호모토피

위에 표시된 두 개의 점선 경로는 끝점에 상대적인 동위원소입니다.애니메이션은 하나의 가능한 호모토피를 나타냅니다.

토폴로지에서 위상 공간 다른라고 불린다homotopic(고대 그리스어:ὁμός homós", 비슷한"과τόπος tópos"장소")에서, 수학의 지점, 2연속 기능 누군가의"지속적으로 기형의" 수 있게 되는 변형은 homotopy(/həˈmɒtəpiː[1]hə-MO-tə-pee라고 불리는 것;/ˈhoʊmoʊˌtoʊpiː[2]HOH-m.oh-toh두 기능 사이에 -420)이 있습니다.호모토피의 주목할 만한 용도는 대수 위상에서 ^[3]중요한 불변량인 호모토피 군과 코호모토피 군의 정의이다.

실제로 특정 공간에서 호모토피를 사용하는 데는 기술적인 어려움이 있습니다.대수적 위상학자들은 콤팩트하게 생성된 공간, CW 복합체 또는 스펙트럼으로 작업한다.

형식적 정의

R: "도넛의 표면"과 "커피 머그컵의 표면"에³ 토러스 두 개의 매립물 사이의 호모토피.이것도 아이소토피의 예입니다.

형식적으로 위상공간 X에서 위상공간 Y로의 2개의 연속함수 f, $H:X\times [0,1]\to Y$ 사이의 호모토피는 공간 X의 곱에서 다음과 $H(x,0)=f(x)$ $H(x,0)=f(x)$ 구간 [0 $H:X\times [0,1]\to Y$ 1 $H:X\times [0,1]\to Y$ 에서 $H(x,0)=f(x)$ Y $(\displaystyle$ H $:X$ $H(x,0)=f(x)$ $times [0, 1]\to$ Y $)$ 로 $H:X\times [0,1]\to Y$ 정의된다. $x)}$ 및 $H(x,0)=f(x)$ $H(x,1)=g(x)$ ) $=$ $)(x$ ), $모든$ $x\in X$ $x\in X$ (\ $displaystyle$ $H(x,1)=g(x)$ x $\in$ X $x\in X$ 의 $H(x,1)=g(x)$ 경우 $.$

만약 우리가 H의 두 번째 매개변수를 시간으로 생각한다면, H는 f의 g로의 연속적인 변형을 설명한다: 시간 0에서 우리는 함수 f를 가지고 시간 1에서 함수 g를 갖는다.또한 두 번째 파라미터는 슬라이더가 0에서 1로 이동할 때 f에서 g로 부드럽게 이행할 수 있는 "슬라이더 컨트롤"이라고 생각할 수 있습니다.

다른 표기법은 두 개의 연속 $f,g:X\to Y$ f $f,g:X\to Y$ $f,g:X\to Y$ $f,g:X\to Y$ $f,g:X\to Y$ {\ $displaystyle$ f $,g:X\to$ Y} 사이의 $f,g:X\to Y$ 호모토피가 연속 $h_{t}:X\to Y$ $h_{t}:X\to Y$ t $h_{t}:X\to Y$ : $h_{t}:X\to Y$ $h_{t}:X\to Y$ { $displaystyle h_{t}$ 의 패밀리라고 하는 것입니다.t $h_{t}:X\to Y$ $t\in [0,1]$ [ $t\in [0,1]$ , $]{$ $display style$ t \ $in [ 0$ , $1$ $]{$ $display$ style h $h_{0}=f$ $_$ { 0 } $= f$ } $h_{1}=g$ $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ h $h_{1}=g$ $= g$ ( $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ , $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ t $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ ( $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ x )\ $display$ style $( x$ , $t )\ map$ h $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ _ t $}$ $Y$ . 두 버전은 h $h_{t}(x)=H(x,t)$ ( $h_{t}(x)=H(x,t)$ ) $=$ ( $h_{t}(x)=H(x,t)$ , $h_{t}(x)=H(x,t)$ )\ $displaystyle h_{t}(x$ )= 를 $h_{t}(x)=H(x,t)$ 하면 일치합니다. $H(x,t$ 각 맵 $h_{t}(x)$ t $)$ { $displaystyle h_{t}(x)}$ 을 $h_t(x)$ (^[4]를) 연속적으로 만들 필요는 없습니다.

