갈루아 접속부

수학에서, 특히 순서 이론에서, 갈루아 연결은 부분적으로 순서가 정해진 두 세트(포셋) 사이의 특정한 대응(일반적으로)이다.갈루아 연결은 다양한 수학 이론에서 응용 분야를 찾는다.그들은 프랑스의 수학자 에바리스테 갈루아에 의해 발견된 부분군과 하위 분야 사이의 일치성에 관한 갈루아 이론의 근본적인 정리를 일반화한다.

갈루아 연결은 사전 정렬된 세트나 클래스에 정의될 수 있다. 이 문서는 포셋의 일반적인 사례를 제시한다.그 문헌에는 "갈루아 연결"이라는 두 가지 밀접한 관련성이 있는 관념이 포함되어 있다.이 글에서 우리는 그들을 (모노톤) 갈루아 연결과 반격 갈루아 연결로 지칭할 것이다.

갈루아 연결은 관련 포지션들 사이의 질서 이등형성에 비해 다소 약하지만, 모든 갈루아 연결은 아래에서 설명하듯이 특정 하위 포지션의 이등형성을 발생시킨다.갈루아 통신이라는 용어는 때때로 주관적인 갈루아 연결을 의미하는데 사용된다; 이것은 단순히 명령 이소모르프(또는 우리가 단조로운 갈루아 연결을 취하느냐 아니면 반대편 갈루아 연결을 취하느냐에 따라 이중 순서 이소모르프리즘)이다.

정의들

(모노톤) 갈루아 연결부

(A, ≤)와 (B, ≤)를 부분적으로 주문한 세트 두 개로 한다.이러한 포지션 간의 단조로운 갈루아 연결은 두 가지 단조로운^[1] 기능으로 구성된다.F : A → B, G : B → A, B, 이렇게 모든 A에 대해 우리는

F(a) ≤ b if G(b)일 경우에만.

이 상황에서 F는 G의 하부 연직, G는 F의 상부 연직으로 불린다.연상적으로 상/하위 용어는 함수 적용이 ≤^[2]에 상대적으로 나타나는 곳을 가리킨다."성인"이란 단조로운 갈루아 연결부가 아래에서 더 자세히 논의된 범주 이론에서 보조형 펑커 쌍의 특별한 경우라는 사실을 말한다.여기서 접하는 다른 용어는 하단(후진)의 왼쪽 맞춤(후진)이다.상부의

Galois 연결의 기본 특성은 Galois 연결의 상/하부 연결부가 다른 연결부를 고유하게 결정하는 것이다.

F(a)는 ( G(~b)가 있는 최소 원소 ~b이다.

G(b)는 F(~a) ≤ b를 갖는 ~a의 가장 큰 원소다.

그 결과 F나 G가 변위할 수 없는 경우,^{[clarification needed]} 각각은 다른 것의 역, 즉 다른 것의 역행하는 것이다.F = G ⁻¹.

G 상부와 F 부선 및 G 부선과의 Galois 연결을 고려할 때, 우리는 GF : A → A, 그리고 관련 커널 운영자로 알려진 FG : B → B의 구성을 고려할 수 있다.둘 다 모노톤과 idempotent이고, 우리는 A에 있는 모든 A에 대한 GF(a)와 B에 있는 모든 B에 대한 FG(b) ≤ b를 가지고 있다.

A에 B를 삽입하는 갈루아는 커널 연산자 FG가 B의 정체인 갈루아 연결로, 따라서 G는 A의 닫힌 요소 GF [A]의 집합에 B의 이형성을 명령하는 것이다.^[3]

안티콘 갈루아 연결부

위의 정의는 오늘날 많은 애플리케이션에서 공통적이며 격자와 도메인 이론에서 두드러진다.그러나 갈루아 이론의 원래 개념은 약간 다르다.이 대체 정의에서 갈루아 연결은 다음과 같은 두 포지션 A와 B 사이에 있는 F : A → B 및 G : B → A 함수의 한 쌍이다.

b ≤ G(b)일 경우에만 F(a)

이 버전에서 F와 G의 대칭은 상하의 구분을 지우고, 그 후 두 기능을 조정이라기보다는 극성이라고 한다.^[4]각 극성이 다른 극성을 고유하게 결정한다.

