선형복합구조

수학에서, 실제 벡터 공간 V의 복잡한 구조는 -I로 정사각형인 V의 자동 형태다.이러한 V의 구조는 V를 복잡한 벡터 공간으로 간주하기 위해 복잡한 스칼라에 의한 곱셈을 표준적인 방식으로 정의할 수 있게 한다.null

모든 복잡한 벡터 공간은 호환 가능한 복잡한 구조를 갖출 수 있지만, 일반적으로 그러한 구조는 존재하지 않는다.복잡한 구조는 복잡한 다지관과 대조적으로 거의 복잡한 다지관의 정의에 필수적인 역할을 하는 복잡한 기하학뿐만 아니라 표현 이론에서도 응용이 가능하다.복합구조(complex structure)라는 용어는 다지관의 이 구조를 가리키는 경우가 많은데, 벡터 공간의 구조를 대신 지칭할 때는 선형 복합구조라고 할 수도 있다.null

정의 및 속성

실제 벡터 공간 V의 복잡한 구조는 실제 선형 변환이다.

$J:V\to V}$

그런

${\displaystyle J^{2}=-\mathrm {Id} _{V}.}$

여기서 J는² 자신과 함께 구성된 J를 의미하며 Id는_V V의 ID 맵이다.즉, J를 두 번 적용하는 효과는 곱셈 by -1과 같다.이것은 상상의 단위인 i에 의한 곱셈을 연상시킨다.복잡한 구조는 복잡한 벡터 공간의 구조로 V를 기부할 수 있게 해준다.복잡한 스칼라 곱셈은 다음에 의해 정의될 수 있다.

${\displaystyle (x+iy)v=xv+yJ(v)}$

모든 실수 x,y 및 V의 모든 벡터 v에 대해.실제로 이것이 V에게 우리가 V를_J 나타내는 복잡한 벡터 공간의 구조를 제공한다는 것을 확인할 수 있다.

다른 방향으로 나아가면 복잡한 벡터 공간 W로 시작하면 모든 w에 대해 jw = iw를 정의함으로써 기초적인 실제 공간에 복잡한 구조를 정의할 수 있다.

좀 더 형식적으로, 실제 벡터 공간의 선형 복합 구조는 실제 수에 대한 연관 대수로서 생각되는 복잡한 숫자 C의 대수적 표현이다.이 대수학은 다음과 같이 구체적으로 실현된다.

${\displaystyle \mathb {C} =\mathb {R} [x]/(x^{2}+1),}$

이² 값은 i = -1에 해당한다.그 다음 C의 표현은 V에 대한 C의 작용(지도 C → End(V))과 함께 실제 벡터 공간 V이다.구체적으로, 이것은 대수학을 생성하기 때문에 i의 작용에 불과하며, i(End(V)에서 i의 이미지)를 나타내는 연산자는 정확히 J이다.

V에_J 복잡한 치수 n이 있는 경우 V에는 실제 치수 2n이 있어야 한다.즉 유한차원 공간 V는 고른 차원일 경우에만 복잡한 구조를 인정한다.모든 고차원 벡터 공간이 복잡한 구조를 인정한다는 것은 어렵지 않다.Je = f와 Jf = -e에 의한 기본 벡터의 쌍 e, f에 대해 J를 정의한 다음 모든 V에 대해 선형성에 의해 확장될 수 있다. (v₁, …, v_n)가 복잡한 벡터_J 공간 V의 기본이라면₁ (v₁, Jv, …, v_n, Jv_n)는 기초적인 실제 공간 V의 기본이다.

실제 선형변환 A : V → V는 A가 J와 통근하는 경우에만, 즉 만약의 경우에 한해서만 해당 복합공간 V의_J 복잡한 선형변환이다.

$(\displaystyle AJ=JA).}$

마찬가지로, V의 실제 하위 공간 U는 J가 U를 보존할 경우에만, 즉 U를 보존할 경우에만, 즉 U를 보존할 경우에만 V의_J 복잡한 하위 공간이다.