The animation that is looped above right provides an example of a homotopy between two embeddings, f and g, of the torus into R3. X is the torus, Y is R3, f is some continuous function from the torus to R3 that takes the torus to the embedded surface-of-a-doughnut shape with which the animation starts; g is some continuous function that takes the 바위 산내장형 표면으로 이동시켜줄 수 있습니다.애니메이션은 파라미터 t의 함수로 h(x)의_t 이미지를 보여줍니다. 여기서 t는 애니메이션 루프의 각 사이클에 걸쳐 시간에 따라 0에서 1까지 변화합니다.일시 중지된 다음 t가 1에서 0으로 변화함에 따라 영상이 표시되고 일시 중지된 후 이 사이클을 반복합니다.

특성.

연속함수 f, g는 위와 같이 f~g를 취하는 호모토피 H가 존재하는 경우에만 호모토피라고 한다.동질성이란 X에서 Y까지의 모든 연속 함수 집합의 등가 관계입니다.이 호모토피 관계는 다음과 같은 의미에서 기능 성분과 양립할 수 있다: f, g₁ : X → Y, f₂, g₂ : Y → Z가 호모토픽이라면 이들의₁ 조성 f f₂ f₁ 및₂ g g₁ x → Z도 호모토픽이다.

예

f $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ : $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ $f(x):=\left(x,x^{3}\right)$ $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ 2 $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ {\ $displaystyle$ f $,g:\mathbb {R} \to$ \ $mathbb {R}$ ^{ $2}}$ 인 $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ f $x,$ 3) $displaystyle$ f $($ )}: $=\left(x,x^{3}\$ right) $x$ $=$ ( x , $g(x)=\left(x,e^{x}\right)$ x ) ${\left(x,e^{x}\$ right $g(x)=\left(x,e^{x}\right)$ $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ 으로 지도 $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ : $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ R $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ × $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ [ $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ , 1 $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ → $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ $2$ \ $displaystyle$ H : \ $mathbb$ { $R }$ \ $times$ [ 0 , \ $to$ 1 $]$ $)$ 는 $H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)$ , 그 사이의 동종 복사입니다.
보다 일반적으로 C $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle$ C $\subseteq \mathbb {R}$ ^{ $n$ 이 유클리드 공간의 볼록 부분 $f,g:[0,1]\to C$ 이고 $f,g:[0,1]\to C$ : $f,g:[0,1]\to C$ [ 0 $f,g:[0,1]\to C$ , 1 ] $f,g:[0,1]\to C$ $f,g:[0,1]\to C$ { \ $displaystyle f$ , $g$ : [ 0 , $1$ ] \ $to$ C $f,g:[0,1]\to C$ } 가 동일한 경로를 갖는 $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ , $f,g:[0,1]\to C$ 호모피^[5](직선)가 있다.
$디스플레이 스타일H: [0,1]\times [0,1]&\long rightrow C\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s)\end { aligned}}$
$\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ n $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ : $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ n $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ n \ $displaystyle \operatorname {id} _{B^{n}:$ $B^{n}\to$ B $^{n}$ 은 $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ 단위 n-disk의 항등함수입니다.즉, $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ B $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ n : $c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}$ { $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ R $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ : $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ 1 $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ }({ $displaystyle$ B $^{n$ :\ $left\in \mathbb {R}^{n}:\\\\leq$ \} $c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}$ $\$ right $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ $B^{n}\to$ B $^{n}$ 는 $c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}$ 상수 $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ c $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ ( $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ ) : $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ $→$ {\ $displaystyle c_{\vec {0}}(x)$ 입니다. $=$ 원점까지 모든 $포인트$ 를 전송하는 $=vec {$ 0 $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ }}.다음으로 이들 간의 호모토피입니다.
$(*displaystyle\begin{aligned}) H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\(x,t)&\longmapsto(1-t)x.\end { aligned}}$

호모토피 등가

2개의 위상공간 X와 Y가 주어졌을 때, X와 Y 사이의 호모토피 등가성은 연속맵 f : X → Y 및 g : Y → X의 쌍으로, g δ f는 id에_X 대해 동소적이고 f δ g는 id에 대해_Y 동소적이다.이러한 쌍이 존재하면 X와 Y가 호모토피 등가이거나 같은 호모토피 유형이라고 합니다.직관적으로 2개의 공간 X와 Y는 구부림, 수축 및 팽창 연산을 통해 서로 변환할 수 있다면 호모토피 등가입니다.점과 동일한 공간을 수축 가능 공간이라고 합니다.