F(a)는 ( G(b)를 갖는 가장 큰 원소 b이며,

G(b)는 b ≤ F(a)를 갖는 가장 큰 원소 a이다.

구성 GF : A → A 및 FG : B → B는 관련 폐쇄 연산자로, 이들은 A에 있는 모든 A에 대한 GF(a), B에 있는 모든 B에 대한 B에 대한 FG(b)의 속성이 있는 단조 idempotent 맵이다.

A와 B 사이의 반격자 갈루아 연결은 A와 B의 주문 이중^op B 사이의 단조로운 갈루아 연결일 뿐이기 때문에 갈루아 연결의 두 정의의 의미는 매우 유사하다.따라서 Galois 연결에 대한 아래의 모든 문장은 반대편 Galois 연결에 대한 문장으로 쉽게 변환될 수 있다.

예

모노톤 갈루아 연결부

전원 세트, 시사 및 접속사

주문-이론적 예제의 경우 U를 어느 정도 설정하고, A와 B를 모두 포함에 의해 명령된 U의 파워 세트가 되도록 한다.U의 고정 서브셋 L을 선택한 다음, F(M ) = L ∩ M, G(N) = N ∪(U \ L) 맵 F와 G는 단조형 갈루아 연결을 형성하며, F는 하단 부호다.만남(최소) 연산에 의해 하위가 조정되는 유사한 갈루아 연결은 모든 헤이팅 대수에서 찾을 수 있다.특히 어떤 부울대수에도 존재하는데, 여기서 두 매핑은 F(x) = (a ∧ x)와 G(y) = (y ∨ ¬a) = (a ⇒ y)로 설명할 수 있다.논리적인 용어로: "a로부터의 복제"는 "a와의 결합"의 상위 부호다.

선반

Galois 연결에 대한 추가적인 흥미로운 예는 완전성 속성에 대한 기사에 설명되어 있다.대략적으로 말하면, 통상적인 함수인 and과 ∧은 대각선 지도 X → X × X에 대한 하한 및 상직인 것으로 나타난다.부분 순서의 최소 및 최대 요소는 고유한 함수 X → {1}에 대한 하위 및 상위 조정자에 의해 주어진다.한 단계 더 나아가서, 심지어 완전한 격자조차도 적절한 부선의 존재로 특징지어질 수 있다.이러한 고려사항들은 순서 이론에서 갈루아 연결의 편재성에 대한 인상을 준다.

전이적 그룹 작업

G가 X에 대해 전이적으로 행동하게 하고 X에 있는 어떤 점 X를 선택하도록 하자.고려하다

${\displaystyle {\b}=\{B\subseteq X:x\in B;\forall g\in G,gB=B\\mathrm {or} \gB\cap B=\empt \}}$

x를 포함하는 블럭 세트또한 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) x의 스태빌라이저를 포함하는 G의 하위 그룹으로 구성되도록$$ 한다.

그러면, $대응$B${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G\mathcal{}}$ ${\$ {$B}\to {\mathcal$ {$G}$ :

${\displaystyle B\mapsto H_{B}=\{g\in G:gx\in B\}}$

단조로운, 일대일 갈루아 연결이다.^[5]관상으로서 이중 전이 작용은 사소한 것(골격 또는 X의 전체) 이외의 블록이 없음을 확인할 수 있다. 이 경우 안정제가 G에서 최대화되기 때문이다.자세한 내용은 이중 전이 그룹을 참조하십시오.

이미지 및 역 이미지

f : X → Y가 함수라면 X의 어떤 부분 집합 M에 대해서도 우리는 이미지 F(M ) = f M = { f (m) m m M}을 형성할 수 있고, Y의 어떤 부분 집합 N에 대해서도 역 영상 G(N ) = F = {x ∈ X f (x) ∈ N}을 형성할 수 있다.그 후 F와 G는 X의 동력 집합과 Y의 동력 집합 사이에 단조로운 갈루아 연결을 형성하며, 둘 다 포함 ⊆에 의해 명령된다.이 상황에는 추가적인 조정 쌍이 있다: X의 부분 집합 M에 대해 H(M) = {y y Y f {y} m M}을 정의한 다음, G와 H는 Y의 전원 집합과 X의 전원 집합 사이에 단조로운 갈루아 연결을 형성한다.첫 번째 갈루아 연결부에서 G는 상부 연결부, 두 번째 갈루아 연결부에서는 하부 연결부 역할을 한다.

