컨버스 관계

수학에서 이항 관계의 역관계 또는 전치관계는 원소의 순서가 관계에서 전환될 때 발생하는 관계를 말한다. 예를 들어, 'child of'라는 관계의 역은 'parent of'의 관계다. In formal terms, if $X$ and $Y$ are sets and $L\subseteq X\times Y$ is a relation from $X$ to $Y,$ then $L^{\operatorname {T} }$ is the relation defined so that ${\displays$ $tyle$ $yL$ $^{\operatorname {T} }x}($ $x$ ) x L $.$ ${\displaystyle xLy$ 인 경우에만 해당됨 $.$ $}$ 세트빌더 표기법에서는 $xLy.$

L^{\operatorname {T}=\{(y,x)\in Y\time X:(x,y)\in L\}.

그 표기법은 역함수의 그것과 유사하다. 비록 많은 함수들이 역 함수를 가지지 않지만, 모든 관계는 독특한 역치를 가지고 있다. 역관계와 관계를 매핑하는 단항연산은 비자발적이므로 세트상의 이항관계에 대해 비자발적인 세미그룹의 구조를 유도하거나, 보다 일반적으로는 아래에 상세히 기술된 관계 범주에 대한 단검 카테고리를 유도한다. 단항작전으로써 역행(변환 또는 전치라고도 함)을 취하면 관계 미적분학의 주문 관련 작전에 통하게 되는데, 그것이 바로 조합, 교차로, 보완과 통하게 된다.

역관계는 매트릭스의 전치관계와 유사하다는 관점에서 전치관계라고도 불린다.^[1] 또한 원래의 관계와 반대나 이중, ^[2]또는 원래의 관계의 역행, 또는 L.^[3]^[4]^[5] ${\$ }의 $L^{\circ }$ 역행 $L^{\circ }$ $.$ $L.$ 이라고 불렸다.

역관계의 다른 표기로는 $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ - $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ , $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ ∘, L $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ ${\displaystyle$ L $^{\operatorname{C}},L^{-1},{\breve {L},L^{\circle$ }, $L^{\vee }.$ $L^{\vee }.$ . ${\displaystystyle L^{\ve}$ 등이 $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ 있다.

예

통상적인(아마도 엄격하거나 부분적인) 주문 관계의 경우, 그 반대는 순진하게 기대되는 "반대" 순서인데, 예를 들어 ${\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.$ ≤ ${\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.$ = ${\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.$ , < ${\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.$ = ${\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.$ > ${\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.$ . ${\displaystyle {\\leq ^{\operatorname{T}}}}}}}}}}}}{\quad{^{\geq}}}}}}}}}}}}}}}.$ $}$

관계는 다음과 같은 논리 행렬로 나타낼 수 있다.

{\pmatrix}1&1&1\\0&1&1\0&0&0\nd{pmatrix}.

그런 다음 역방향 관계는 전치 행렬로 표현된다.

{\pmatrix}1&0&0&0\\1&0&0\1&0\1&0\1&0\end{pmatrix}.

The converse of kinship relations are named: " $A$ is a child of $B$ " has converse " $B$ is a parent of $A$ ". " $A$ is a nephew or niece of $B$ " has converse " $B$ is an uncle or aunt of $A$ $A$ ". $A$ 관계 " $A$ $A$ 은(는) 대칭 관계이므로 $B$ $B$ 의 형제자매로서 $A$ 그 자체의 반대가 된다 $B$ .

집합 이론에서, A ${\displaystyle$ $A$ $}$ 이 $U$ $($ $U.$ 의 하위 집합인 $A$ 경우 $x\in A$ 우주 $U$ {\ $displaystyle$ U}과(와) 집합 $x\in A$ x $x\in A$ A $x\in A$ 의 기본 관계를 가정한다 $.$ ${\displaystyty$ U $}$ ${\ni }={\in ^{\operatorname {T} }}.$ }의 $U.$ 모든 하위 집합의 전원 집합은 컨버스 ${\ni }={\in ^{\operatorname {T} }}.$ = ${\ni }={\in ^{\operatorname {T} }}.$ ∋의 도메인이다 $U$ . ${\ni }={\in ^{\operatorname {T}}}$

특성.

집합에 대한 이항 내분들의 단조로움(관계의 구성이라는 관계에 대한 이항연산을 포함)에서, 역관계는 집단 이론, 즉 $L$ $L$ 이(가) $X$ , $X,$ 에 $X,$ 대한 임의적인 관계라면 $L$ $L\circ L^{\operatorname {T} }$ $L\circ L^{\operatorname {T} }$ $L\circ L^{\operatorname {T} }$ $L\circ L^{\operatorname {T} }$ ${\$ L $\)$ 의 정의를 충족하지 않는다. $circle$ L^{\ $operatorname {T} }}}}$ 은 $X$ (는) 일반적으로 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 의 ID 관계와 같지 $L\circ L^{\operatorname {T} }$ 않다. The converse relation does satisfy the (weaker) axioms of a semigroup with involution: $\left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L$ and $(L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.$ ^[7]

일반적으로 서로 다른 집합 사이의 관계(즉, 관계 범주 Rel)를 고려할 수 있기 때문에, 이 맥락에서 역관계는 단도 범주(비실수의 범주)의 공리와 일치한다.^[7] 그 반대와 동등한 관계는 대칭적 관계다. 단도 범주의 언어에서 그것은 자칭이다.