호모토피 등가 대 동형사상

동형사상은 호모토피 등가의 특수한 경우로, 여기서 g δ f는 (동형사상뿐만 아니라) 아이디 맵_X id와 같고 f δ g는 ^[6]^{: 0:53:00}id와 같다_Y.따라서 X와 Y가 동형이라면 호모토피와 동등하지만 그 반대는 사실이 아닙니다.몇 가지 예:

단일 점까지 연속적으로 반경 선을 따라 디스크를 변형할 수 있기 때문에 솔리드 디스크는 단일 점과 동일합니다.그러나, 그들은 동질적이지 않다. 왜냐하면 그들 사이에는 분사가 없기 때문이다(한쪽은 무한 집합이고 다른 한쪽은 유한하기 때문이다).
두 스트립을 연속으로 원으로 변형할 수 있으므로 Möbius 스트립과 비틀리지 않은(닫히지 않은) 스트립은 호모토피 등가입니다.하지만 그들은 동질적이지 않다.

예

호모토피 등가의 첫 번째 예는 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$ { $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$ $}$ $\mathbb {R} ^{n}$ { $displaystyle \$ $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$ { R $}$ { $displaystyle$ \ $mathbb$ { $R$ } ^ { $n$ } \ $simeq$ \ { 0 \ $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$ 입니다.점검해야 할 부분은 H $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ : $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ × $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ n $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ n \ $displaystyle$ H : $\$ $times \mathbb$ { $R$ $}^{n}\to \mathbb {R} ^{$ $n$ } $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $\operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ } $_{\mathbb {$ R} $^{n}$ $p_{0}$ $p_{0}$ 0 $p_{0}$ （\ $displaystyle p_{0$ ）。 $\mathbb {R} ^{n}$ 는 $\mathbb {R} ^{n}$ { $displaystyle \mathbbb$ { $R}$ ^{n $\mathbb {R} ^{n}$ } } } } ^{ $n}$ } } 。 $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ 은 H $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ ( $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ , $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ ) $=$ $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ 0 $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ + ( $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ - $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ ) $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ n \ $displaystyle$ H ( $t$ , \ $cdot$ )= $t\ cdot p_{0}+$ ( $1$ - t )\ $cdot \operatorname {id}$ _ { { { \ $mathbbb {$ R } ^ { $n$ } } $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ } 。
S1 $(\$ S $^{1})$ 과 $\mathbb {R} ^{2}-\{0\}$ - $\mathbb {R} ^{2}-\{0\}$ { $}(\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0$ $S^{1}$ 에는 호모토피 등가성이 있습니다.
- $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ 으로 R $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ - $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ { $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ } $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ n - $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ $（$ \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { $R$ } ^ { $n$ } - \ { 0 \ } \ $simeq$ S^ { n - 1 $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ } 。
$\pi :E\to B$ 의 파이버 번들 $\pi :E\to B$ : : $\pi :E\to B$ $\pi :E\to B$ \ $displaystyle \$ : $F_{b}$ Fb(\ $displaystyle F_{$ b})가 $F_{b}$ 1점에 상당하는 호모토피를 가진 E $\to$ B는 $\pi :E\to B$ 총 호모토피 및 베이스 공간을 $가진다$ .위의 두 가지 예는 다음과 같습니다 $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ n - $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ { $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ n - $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ （ \ $display$ \ $pi$ : \ $mathbb$ { $R }^$ { n $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ } - \ { 0 \ $to$ S^ { n - $1$ } $\mathbb {R} _{>0}$ 0 $\mathbb {R} _{>0}$ \ $display$ style \ $mathbbb {$ R } $_$ 0 $\mathbb {R} _{>0}$ } > $0$ . 0 bundle bundle bundle bundle bundle bundle bundle bundle bundle bundle bundle bundle bundle bundle bundle with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with
각 벡터 다발은 한 점에 해당하는 파이버 호모토피를 가진 파이버 다발입니다.
Rn− Rkm그리고 4.9초 만 ≃ Sn− k− 0≤ k<>1{\displaystyle \mathbb{R}^{n}-\mathbb{R}^{k}\simeq S^{n-k-1}};n{\displaystyle 0\leq k<, n}, Rkm그리고 4.9초 만{\displaystyle \mathbb{R}^{n}-\mathbb(^{k}}은 섬유의 경우 다발 Rkm그리고 4.9초 만×(Rn− km그리고 4.9초 만 −{0})→(− Rn을 써서. Rn $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$ $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$ - $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$ { $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$ $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$ $)(\style \mathbb {R}^{k}\times(\mathbb {R}^{n-k}-\{0\})\to(\mathbb {R}^{n-k}-\})\$ to $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$ mathbb {R})\mathbb {R})에 위의 호모토피 등가 적용됩니다.
CW $콤플렉스$ X의 $X$ $서브콤플렉스$ A $($ $디스플레이 스타일$ A $)$ 를 $A$ 수축할 수 있는 경우, $X/A$ X $/A(디스플레이 스타일$ X $/$ A $X/A$ $)$ 는 X( $디스플레이$ 스타일 X $X$ ^[7]와 동등한 호모토피입니다.
변형 후퇴는 호모토피 등가입니다.