대수적 물체(집단 등) 사이의 지수 맵의 경우, 이 연결을 격자 정리라고 한다: G의 부분군은 G/N의 부분군에 연결하며, G의 부분군에 대한 폐쇄 연산자는 H = HN에 의해 주어진다.

스팬 및 클로즈업

그룹, 링, 벡터 공간 등 기본 집합이 있는 일부 수학 객체 X를 선택하십시오.X의 모든 부분 집합 S의 경우, F(S )를 S, 즉 S에 의해 생성된 부분군, 하위 문자열 또는 하위 공간을 포함하는 X의 가장 작은 하위 개체로 한다.X의 하위 개체 U에 대해서는 G(U)를 U의 기본 집합으로 한다(위상학적 공간이 되도록 X를 취할 수도 있고, F(S)가 S를 닫게 할 수도 있으며, X의 닫힌 하위 집합 " X의 하위 개체"로 취할 수도 있다).이제 F와 G는 X의 하위 집합과 X의 하위 개체 사이에 단조로운 갈루아 연결을 형성한다. 만약 둘 다 포함에 의해 명령된다면 말이다.F는 하급이다.

구문 및 의미론

윌리엄 로비어의^[6] 매우 일반적인 코멘트는 구문과 의미론들이 일치한다는 것이다: A를 모든 논리 이론의 집합(축소화)으로 삼고, B는 모든 수학 구조 집합의 집합으로 한다.이론 T ∈ A의 경우, Mod(T )는 공리 T; 수학 구조 S ∈ B의 경우, Th(S )는 S에 근접한 공리화의 최소값이다(1차 논리에서는 이것이 S의 모든 구조에서 참인 문장 집합이다.T가 논리적으로 Th(S)를 내포하는 경우에만 Mod(T )가 S의 하위 집합이라고 말할 수 있다. "semantics functor" Mod와 "syntax functor" Th가 monotone Galois 연결을 형성하며, 의미론은 상위 부호라고 할 수 있다.

Antione Galois 연결부

갈루아 이론

동기부여의 예는 갈루아 이론에서 온다: L/K가 필드 확장이라고 가정하자.A는 K를 포함하는 L의 모든 하위 필드의 집합으로, 포함 ⊆으로 정렬한다.E가 그러한 하위 필드인 경우, E를 고정하는 L의 필드 자동화 그룹에 Gal(L/E)을 작성한다.B를 포함 ⊆에 의해 정렬된 Gal(L/K)의 하위 그룹 집합으로 한다.이러한 부분군 G의 경우 Fix(G)를 G의 모든 요소에 의해 고정된 L의 모든 요소로 구성된 필드로 정의한다.그런 다음 지도 E ↦ Gal(L/E)과 G ↦ Fix(G)가 반격 Galois 연결을 형성한다.

대수 위상: 공간 포함

유사하게, 경로연결 위상학적 공간 X가 주어진 경우, 기본 그룹 π₁(X)의 하위 그룹과 경로연계 커버 공간 사이에 항균 갈루아 연결이 있다.특히 X가 반 로크로 간단히 연결되어 있다면, π₁(X)의 모든 부분군 G에 대해 G를 기본 그룹으로 하는 커버 공간이 있다.

선형 대수: 전멸기 및 직교 보완물

내부 제품 공간 V를 지정하면 V의 하위 공간 X의 직교 보완 F(X )를 구성할 수 있다.이것은 포함에 의해 순서가 정해진 V와 그 자체 서브 스페이스 세트 사이에 반대편 갈루아 연결을 생성한다. 두 극성은 모두 F와 같다.

벡터 공간 V와 V의 부분집합 X를 주어 우리는 X에서 사라지는 V의 이중 공간 V의 모든 요소로 구성된 그것의 전멸기 F(X )를 정의할 수 있다.마찬가지로, V의 부분집합 Y에 따라, 우리는 그것의 섬멸기 G(Y ) = { x ∈ V φ(x) = 0 ∀ φ ∈ Y }을 정의한다.이것은 V의 하위 집합과 V의 하위 집합 사이에 반대편 Galois 연결을 제공한다.

대수 기하학

대수 기하학에서 다항식 집합과 다항식 집합의 0 집합 사이의 관계는 대조적인 갈루아 연결이다.

