체형 기호
• 데이비드 마누라, 제품 미적분학
• 타일러 네일론, 엔을 위한 손쉬운 경계!
• 다중골(제품)과 Dx-less 미적분학 소개
• 방만 방정식에 대한 참고 사항
• 안토닌 슬라비크, 제품 통합 소개
• Antonyn Slavik, Henstock-Kurzweil 및 McShane 제품 통합