특수한 호모토피

함수 f는 상수 함수와 동질적인 경우에는 늘 동질적이라고 한다.(f에서 상수 함수로의 호모토피를 null-homotopy라고 부르기도 합니다.)예를 들어 단위원¹ S에서 임의의 공간 X로의 지도 f는 경계상의² f에 일치하는 단위원 D에서 X까지의 지도까지 연속적으로 연장할 수 있는 경우에는 정확히 늘 동위원소이다.

따라서 공간 X는 X에서 자신으로의 ID 맵(항상 호모토피 등가)이 늘 동질적인 경우에만 수축할 수 있습니다.

불변성

호모토피 등가성은 대수적 위상학에서 많은 개념들이 호모토피 불변성이기 때문에 중요하다. 즉, 호모토피 등가성의 관계를 존중한다.예를 들어, X와 Y가 호모토피 등가 공간인 경우:

X는 Y의 경우에만 경로로 연결됩니다.
X는 Y의 경우에만 단순히 연결됩니다.
X와 Y의 (단수) 호몰로지 그룹과 코호몰로지 그룹은 동형입니다.
X와 Y가 경로로 연결되어 있으면 X와 Y의 기본 그룹은 동형이고 상위 호모토피 그룹도 동형입니다.(경로연결성 가정이 없으면 f₁ : X → Y는 호모토피 당량이고₀ x x₀ X는 X와₁₀ 동형이다.)

위상공간의 호모토피 불변량이 아닌 대수적 불변량의 예는 콤팩트하게 지지된 호몰로지(대략적으로 콤팩트화의 호몰로지이며 콤팩트화는 호모토피 불변량이 아니다)이다.

변종

상대 호모토피

기본 그룹을 정의하기 위해서는 부분 공간에 대한 호모토피 개념이 필요합니다.이것들은 부분 공간의 요소를 고정시키는 호모토피입니다.형식: f와 g가 X에서 Y로 이어지는 연속 맵이고 K가 X의 부분집합이라면, 우리는 f와 g가 K에 상대적인 호모토피 H : X × [0, 1] → Y이므로 모든 K와 K에 대해 H(k, t) = f(k) = g(k) = g(k)이다.또한 g가 X에서 K로 후퇴하고 f가 ID 맵인 경우에는 X에서 K로의 강한 변형 후퇴로 알려져 있다.K가 점일 경우 점 호모토피라는 용어가 사용됩니다.

아이소토피

언노트(unknot)는 주변 공간의 동형사상의 연속 경로를 통해 한쪽을 다른 쪽 매듭으로 변형할 수 없기 때문에 삼각 매듭과 동일하지 않다.따라서 주변 동위원소가 아닙니다.

위상공간 X에서 위상공간 Y까지 주어진 2개의 연속함수 f, g가 내장되어 있는 경우에는 '내장'을 통해 접속할 수 있는지 여부를 문의할 수 있다.이것은 각 고정 t에 대해 H(x, t)가 ^[8]임베딩을 제공하도록 이전에 사용된 표기법에서의 호모토피 H인 아이소토피 개념을 발생시킨다.

관련되지만 다른 개념은 주변 등방성 개념입니다.