$JU=U.}$

예

Cⁿ

선형 복합 구조의 근본적인 예는 C의ⁿ 복합 구조에서 나오는 R의²ⁿ 구조물이다.즉, 복잡한 n차원 공간 C도ⁿ 실제 2n차원 공간(같은 벡터 덧셈과 실제 스칼라 곱셈을 사용함)인 반면, 복합수 i에 의한 곱셈은 공간의 복잡한 선형 변환일 뿐만 아니라, 복잡한 벡터 공간으로 생각될 뿐만 아니라, 실제의 선형 변환이라고 생각되는 공간의 실제 선형 변환이기도 하다.벡터 공간구체적으로, 이것은 i에 의한 스칼라 곱셈이 실제 숫자 i (${\displaystyle \lambda }$ v${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle \lambda }$) v${\displaystyle }$= (${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle i}$) ${\displaystyle v}$ = (${\displaystyle \lambda }$ i ) ${\displaystyle v}$= ${\displaystyle \lambda }$( ${\displaystyle i}$) ${\displaysty i(\lambda v)=(\lambda i)v=\lambda (iv)$ –$$로 분산되기 때문이다.복잡한 n×n 행렬로서, 이것은 대각선 상에 i가 있는 스칼라 행렬일 뿐이다.해당 실제 2n×2n 매트릭스는 J로 표시된다.

Given a basis ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}}$ for the complex space, this set, together with these vectors multiplied by i, namely ${\displaystyle \left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\},}$ form a basis for the real space. There are two natural ways to order this basis, corresponding abstractly to whether one writes the tensor product as ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ or instead as ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C}$$\otimes _{\mathb {R} }\mathb {R} ^{n}.$$}$

기초를${\displaystyle }${e ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$e ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle e}$n , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{}}$,$${\$displaystyle \left\{e_{1},ie_{2},\dots ,e_{n$}, $e_{n},$\n}\$right\}$로 주문할$$ 경우 J의 매트릭스는 블록 대각선 형태(차원에 추가됨)를 취한다.null

${\displaystyle J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&\ddots \\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\&\dots \\&&J_{2}\end{bmatrix}.}$

이 순서는 복잡한 벡터 공간의 직접 합계를 존중한다는 장점이 있다. 즉, ${\displaystyle {}^{}}$서 C m${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ C n ${\$에 대한 $기초$는 C${\displaystyle {}^{}}$ + ${\displaystyle n^{}}$.$${\$displaystysty \mathb$ {$C} ^{m+n$}}$$^{m+n}}}}}} ^{{m+n}}}}}의 기초와 동일하다.$}$

On the other hand, if one orders the basis as ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}}$, then the matrix for J is block-antidiagonal:

${\displaystyle J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}.}$

이 순서는 복잡한 공간을 실제 공간의 직접적인 합으로 생각한다면 더 자연스럽다.null

J 행렬이 복잡한 곱셈을 정의할 수 있기 때문에 실제 벡터 공간과 J 행렬의 데이터는 복합 벡터 공간의 데이터와 정확히 동일하다.리알헤브라와 리 그룹의 수준에서 이는 gl(2n,R)에 gl(n,C)을 포함(Lie Algebras – matrix, 반드시 변환 불가능한 것은 아님)과 GL(2n,R)에 gl(n,C)을 포함하는 것과 일치한다.

gl(n,C) < gl(2n,R)>과 gl(n,C) < gl(2n,R)>.

포함은 복잡한 구조를 잊어버리는 것과 일치하며(그리고 실제 구조를 유지하는 것에만 해당), 부분군 GL(n,C)은 J:와 함께 통근하는 행렬로 특징지어질 수 있다(공식).