자연수 n과 필드 K를 고정하고 A를 포함 inclusion에 의해 정렬된 다항 링 K[X₁, ..., X_n]의 모든 부분 집합으로 하고, B를 포함 ⊆에 의해 정렬된 모든 ⁿ K 하위 집합의 집합으로 한다.S가 다항식 집합인 경우 0의 다양성을 다음과 같이 정의하십시오.

${\displaystyle V(S)=\{x\in K^{n}:f(x)=0{\mbox{{모든 }f\in S\}}$

S의 다항식 공통 0 집합U가 K의 ⁿ 부분 집합인 경우, I(U )를 U에서 소멸되는 다항식의 이상으로 정의한다.

${\displaystyle I(U)=\{f\in K[X_{1},\dots,X_{n}]:f(x)=0{\mbox{{{{}}모든 }}}$

그리고 나서 V와 나는 반대편 갈루아 연계를 형성한다.

K에 ⁿ 대한 폐쇄는 자리스키 위상에서의 폐쇄로, 만약 필드 K가 대수적으로 닫힌다면, 다항 링에 대한 폐쇄는 S에 의해 생성된 이상상의 급진적인 것이다.

보다 일반적으로는, 정류 링 R(다항식 링은 아님)을 주어, 링의 급진적 이상과 어핀 버라이어티 스펙(R)의 하위 구분 사이에 반격론 갈루아 연결이 있다.

보다 일반적으로, 고리 안의 이상과 그에 상응하는 부속품종의 하위품종 사이에는 대조적인 갈루아의 연관성이 있다.

이진 관계에서 발생하는 전원 집합의 연결

X와 Y가 임의 집합이고 X와 Y에 대한 이항 관계 R이 주어진다고 가정하자.X의 어떤 부분 집합 M에 대해서도 우리는 F(M ) = { y y Y mRy mm ∈m m M }. }. }. }. }. }. }. }을 정의한다. 마찬가지로 Y의 모든 부분 집합 N에 대해서도 G(N ) = { x xRn ∀ ∈ N }을 정의한다.그 후 F와 G는 포함 ⊆^[7]에 의해 명령된 X와 Y의 동력 세트 사이에 반격자 갈루아 연결을 생성한다.

이등형성까지 모든 동력장치들 사이의 모든 반대편 갈루아 연결은 이런 방식으로 발생한다.이것은 "개념 격자에 대한 기본 정리"에서 따온 것이다.^[8]2진 관계에서 발생하는 갈루아 연결의 이론과 적용은 형식 개념 분석에서 연구한다.그 분야는 수학적 데이터 분석을 위해 Galois 연결을 사용한다.Galois 연결에 대한 많은 알고리즘은 예를 들어, 각 문헌에서 찾을 수 있다.^[9]

특성.

다음에서 우리는 (모노톤) 갈루아 연결 f = (f , f_∗)를 고려한다. 여기서 f : A → B는 위에서 소개한 바와 같이 하위 조정이다.일부 유용하고 교훈적인 기본 속성은 즉시 얻을 수 있다.Galois 연결의 정의 속성에 의해, f (x) ≤ f (x)는 A의 모든 x에 대해 x ≤ f_∗(f (x)와 동일하다.유사한 추론(또는 순서 이론에 대한 이중성 원리를 적용하는 것 만으로도)에 의해, B의 모든 y에 대해 f(f_∗(y) ≤ y를 발견하게 된다.이러한 속성은 복합적인 f f_∗ f는 디플레이션적인 반면 f_∗ ∘ f는 인플레이션(또는 광범위)이라고 말해 설명할 수 있다.

이제 x, y ∈ A와 같이 x y y를 고려한다.그런 다음, 상기의 하나를 사용하여 x ≤ f_∗(f)(y)를 얻는다.갈루아 연결부의 기본 특성을 적용하면 이제 f (x) ≤ f (y)로 결론 내릴 수 있다.그러나 이것은 f가 어떤 두 원소의 순서를 보존한다는 것을 보여준다. 즉, 그것은 단조로운 것이다.다시 말하지만, 비슷한 추리는 f의_∗ 단조로움을 낳는다.따라서 단일성은 정의에 명시적으로 포함될 필요가 없다.그러나 단조로움을 언급하는 것은 갈루아 연결의 두 가지 대안적 개념에 대한 혼동을 피하는 데 도움이 된다.

