커버링 그룹

수학에서 위상학군 H의 피복군(covering group)은 H의 피복공간 G로 G는 위상학군이고 피복지도 p : G → H는 연속적인 집단 동형성이다.지도 p는 피복동형(covering homomorphism)이라고 한다.자주 발생하는 경우는 이중 커버 그룹, 즉 H가 G에 지수 2를 갖는 위상학적 이중 커버 그룹이다. 예로는 스핀 그룹, 핀 그룹, 메타폴틱 그룹이 있다.null

대략 설명하자면, 예를 들어, 메타폴틱 그룹 Mp가_2n 공감 그룹 Sp의_2n 이중 커버라고 하는 것은, 공감 그룹 내에서 하나의 요소를 나타내는 메타폴틱 그룹에는 항상 두 개의 요소가 있다는 것을 의미한다.null

특성.

G를 H의 커버 그룹이 되게 하라.피복동형성의 커널 K는 H의 정체성에 대한 섬유일 뿐이며 G의 이산 정상 부분군이다.K 커널은 G가 Hausdorff일 경우에만 G로 닫힌다(H가 Hausdorff일 경우에만).다른 방향으로 가면 G가 위상학 그룹이고 K가 G의 이산 정상 부분군이라면, 지수 p : G → G/K는 동형성을 포괄하는 동형성이다.null

만약 G가 연결되어 있다면 K는 이산형 정상 부분군으로서 G의 중앙에 위치해야 하며 따라서 아벨리안이다.이 경우 H = G/K의 중심은 다음과 같이 주어진다.

$(\displaystyle Z(H)\cong Z(G)/K.}$

모든 덮개 공간과 마찬가지로 G의 기본 집단은 H의 기본 집단에 주입한다. 위상학 집단의 기본 집단은 항상 아벨리안이기 때문에 모든 덮개 집단은 정상적인 덮개 공간이다.특히 G가 경로로 연결된 경우, 지수 그룹 ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle H}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \pi _{1}(H)/\pi _{1}(G)}$이(가) K와 이형화된다$$.K 그룹은 단순히 섬유질(좌측 코스셋일 뿐)에 대해 오른쪽 곱셈으로 단순히 트랜스적으로 작용한다.G 그룹은 H에 대한 K-bundle이다.

G가 H의 커버 그룹이라면 G와 H 그룹은 국소적으로 이형성이다.더욱이 국소적으로 연결된 두 개의 이형성 그룹 H와₁ H를₂ 고려할 때, H가₁ G/K에₁ 이형성이고 H가₂ G/K에₂ 이형성이라는 이산 정상 부분군₁ K와₂ K를 가진 위상학 그룹 G가 존재한다.

피복공간의 그룹구조

H를 위상학 집단이 되게 하고 G를 H의 피복공간이 되게 한다. G와 H가 둘 다 경로연결되어 있고 국소경로가 연결되어 있다면, e h H에 대한 섬유에 있는 요소 e*의 선택을 위해 G에는 고유한 위상학집단 구조가 존재하며, 그 피복지도 p : G → H는 동질성이 된다.null

공사는 다음과 같다.a와 b를 G의 요소가 되게 하고 f와 g를 각각 e*에서 시작하여 a와 b에서 끝나는 G의 경로가 되게 한다.경로 h : I → H by h(t) = p(f(t)p(g(t))를 정의한다.커버 공간의 경로 리프팅 특성에 의해 초기 지점 e*과 함께 h에서 G까지의 독특한 리프트가 있다.제품 ab는 이 경로의 끝점으로 정의된다.시공으로 p(ab) = p(a)p(b)가 있다.이 정의가 f와 g 경로의 선택과 무관하며, 또한 그룹 운영이 연속적이라는 것을 보여줘야 한다.null

또는 커버 맵 G × G → H × G → H × G의 리프팅 특성을 이용하여 G에 대한 그룹법 H × H → H × H를 해제하여 G에 대한 그룹법을 구성할 수 있다.

연결되지 않은 사례는 흥미롭고, 테일러와 브라운 무콕이 아래에 인용한 논문에서 연구한다.본질적으로 커버 맵이 형태론이라고 하는 위상학 그룹인 유니버설 커버의 존재에 대한 방해물이 있다: 이 방해물은 정체성에 G의 기본 그룹에 계수가 있는 G 성분 그룹의 세 번째 공동 호몰로지 그룹에 있다.null

유니버설 커버 그룹

만약 H가 경로연계, 국소연계, 반자동으로 간단하게 연결된 그룹이라면, 그것은 보편적인 커버를 가지고 있다.이전의 구조에 의해 범용 커버는 커버 맵과 함께 연속적인 동형성을 갖는 위상학적 그룹으로 만들어질 수 있다.이 그룹은 H의 유니버설 커버 그룹이라고 불린다.우리가 아래에 주는 보다 직접적인 건설도 있다.null

PH를 H의 경로군이 되게 하라.즉, PH는 콤팩트 오픈 토폴로지와 함께 ID를 기반으로 H의 경로 공간이다.경로의 산물은 점 곱셈에 의해 주어진다. 즉, (fg)(t) = f(t)g(t)이것은 PH에게 위상학 집단의 구조를 준다.각 경로를 끝점으로 보내는 자연군 동형성 PH → H가 있다.H의 범용 커버는 null-homotic 루프의 정상 부분군에 의한 PH의 몫으로 주어진다.투영 PH → H는 피복지도를 주는 지수로 하강한다.유니버설 커버가 단순히 연결되어 있고 알맹이가 H의 기본 그룹일 뿐이라는 것을 보여줄 수 있다.즉, 우리는 짧은 정확한 순서를 가지고 있다.