두 개의 매립물이 동위원소여야 한다는 것은 동위원소여야 한다는 것보다 더 강력한 요건이다.예를 들어, 구간 [-1, 1]에서 f(x) = -x로 정의된 실수에 대한 지도는 동일성 g(x) = x에 대해 동위원소가 아니다. f에서 동일성에 대한 모든 호모토피는 끝점을 교환해야 하며, 이는 서로 '통과'해야 한다는 것을 의미한다.게다가 f는 간격의 방향을 바꾸었지만 g는 바꾸지 않았다. 이것은 등방성에서는 불가능하다.그러나 지도는 동질적이다. f에서 항등식까지의 하나의 동질성은 H: [-1, 1] × [0, 1] → [-1, 1]이다. H(x, y) = 2yx - x로 주어진다.

경계에 일치하는 단위 볼의 2개의 동형상(매립의 특수한 경우)은 알렉산더의 수법을 사용하여 동위원소임을 나타낼 수 있다.따라서 f(x, y) =(-x, -y)로 정의된 R의 단위² 원반의 지도는 원점을 중심으로 180도 회전하는 동위원소이며, 따라서 동일 지도와 f는 회전에 의해 연결될 수 있기 때문에 동위원소이다.

예를 들어 매듭 이론의 기하학적 위상에서는 등가 관계를 구성하기 위해 등가성의 개념을 사용한다.예를 들어, 2노트는 언제 같은 것으로 간주해야 합니까?3차원 공간에서₂ K와 K의₁ 2노트를 취합니다.매듭은 이 공간에 1차원 공간, 즉 "끈의 루프"(또는 원)를 삽입하는 것으로, 이 삽입은 삽입 공간에 있는 원과 그 이미지 사이의 동형성을 부여한다.매듭 등가성의 개념 뒤에 있는 직관적인 생각은 임베딩의 경로를 통해 임베딩을 변형시킬 수 있다는 것이다. 즉, K 임베딩을 제공하는₁ t = 0에서 시작하여 K 임베딩을 제공하는₂ t = 1에서 끝나는 연속 함수이며, 모든 중간 값은 임베딩에 대응한다.이것은 아이소토피의 정의에 해당합니다.이 맥락에서 연구된 주변 등방체는 내장된 서브매니폴드에 대한 작용에 비추어 볼 때 더 큰 공간의 등방체이다.K를 K로 이동하는₁₂ 주변 등방성이 있는 경우 매듭₁ K와₂ K는 동등하다고 간주한다.이것은 토폴로지 카테고리의 적절한 정의입니다.

동등성에 대한 개념이 강한 상황에서 동일한 개념에 유사한 언어가 사용됩니다.예를 들어, 2개의 매끄러운 매립물 사이의 경로는 매끄러운 아이소토피입니다.

타임라이크 호모토피

로렌츠 다양체에서 특정 곡선은 시간적 흐름(모든 로컬 프레임에서 시간이 거꾸로 가지 않고 앞으로만 가는 것을 나타냄)으로 구분됩니다.2개의 타임라이크 곡선 사이의 타임라이크 호모토피는 곡선이 한 곡선에서 다른 곡선으로 연속 변환되는 동안 타임라이크한 상태로 유지되는 호모토피이다.로렌츠 다양체의 어떤 닫힌 시간적 곡선(CTC)도 점(즉, 늘 시간적 곡선)에 대해 시간적 균질하지 않습니다. 따라서 이러한 다양체는 시간적 곡선으로 곱셈된다고 합니다.3-sphere와 같은 다지관은 단순하게(모든 유형의 곡선으로) 연결될 수 있지만 시간처럼 여러 ^[9]번 연결할 수 있습니다.

특성.

리프팅 및 익스텐션 속성

호모토피 H : X × [0,1] → Y와 커버 p : Y → Y가 있고 H = p ○ h₀ (h를 h의₀ 리프트라고 함)의₀ 지도₀₀ h : X → Y가 주어진다면, 우리는 모든 H를 지도 H : X × [0, 1] → H로 끌어올릴 수 있다.

호모토피와 관련된 또 다른 유용한 속성은 호모토피 확장 속성으로, 일부 집합의 하위 집합에서 집합 자체로의 두 함수 사이의 호모토피의 확장을 특징짓습니다.이것은 코피그레이션을 처리할 때 유용합니다.