Galois 연결의 또 다른 기본 속성은 B의 모든 x에 대해_∗ f(f(f_∗(x)) = f_∗(x)라는 사실이다.분명히 우리는 그것을 발견한다.

f_∗(f(x_∗)) ≥ f_∗(x).

왜냐하면_∗ f∘ f는 위와 같이 인플레이션이기 때문이다.반면에 f ∘ f는_∗ 디플레이션적인 반면 f는_∗ 단조롭기 때문에, 는 것을 알게 된다.

f_∗(f(x_∗)) ≤ f_∗(x).

이것은 원하는 평등을 보여준다.나아가 이 속성을 이용하여 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.

f(f_∗(f(x_∗))) = f(f_∗(x))

그리고

f_∗(f(f_∗(f)(x))) = f_∗(f)(x)

즉, f ∘ f와_∗ f_∗ ∘ f는 idempotent이다.

함수 f가 낮음(resp)이라는 것을 보여줄 수 있다(증거는 블리스 또는 에르네 참조).상부) f가 잔여 매핑인 경우(resp. resp. resp. remained mapping)에만 연결.따라서 잔류 매핑과 단조로운 갈루아 연결의 개념은 본질적으로 동일하다.

폐쇄 연산자 및 Galois 연결부

위의 연구 결과는 다음과 같이 요약할 수 있다: 갈루아 연결의 경우, 복합 f_∗∘ f는 단조(단조함수의 복합체), 인플레 및 단조함수(idempotent)이다.이것은 f_∗∘ f가 사실상 A의 폐업 사업자라고 명시하고 있다.다달리 f ∘ f는_∗ 단조롭고, 디플레이션적이며, idempotent이다.이러한 매핑을 커널 연산자라고 부르기도 한다.프레임과 로케스의 맥락에서 복합 f_∗∘ f는 f에 의해 유도된 핵이라고 불린다. 핵은 프레임 동형성을 유도한다. 로케일의 부분집합은 핵에 의해 주어지면 서브로케일이라고 불린다.

반대로, 어떤 포셋 A의 어떤 폐쇄 연산자 c는 c의 이미지에 대한 c의 막힘(즉, 폐쇄 시스템 c(A)의 굴절적 매핑으로서)인 하위 접합 f와 Galois 연결을 발생시킨다.그런 다음 상부 조정 f는_∗ c(A)를 A에 포함시켜 각 닫힌 요소를 A의 요소로 간주하여 자체로 매핑함으로써 주어진다.이러한 방식으로 폐쇄 연산자와 갈루아 연결은 각각 다른 하나의 인스턴스를 지정하는 밀접한 관계가 있는 것으로 보인다.유사한 결론은 커널 운영자들에게 적용된다.

또한 위의 고려사항은 A의 폐쇄 요소(elements_∗ x with f(x) = x)가 커널 연산자 f ∘ f의_∗ 범위 내의 요소에 매핑되며, 그 반대의 경우도 있음을 보여준다.

Galois 연결부의 존재 및 고유성

갈루아 연결의 또 다른 중요한 특성은 하위 연고자들이 그들의 영역 내에 존재하는 모든 우월성을 보존한다는 것이다.한 달에 한 번씩, 윗부분은 현존하는 모든 인피마를 보존한다.ima)를 보존한다.이러한 성질로부터, 또한 즉시 조정의 단조성을 결론 내릴 수 있다.순서 이론에 대한 부선형 펑터 정리는 역방향 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적

이 상황에서 갈루아 연결의 중요한 특징은 한 조정자가 다른 조정자를 고유하게 결정한다는 것이다.따라서 완전한 선반들 사이의 우월성을 보존하는 지도가 독특한 갈루아 연결의 하위 연결점임을 보증하기 위해 위의 진술을 강화할 수 있다.이러한 고유성을 도출하는 주요 속성은 다음과 같다.A의 모든 x에 대해 f(x)는 x ≤ f_∗(y)와 같은 B의 최소 요소 y이다.Dallally, B의 모든 y에 대해 f_∗(y)는 f(x) ≤ y와 같은 A에서 가장 큰 x이다.어떤 갈루아 연결의 존재는 해당 포셋이 어떤 완전성 특성을 만족시키든 상관없이 이제 각각의 최소 또는 최대 요소의 존재를 암시한다.따라서, 갈루아 연결부의 상단 연직 한 개가 주어질 때, 다른 상단 연직은 이 동일한 속성을 통해 정의될 수 있다.