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(H)\to {\tilde{H}\to 1}$

여기서 $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$는 H. Concretly의 범용 커버 그룹이며, H의 범용 커버 그룹은 H의 경로에 대한 호모토피 클래스의 공간이며, 경로의 점증적 곱셈이다.커버링 맵은 각 경로 클래스를 끝점으로 전송한다.null

커버 그룹 격자

위의 내용에서 알 수 있듯이, 한 집단이 (경로 연결, 국소 경로 연결, 반자동 연결인 경우), 이산 중심과 함께 범용 피복 그룹이 커버하는 모든 위상학적 집단의 집합이 격자를 형성하며, 이는 범용 co 중심 부분군의 격자에 해당한다.검증 그룹: 부분군의 포함은 지수 그룹의 포함에 해당한다.최대 요소는 범용 커버 $그룹{\displaystyle \stackrel{}{}}$ H ~${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\tilde{H},$ 최소$$ 요소는 범용 커버 그룹 모드의 중심인 $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$/ ${\displaystyle Z(H\stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {H}/Z({\tilde {H$

이것은 대수적으로 최대 요소로서 보편적인 완벽한 중심 확장("커버링 그룹"이라 불리며, 유추에 의해)에 해당하며, 집단은 최소 요소로서 중심을 조절한다.null

이러한 그룹들은 모두 특정 리 대수학의 (연결된) 실현이기 때문에 이것은 리 그룹에게 특히 중요하다.많은 Lie 그룹의 경우 중심은 스칼라 매트릭스 그룹이며, 따라서 그룹 모드의 중심은 Lie 그룹의 프로젝트화다.이러한 커버는 리 그룹의 투사적 표현을 연구하는데 중요하며 스핀 표현은 스핀 그룹의 발견으로 이어진다: 리 그룹의 투사적 표현은 그룹의 선형 표현에서 오는 것이 아니라 일부 커버 그룹의 선형 표현, 특히 범용 커버리지 g에서 오는 것이다.유한 아날로그는 위에서 논의한 바와 같이 커버 그룹이나 슈르 커버로 이어졌다.null

핵심 예는 센터 {±1} 및 기본 그룹 Z를 가진₂ SL(R)에서 발생한다.중심 없는 투영 특수 선형군 PSL₂(R)의 이중 커버로, 중심에서 지수를 취함으로써 얻는다.By Iwasawa decomposition, both groups are circle bundles over the complex upper half-plane, and their universal cover ${\displaystyle {\mathrm {S} {\widetilde {\mathrm {L} _{2}(}}\mathbf {R} )}}$ is a real line bundle over the half-plane that forms one of Thurston's eight geometries.반평면은 수축이 가능하기 때문에 모든 묶음 구조는 사소한 것이다.범용 커버에 있는 SL₂(Z)의 프리이미지는 세 가닥의 브레이드 그룹에 이형성이다.null

거짓말 그룹

위의 정의와 구조는 모두 Lie 그룹의 특수한 경우에 적용된다.특히 다지관의 모든 피복은 다지관이며 피복 동형성은 평탄한 지도가 된다.마찬가지로, Lie 그룹의 이산 정상 부분군을 고려할 때, 지수 그룹은 Lie 그룹이고, 지수 지도는 동형성을 포괄하는 것이다.null

두 개의 Lie 그룹은 그들의 Li Algebras가 이형성인 경우에만 국소적으로 이형성이 있다.이는 리 알헤브라에 유도된 지도가 있는 경우에만 리 그룹의 동형성 φ : G → H가 동형성을 포괄하는 동형성임을 암시한다.

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}\to {\mathfrak {h}}$

이소모르프다.null

모든 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 대해 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$과(와) 단순하게 연결된 Lie 그룹 G가 H와 동일한 Lie 대수인 (유니크) 그룹 G가 있기$$ 때문이다$.$

예

• 원 그룹 T의 범용 커버 그룹은 지수 함수 exp: R → T에 의해 주어지는 커버 동형성을 가진 실수 R의 첨가 그룹이다.지수 맵의 커널은 Z와 이형이다.
• 어떤 정수 n에 대해서도 우리는 z를 z로ⁿ 보내는 T → T 자체로 원의 커버 그룹을 가지고 있다.이 동형성의 알맹이는 통일의 n번째 뿌리로 구성된 순환집단이다.
• 회전 그룹 SO(3)는 쿼터니온의 버시버 그룹에 이형인 그룹 SU(2)를 범용 커버로 한다.이것은 커널이 주문 2. (tangloids)를 가지고 있기 때문에 이중 커버 입니다.
• 단일 군집 U(n)는 p(z, A) = zA에 의해 주어지는 커버링 동형성으로 콤팩트 그룹 T × SU(n)가 커버한다.범용 커버는 R × SU(n)이다.
• 특수 직교 그룹 SO(n)에는 스핀 그룹 스핀(n)이라는 더블 커버가 있다.n ≥ 3의 경우 스핀 그룹은 SO(n)의 범용 커버가 된다.
• n ≥ 2의 경우, 특수 선형 그룹 SL(n, R)의 범용 커버는 행렬 그룹이 아니다(즉, 충실한 유한차원 표현을 가지고 있지 않다).

참조

• Pontryagin, Lev S. (1986). Topological Groups. trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu (3rd ed.). Gordon & Breach Science. ISBN 2-88124-133-6.
• Taylor, R.L. (1954). "Covering groups of nonconnected topological groups". Proc. Amer. Math. Soc. 5: 753–768. doi:10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0. JSTOR 2031861. MR 0087028.
• Brown, R.; Mucuk, O. (1994). "Covering groups of nonconnected topological groups revisited". Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 115 (1): 97–110. arXiv:math/0009021. Bibcode:2000math......9021B. CiteSeerX 10.1.1.236.9436. doi:10.1017/S0305004100071942.