${\displaystyle \mathrm {GL}(n,\mathb {C})=\left\{A\in \mathrm {GL}(2n,\mathb {R} )\mid AJ=JA\right\}.}$

리알헤브라에 대한 해당 문장은 복합 매트릭스의 서브알헤브라가 사라지는 것으로$,{\displaystyle }$ 즉$$ J${\displaystyle ,}$ [${\displaystyle J}$ , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0;}$ ${\displaystyle [J,$ A$];$ {\displaystyle [$J$$,]={\displaystyle }$0$;}$을(를) 의미하며, J, [${\displaystyle J}$, -${\displaystyle ]}$로 브라켓팅 맵의 커널로서, [$J-]$을 의미한다$.$$}$

Note that the defining equations for these statements are the same, as ${\displaystyle AJ=JA}$ is the same as ${\displaystyle AJ-JA=0,}$ which is the same as ${\displaystyle [A,J]=0,}$ though the meaning of the Lie bracket vanishing is less immediate geometrically than the meaning of commu팅팅팅팅

직합

V가 어떤 실제 벡터 공간인 경우, V가 제공한 직접 합 V ⊕ V에 표준 복합 구조가 있다.

$[\displaystyle J(v,w)=(-w,v).}$

J의 블록 매트릭스 형태는

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\$는 V의 ID 맵이다.이는 텐서 제품 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \otimes {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$. ${\displaystyle \mathb {C} \otimes _{\mathb {R} }V.}$의 복잡한 구조에 해당한다.

다른 구조와의 호환성

만약 B가 V에 이선형이라면, 우리는 J가 B를 보존한다고 말한다.

모든 u에 대하여 v v V. 등가특징은 J가 B:에 대하여 꼬치꼬치(skew-adjoint)라는 것이다.

g가 V의 내부 제품인 경우 J는 직교 변환인 경우에만 g를 보존한다.마찬가지로 J는 J가 동정적 변환(만약 $\Omega$($\mathrm{Ju},$ $\mathrm{Jv}$)$$= $\Omega (u$, $v$) ${\textstyle \omega(Ju,Jv)=\omega(u,v)}$인 경우에만 비데오네이트, 스큐-대칭 형식 Ω을 보존한다.$$공통형식 Ω의 경우 J와 Ω 사이의 흥미로운 호환성 조건은

V에서 0이 아닌 모든 U를 보유한다.만약 이 조건이 충족된다면, 우리는 JtamesΩ(동명: 저 Ω은 J에 대해 길들여진다; J는 Ω에 대해 길들여진다; 또는 쌍$(\Omega$, $J$) ${\textstyle (\omega ,J)}$이 길들여진다$$)라고 말한다.null

V에 Ω과 선형 복합 구조 J를 적용하면, 다음과 같이 V에 연결된 이선형 형태_J g를 정의할 수 있다.

왜냐하면 동정적 형태는 퇴화되지 않기 때문에, 연관된 이선형 형태도 퇴화하지.관련 양식은 J가 공감형 형태인 경우에만 보존한다.더욱이, 만약 J에 의해 동정형 형태가 보존된다면, 관련 형태는 대칭이다.덧붙여 Ω이 J에 의해 길들여진다면, 관련 형태는 양적으로 확실하다.따라서 이 경우 V는 g에_J 대한 내부 제품 공간이다.

If the symplectic form ω is preserved (but not necessarily tamed) by J, then g_J is the real part of the Hermitian form (by convention antilinear in the first argument) ${\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }$ defined by

복잡성과의 관계

실제 벡터 공간 V에 따라 우리는 스칼라의 확장에 의한 그것의 복잡성을 정의할 수 있다.

${\displaystyle V^{\mathb {C}}=V\otimes _{\mathb {R}}\mathb {C}}$

이것은 복잡한 차원이 V의 실제 차원과 동일한 복잡한 벡터 공간이다.그것은 표준 복합적 결합을 가지고 있다.

${\displaystyle {\overline {v\otimes z}=v\otimes {\bar {z}}$

J가 V의 복잡한 구조인 경우, 우리는 J를 V^C:

$[\displaystyle J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.}$

C는 대수적으로 닫혀 있기 때문에 J는 λ² = -1을 만족하는 고유값, 즉 λ = ±i를 갖는 것이 보장된다.그러므로 우리는 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle V^{\mathb {C}}}=V^{+}\oplus V^{-}}$

여기서 V와⁺ V는⁻ 각각 +i와 -i의 영역이다.복합적 결합은⁺ V와 V의⁻ 상호변화를 의미한다.V^± Eigenspace에 대한 투영 맵은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle {\mathcal{P}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).}$

하도록

${\displaystyle V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.}$

V와_J V⁺ 사이에는 자연 복합 선형 이형성이 있으므로 이러한 벡터 공간은 동일하게 간주할 수 있는 반면 V는⁻ V의_J 복잡한 결합으로 간주할 수 있다.

