삼위일체

Triality
언어학에서의 삼행성의 개념은 문법 번호 § Trial을 참조한다.
Dynkin 도표 D의4 자동화는 스핀(8)에서 삼성을 발생시킨다.

수학에서 삼차성은 세 벡터 공간 사이의 관계로서 이중 벡터 공간 사이의 이중성 관계와 유사하다. 가장 일반적으로는 8차원 회전 그룹 SO(8)의4 이중 커버인 Dynkin 다이어그램 D와 관련 Lie 그룹 Spin(8)의 특장점을 설명하고 있는데, 이는 그룹이 외부 자동형 순서 3을 가지고 있기 때문이다. 투영 기하학에서 이중성과 유사한 기하학적 3중성 버전이 있다.

모든 간단한 Lie 그룹 중에서 Spin(8)은 Dynkin 다이어그램 D가 가장 대칭적이다4. 도표에는 4개의 노드가 있고, 한 노드는 중앙에 위치하며, 나머지 세 노드는 대칭적으로 부착되어 있다. 다이어그램의 대칭 그룹은 세 개의 다리를 허용함으로써 작용하는 대칭 그룹 S이다3. 이것은 S 그룹의3 외부 자동화를 발생시킨다. 이 자동형성 그룹은 스핀(8)의 3차원 수정 불가능한 표현을 허용한다. 이는 벡터 표현과 두 개의 키랄 회전 표현이다. 이러한 자동화는 SO(8)의 자동화를 예상하지 않는다. 벡터 표현—F에8 대한 SO(8) (Hence Spin(8))의 자연 작용은 유클리드 8 벡터의 실제 숫자에 대해 일치하며 일반적으로 "defining module"로 알려져 있는 반면, 치랄 스핀 표현은 "반스핀 표현"이라고도 알려져 있으며, 이 세 가지 모두 기본적인 표현이다.

연결된 다른 Dynkin 다이어그램에는 2보다 큰 순서의 자동형 그룹이 없다. 다른 Dn(다른 짝수 스핀 그룹에 대응함, Spin(2n)에 대해서는, 두 개의 반스핀 표현을 전환하는 것에 해당하는 자동형성이 여전히 존재하지만, 이것들은 벡터 표현에 이형성이 아니다.

대략, Dynkin 도표의 대칭은 Bruhat–의 자동화로 이어진다.그룹과 연관된 Tits 건물. 특수 선형 그룹의 경우 투영적 이중성을 얻는다. 스핀(8)의 경우 역사적으로 '기하삼차성'으로 알려진 8차원 공간의 1차원, 2차원, 4차원 아공간과 관련된 기이한 현상을 발견하게 된다.

D4 다이어그램의 예외적인 3배 대칭도 스타인버그 그룹 D를4 탄생시킨다.

일반 제형

필드 F 위에 있는 두 벡터 공간 사이의 이중성은 비감속 이선형이다.

즉, 두 벡터 공간 중 하나의 비제로 벡터 v에 대해 v와 쌍을 이루는 것은 다른 벡터 공간에서는 비제로 선형 기능이다.

마찬가지로, 필드 F에 대한 세 벡터 공간 사이의 삼차성은 비감소형 삼차형 형식이다.

즉, 세 개의 벡터 공간 중 하나의 비제로 벡터 각각은 다른 두 개의 벡터 사이의 이중성을 유도한다.

3차원 형태가 1로 평가되는 각i V에서 벡터i e를 선택함으로써, 우리는 세 벡터 공간이 서로, 그리고 그들의 이중들에 모두 이형화된 것을 발견한다. 이 공통 벡터 공간을 V로 나타냄으로써 삼행성은 이선 곱셈으로 다시 표현될 수 있다.

여기서 각 e는i V의 ID 요소에 해당한다. 비기생성 조건은 이제 V가 구성 대수라는 것을 암시한다. 따라서 V에는 차원 1, 2, 4, 8이 있다. 추가 F = R과 그것의 이중으로 V를 식별하는 데 사용되는 형식이 확실히 확실하다면, V는 유클리드 후르비츠 대수학이며, 따라서 R, C, H 또는 O와 이형성이다.

반대로 합성 알헤브라는 각 V를i 대수학과 동등하게 취하여 즉시 시행을 일으키고, 3행성 형태를 만들기 위해 대수에서 내생물과 곱셈을 수축시킨다.

시험의 대안적 구조는 1, 2, 4 및 8 치수에서 스피너를 사용한다. 8차원 케이스는 스핀(8)의 3차원 특성에 해당한다.

참고 항목

참조

  • 존 프랭크 애덤스(1981), 스핀(8), 트라이얼리티(Triality4), F 등 케임브리지 대학 출판부의 스티븐 호킹과 마틴 로체크가 편집한 '초공간과 초중력(Superspace and Supergravity)'에서 435-445페이지에 이른다.
  • 존 프랭크 애덤스(1996), 자퍼 마흐무드, 미무라 마모라 시카고대 편집특강(1996) ISBN0-226-00527-5.

추가 읽기

외부 링크