무리

부분공간에 대하여 동질적인 두 $f,g\colon X\to Y$ f $f,g\colon X\to Y$ : $f,g\colon X\to Y$ $f,g\colon X\to Y$ { $displaystyle$ f $,g\display$ X $\to$ Y $}$ 의 $f,g\colon X\to Y$ 관계는 등가관계이므로 고정 X와 Y 사이의 맵의 등가 클래스를 살펴볼 수 있다.X $X=[0,1]^{n}$ [ $X=[0,1]^{n}$ , $X=[0,1]^{n}$ ] $X=[0,1]^{n}$ {\ $displaystyle$ X = [ $0$ , $1$ ]^{ $n$ } n ([ $\partial ([0,1]^{n})$ 0 , $\partial ([0,1]^{n})$ $])$ n ([ 0 , 1 ]) 을 $X=[0,1]^{n}$ 하면, 그 경계 $\partial ([0,1]^{n})$ ( [ $0$ , $1$ ]^{ $n})$ 를 $\partial ([0,1]^{n})$ 부분공간으로 하여 등가 되는 클래스 a, display $\pi _{n}(Y,y_{0})$ 으로 표시됩니다 $.$ $y_{0}$ y $({$ 은 $y_{0}$ 서브스페이스 이미지 내에 있습니다 $\partial ([0,1]^{n})$ [ $\partial ([0,1]^{n})$ , $\partial ([0,1]^{n})$ ] $)$ {{ $displaystyle \displays$ ( [ $0$ , $1$ ]^{ $n}$ $\partial ([0,1]^{n})$ } 。

하나의 동등 클래스의 동작을 다른 클래스에 정의할 수 있기 때문에 그룹이 생성됩니다.이러한 그룹을 호모토피 그룹이라고 합니다. $= 1인 경우$ 기본 그룹이라고도 $합니다.$

호모토피 카테고리

호모토피의 개념은 범주론의 형식적인 범주로 바뀔 수 있다.호모토피 범주는 객체가 위상 공간이고 형태론이 연속 지도의 호모토피 등가 클래스인 범주이다.두 위상 공간 X와 Y는 호모토피와 동일한 경우에만 이 범주에서 동형입니다.위상 공간의 범주에 있는 함수는 호모토피 범주에 있는 함수로 표현될 수 있다면 호모토피 불변량이다.

예를_n_n 들어, 호몰로지 그룹은 기능적 호모토피 불변량이다: 이것은_n 만약 X에서 Y로 f와 g가 호몰로지 그룹의 수준에서 f와 g에 의해 유도되는 군 호몰로지 형상이 모든 n에 대해 동일함을_n 의미한다.마찬가지로, X와 Y가 부가 경로로 연결되어 있고 f와 g 사이의 호모토피가 가리킬 경우, 호모토피 그룹의 수준에서 f와 g에 의해 유도되는 군 동형도 같다: δ_n(f) = δ(X_n) → δ_n_n(Y)

적용들

호모토피 개념을 바탕으로 대수 방정식과 미분 방정식을 위한 계산 방법이 개발되었습니다.대수 방정식의 방법은 호모토피 연속법과^[10] 연속법을 포함한다(숫자 연속법 참조).미분 방정식의 방법에는 호모토피 분석 방법이 있습니다.

호모토피 이론은 호모토피 등가까지 X를 적절한 고정 공간에 매핑함으로써 공간 X 상의 코호몰로지 함수자를 나타낼 수 있습니다.예를 들어, 임의의 아벨 그룹 G 및 임의의 베이스 CW 복합 X에 대해 X에서Eilenberg-MacLane $G$ n $)$ 에 이르는 베이스 맵의 베이스 호모토피 클래스의 $X,$ $,$ n)]{ displaystyle $[X,$ K( $G,$ n) $]{$ $displaystyle$ K $(n$ 공간 X의 $yle$ H $^{n}(X$ 하나는 Eilenberg-MacLane 공간의 오메가 스펙트럼이 G의 계수를 갖는 단일 코호몰로지 공간을 나타낸다고 말한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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원천

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v t 토폴로지
필드	일반(포인트 세트) 대수적 조합 연속체 차동 기하학 저차원의 호몰로지 코호몰로지 집합 이론 디지털.
주요 개념	오픈 세트 / 클로즈드 세트 내부 연속성 공간 작은 연결된 하우스도르프 미터법 균일한 호모토피 호모토피군 기본군 단순 복합체 CW 콤플렉스 다면체 복합체 다지관 번들(수학) 두 번째 셀 수 있는 공간 코보디즘
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