V에_J 복잡한 치수 n이 있는 경우 V와⁺ V⁻ 모두 복잡한 치수 n을 갖는 반면 V는^C 복잡한 치수 2n을 갖는다는 점에 유의하십시오.null

추상적으로 복잡한 벡터 공간 W로 시작해서 기초적인 실제 공간의 복잡화를 취하면 W와 그 결합의 직접 합에 이형적인 공간을 얻는다.

${\displaystyle W^{\mathb {C}}\cong W\oplus {\overline {W}.}$

관련 벡터 공간에 대한 확장

V를 복잡한 구조 J를 가진 진짜 벡터 공간이 되게 하라.이중 공간 V*에는 J의 이중(또는 전치)에 의해 주어지는 자연 복합 구조 J*가 있다.따라서 이중 공간의 복잡화(^CV*)는 자연 분해된다.

${\displaystyle (V^{*})^{\mathb {C}}}=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*}}}^{-}}}$

J*의 ±i 에겐스페이스로.(V^C*)^C와 (V*)*의 자연적 식별 하에, V에서⁻ 사라지는 복잡한 선형 함수로서 (V*)⁺ 특성을 나타낼 수 있다.마찬가지로 (V*)⁻는 V에서⁺ 사라지는 복잡한 선형 함수로 구성된다.

V^C 위에 있는 (복잡한) 텐서, 대칭, 외부 알헤브라는 분해도 인정한다.외부 대수학은 아마도 이 분해의 가장 중요한 응용일 것이다.일반적으로 벡터 공간 U가 분해 U = S ⊕ T를 인정하면 U의 외부 파워는 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\displaystyle \Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\time(\Lambda ^{q}T)}$

따라서 V의 복잡한 구조 J는 분해를 유도한다.

${\displaystyle \lambda ^{r}\,V^{\mathb {C}}=\bigoplus _{p+q=r}\lambda ^{p,q}\,V_{J}}}}}$

어디에

${\displaystyle \lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\\\stackrel {def}{def}}}}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\회(\Lambda ^{q}\,V^{-}-}}}}).}$

모든 외부 파워는 복잡한 숫자에 의해 장악된다.따라서 V에_J 복잡한 치수 n(실제 치수 2n)이 있으면

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.}$

Vandermonde의 정체성의 결과로 치수가 정확하게 합산된다.null

(p,q)-폼 form^p,q_J V*의 공간은 (복잡한) V의^C 다중선 형태 공간이며, 이 공간은 p가 V에서⁺, q가 V에서⁻ 오지 않는 한 동질 원소 위에서 사라진다.또한 λ^p,q V_J*를 p 용어의 복합 선형과 q 용어의 결합 선형으로 V에서_J C까지의 실제 다중선형 지도의 공간으로 간주할 수 있다.null

이러한 아이디어를 적용하려면 복잡한 차이점 형태와 거의 복잡한 다지관을 참조하십시오.null

참고 항목

• 거의 복잡한 다지관
• 복합다지관
• 복합미분형
• 복합결합벡터공간
• 에르미트 구조
• 실물구조

참조

• 고바야시 S.와 노미즈 K, 미분 기하학의 기초, 존 와일리 & 선즈, 1969.null ISBN0-470-49648-7. (복잡한 구조는 제2권 IX장 제1절에서 논한다.
• 부디니치, P.와 트라우트만 A.1988년 스프링거-베를라크의 스피노럴 체스보드.ISBN 0-387-19078-3. (복잡한 구조는 섹션 3.1에서 논의된다.)
• 골드버그 S.I., 곡률과 호몰로지, 도버 출판물, 1982.ISBN 0-486-64314-X. (복잡한 구조물과 거의 복잡한 다지관은 섹션 5.2에서 논의한다.)