한편, 일부 모노톤 함수 f는 B에서 B에 대한 형식 { x ∈ A f (x) ≤ b }의 각 집합이 가장 큰 요소를 포함하는 경우에만 하한 부호다.다시 말하지만, 이것은 상부 연관을 위해 이중화될 수 있다.

형태론으로서의 갈루아 연결부

또한 갈루아 연결은 포셋 범주를 얻기 위해 사용할 수 있는 포셋 사이의 매핑의 흥미로운 클래스를 제공한다.특히 갈루아 연결부 구성도 가능하다: 포셋 A와 B 사이에 갈루아 연결부(f , f_∗), B와 C 사이에_∗ (g^∗_∗, g)가 있으면 복합체(g^∗ ∘ f , f ∘ g)도_∗ 갈루아 연결부다.완전한 격자의 범주를 고려할 때, 이것은 모든 우월성을 보존하는 매핑만 고려하는 것으로 단순화할 수 있다(또는 그 대안으로, infima).완전한 격자를 그들의 듀얼에 매핑하는 것, 이러한 범주는 다른 이중성 이론들을 얻기 위해 상당히 기초적인 자동 이중성을 보여준다.다른 방향에서 연결점 매핑을 유도하는 보다 특별한 종류의 형태는 프레임(또는 로케일)에 대해 일반적으로 고려되는 형태다.

범주 이론에 대한 연결

부분적으로 정렬된 모든 집합은 자연적인 방법으로 범주로 볼 수 있다: x에서 y까지의 고유한 형태론은 x ≤ y의 경우에만 존재한다.단조로운 갈루아 연결은 부분적으로 순서가 정해진 세트에서 발생하는 두 범주 사이의 보조형 펑커의 한 쌍에 불과하다.이 맥락에서, 상부 부재는 우측 부선이고, 하부 부선은 좌측 부선이다.그러나, 이 용어는 Poset이 듀얼 패션, 즉 형태론이 반대 방향을 가리키는 범주로 변형된 적이 있었기 때문에 Galois 연결에는 피한다.이로 인해 현재 애매한 좌·우 보조에 관한 상호보완적인 표기법이 생겨났다.

프로그래밍 이론의 응용

갈루아 연결은 프로그래밍 언어의 추상적 해석 이론에서 많은 형태의 추상화를 설명하기 위해 사용될 수 있다.^[10][11]

메모들

참조

다음의 책과 조사 기사에는 단조로운 정의를 사용한 갈루아 접속이 포함되어 있다.

• 브라이언 A.데이비와 힐러리 A.프리스틀리:2002년 캠브리지 대학 출판부의 Lattice and Order 소개.
• 게르하르트 기에즈, 카를 H.호프만, 클라우스 케이멜, 짐미 D.로슨, 마이클 W. 미즈러브, 다나 S.스콧: 2003년 캠브리지 대학 출판부의 연속 래티스와 도메인.
• 마르셀 에르네, 위르겐 코슬로스키, 오스틴 멜튼, 조지 E.Strecker, Galois 연결에 관한 입문서, in: 1991년 Mary Ellen Rudin and Her Work, 뉴욕 과학 아카데미 연보 704, 1993, 페이지 103–125. (다양한 파일 형식 PS로 온라인에서 무료로 이용 가능)GZ PS는 많은 사례와 결과뿐만 아니라 이 영역에서 발생한 다양한 개념과 정의에 대한 주석을 제시한다.)

원본(antitone) 정의를 사용하는 일부 출판물:

• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• 토마스 스콧 블라이스, 래티스 앤 오더 대수 구조, 스프링거, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
• 니콜라오스 갈라토스, 피터 집센, 토마시 코왈스키, 오노 히로아키라(2007)는 잔류 라티시스. ISBN 978-0-444-52141-5.
• 개럿 비르호프: 래티스 이론, 아머.수학. 과학. 콜.1940년 제25권 펍
• Ore, Øystein (1944), "Galois Connexions", Transactions of the American Mathematical Society, 55 (3): 493–513, doi:10.2307/1990305, JSTOR 1990305