더욱이, 집합의 내성들의 세미그룹 역시 부분적인 순서 구조(관계는 집합으로 포함)이며, 사실상 비자발적인 수량화(Quantale)이다. 마찬가지로 이질적인 관계의 범주인 Rel도 순서가 정해진 범주다.^[7]

관계의 미적분학에서, 전환(반전 관계를 취하는 일차적 운영)은 조합과 교차점의 다른 이항적 운영과 통한다. 전환은 또한 우월감과 이피마 뿐만 아니라 보상의 단일한 작동에도 통용된다. 전환은 포함에 의한 관계의 순서와도 양립할 수 있다.^[1]

관계가 반사적, 불변적, 대칭적, 대칭적, 대칭적, 비대칭적, 전이적, 연결적, 삼차적, 부분적 순서, 총체적 순서, 엄격한 약체 순서, 총체적 사전 순서(취약적 순서) 또는 동등성 관계인 경우, 그 반대도 역시 마찬가지다.

인버스

$I$ $I$ 이(가) ID 관계를 나타내는 $I$ 경우 관계 $R$ $R$ 은(는) 다음과 같이 역 관계를 가질 수 있다 $R$ .

A relation

R

is called right-invertible if there exists a relation

X

with

R\circ X=I,

and left-invertible if there exists a

Y

with

Y\circ R=I.

Then

X

and

{\displaysty

le Y}

은(는)

R,

R ,

R,

의 오른쪽 역과 왼쪽 역이라고 불린다

Y

. 우와 좌, 우를 수 없는 관계를 수복불능이라고 한다. 돌이킬 수 없는 동질성의 경우 오른쪽과 왼쪽의 모든 교차점이 일치한다.

R^{-1}

R

R^{-1}

-

R^{-1}

{\

R

^{-1}

개념이 사용된다

R^{-1}

. 그러면

R^{-1}=R^{\operatorname {T} }

-

R^{-1}=R^{\operatorname {T} }

=

R^{-1}=R^{\operatorname {T} }

R^{-1}=R^{\operatorname {T} }

{\

이

R^{-1}=R^{\operatorname {T} }

(가)^[1]^{: 79} 유지된다.

함수의 역방향 관계

함수는 역관계가 함수인 경우에만 변환할 수 있으며, 이 경우 역관계는 역함수다.

The converse relation of a function $f:X\to Y$ is the relation $f^{-1}\subseteq Y\times X$ defined by the ${\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.$ $}$

이것은 반드시 함수는 아니다. $f^{-1}$ 한 조건 중 하나는 $f^{-1}$ f - 1 {\displaystyle $f^{-1}$ 이(가) 다중값이기 $f^{-1}$ 때문에 $f$ $f$ 이(가) 주입되어야 $f$ 한다는 것이다. $f^{-1}$ 조건은 f $f^{-1}$ - 1 ${\$ f $^{-1}$ 이 부분함수일 $f^{-1}$ 경우 충분하며, $f^{-1}$ - $f^{-1}$ ${\$ f $^{-1}$ $f$ f ${\displaystyf}$ 이 $f$ (가) surjective일 경우에만 (총)함수임이 분명하다. 이 경우, $f$ $f$ 이 $f$ $($ 가) 비주사적이라면 $f^{-1}$ - $f^{-1}$ ${\$ 는 $f$ . ${\displaystyf}$ 의 역함수라고 할 수 있다 $f^{-1}$ . $}$

예를 들어 $f(x)=2x+2$ ) $f(x)=2x+2$ = $f(x)=2x+2$ $f(x)=2x+2$ + $f(x)=2x+2$ $f(x)=2x+2$ 함수에는 $f(x)=2x+2$ $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.$ 함수 f $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.$ - $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.$ ) = $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.$ $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.$ - 1. ${\displaystyle$ f $^{-1}(x)={\frac {x}{$ 2}}- $1.}$

그러나 $g(x)=x^{2}$ $g(x)=x^{2}$ x $g(x)=x^{2}$ ) $g(x)=x^{2}$ = $g(x)=x^{2}$ $g(x)=x^{2}$ ${\$ 2}}의 $g(x)=x^{2}$ 역관계 $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ - $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ ) $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ = $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ ± $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ ${\displaystyle g^{-1}(x)=\pm$ {\ $sqrt{x},}$ 는 $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ 함수가 아닌 다중값으로 되어 $g(x)=x^{2}$ 있다.

참고 항목

참조

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^ Daniel J. Velleman (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. p. 173. ISBN 978-1-139-45097-3.
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Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, p. 40, ISBN 978-0-387-90092-6

[R&G-1] Gunther Schmidt; Thomas Ströhlein (1993). Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Springer Berlin Heidelberg. pp. 9–10. ISBN 978-3-642-77970-1.

[2] Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups. Kluwer Academic Publishers. p. 3. ISBN 978-1-4613-0267-4.

[3] Daniel J. Velleman (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. p. 173. ISBN 978-1-139-45097-3.

[S&S-4] Shlomo Sternberg; Lynn Loomis (2014). Advanced Calculus. World Scientific Publishing Company. p. 9. ISBN 978-9814583930.

[5] Rosen, Kenneth H. (2017). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. Rosen, Kenneth H., Shier, Douglas R., Goddard, Wayne. (Second ed.). Boca Raton, FL. p. 43. ISBN 978-1-315-15648-4. OCLC 994604351.

[6] 피터 J. Freyd & Andre Scedrov (1990) Categories, Allegories, 79페이지, North Holland ISBN 0-444-70368-3

[Lambek2001-7] Joachim Lambek (2001). "Relations Old and New". In Ewa Orłowska; Andrzej Szalas (eds.). Relational Methods for Computer Science Applications. Springer Science & Business Media. pp. 135–146. ISBN 978-3-7908-1365-4.

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