보완(집합 이론)

집합론에서, 집합 A의 보완은 종종 A(또는 A),)^[1]로^c 나타내며,^[2] A에 없는 원소의 집합이다.

고려 중인 모든 집합이 주어진 집합 U의 하위 집합으로 간주될 때, A의 절대 보완은 A에 없는 U의 요소 집합이다.

집합 B에 대한 A의 상대적 보완(B와 A의 집합차라고도 함)은 B${\displaystyle a}$ A$,$ (\$displaystyle$B\$setminus$ A$,$ )로$$ $표기$되어 있으며 A에 없는 B의 요소 집합이다.

절대보완

정의.

A가 집합인 경우, A의 절대적 보완체(또는 단순히 A의 보완체)는 A에 없는 요소의 집합(암묵적으로 정의된 더 큰 집합 내)입니다.즉, U를 연구 중인 모든 요소를 포함하는 집합으로 합니다. U가 이미 지정되어 있거나 명백하고 고유하기 때문에 U를 언급할 필요가 없다면 A의 절대적 보어는 ^[3]U에서 A의 상대적 보어입니다.

또는 공식적으로:

A의 절대보수는 보통 A로 표시됩니다^c.${\displaystyle {}_{}}$ 표기법으로는 A${\displaystyle ,}$ $,$ A,$A,$ A, A$,$^[2] ${\displaystyle A_{}}$, A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle A.,}$ A$.,$ A. (\$displaystyle \completment$ _${U}A,$ {\$text{$및$}}\completment$$A$가 $있습니다{\displaystyle \stackrel{}{}}$.$}$^[4]

예

• 우주가 정수의 집합이라고 가정하자.A가 홀수 집합일 경우 A의 보수는 짝수 집합입니다.B가 3의 배수 집합이라면 B의 보수는 1 또는 2 모듈로 3(또는 간단히 말하면 3의 배수가 아닌 정수)에 해당하는 숫자 집합입니다.
• 우주가 표준 52장의 카드 덱이라고 가정합니다.세트 A가 스페이드 슈트라면, A의 보수는 클럽, 다이아몬드, 하트 슈트의 조합입니다.세트 B가 클럽 슈트와 다이아몬드의 조합이라면, B의 보완은 하트 슈트와 스페이드 슈트의 조합이다.

특성.

A와 B를 우주 U의 두 집합으로 하자.다음 식별 정보는 절대 보형의 중요한 속성을 캡처합니다.

드 모건의 법칙:^[5]

• $\displaystyle \left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}}.$
• $\displaystyle \left(A\cap B\오른쪽)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}$

보완법칙:^[5]

• $(\displaystyle A\cup A^{c}=U)$
• ${\displaystyle A\cap A^{c}=\varnothing .}$
• $\displaystyle \varnothing ^{c}=U}$
• $\displaystyle U^{c}=\varnothing .}$
• $디스플레이 스타일}}A\subseteq B{\text{\text}인 경우 B^{c}\subseteq A^{c}.}$

  (이것은 조건과 그 대비격의 등가성에서 비롯된다.)

혁신 또는 이중 보완 법칙:

• $\displaystyle \left(A^{c}\오른쪽)^{c}=A.}$

상대 보완과 절대 보완의 관계:

• $(\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c})$
• $(\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A)}$

설정된 차이와의 관계:

• ${\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A}$

위의 처음 두 보법칙은 A가 U의 올바른 하위 집합인 경우 {A, A^c}이(가) U의 파티션임을 나타냅니다.

상대적 보완

정의.

A와 B가 세트일 경우,^[5] B와 ^[6]A의 세트 차이라고도 불리는 B의 A의 상대 보어는 B의 요소 집합이지만 A에는 포함되지 않는다.

B에서 A의 상대적 보완은 ISO 31-11 표준에 따라 B$A$로 $표기$된다.B${\displaystyle }$-${\displaystyle A}$ ,$$\$displaystyle B-A$, \displaystyle B-A 로$$ $표기$되는 경우도 있습니다만, 이 표기법은 애매합니다.예를 들어 일부 컨텍스트(예를 들어 기능 분석에서의 Minkowski set operations)에서는 모든 $요소{\displaystyle }$b -${\displaystyle a}$, \$displaystyle$ b-a$$의 집합으로 해석할 수 있습니다.

형식:

예

• ${\displaystyle\{1,2,3\}\setminus\{2,3,4\}=\{1\}.$
• $\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• $(\$이 실수의 $집합$이고$Q(\$displaystyle \$mathbb${Q$})$가 유리수의 집합이라면 $(\$ \$setminus \mathbb {Q})$은 무리수의 집합입니다.

특성.

A, B, C를 3세트라고 합니다.다음 식별 정보는 상대 보형의 주목할 만한 특성을 포착합니다.

• $(\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$
• $\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$
• $(\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  중요한 특수 $케이스{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (}$ ( C ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle A}$) $=$ ( ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \cap A}$) {$style$ C$\setminus (C\setminus$ A)=($C\cap$ A$)}$와 함께 교차점이 상대적 보완 연산만을 사용하여 표현될 수 있음을 입증한다.

• $\ displaystyle ( B \ setminus A ) \ cap C = ( B \ cap C ) \ setminus A = B \ cap ( C \ setminus A )}$
• $\ displaystyle ( B \ setminus A ) \ cup C = ( B \ cup C ) \ setminus ( A \ setminus C )}$
• $(\displaystyle A\setminus A=\emptyset).}$
• $\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset.}$
• $\displaystyle A\setminus \emptyset = A.}$
• $(\displaystyle A\setminus U=\emptyset).}$
• ${\displaystyle A}$가$B일 경우$ ${\displaystyle C}$는 C${\displaystyle ,<img\; alt="A\backslash subset\; B"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/010e98bb4c817357e3ef7e8fa7fbe2385b2aec6e"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:6.606ex;\; height:2.176ex;">}$ ${\displaystyle C}$는 B일 때$C$는 B$,$ Setminus A는 $Setminus$ C는$setminus$B는 $B일$ 때 $사용$합니다.
• ${\displaystyle AB}$ $(\displaystyle$ A$\supseteq$ B$\setminus$ C$)$는 C$(\displaystyle$ C$\supseteq$ B$\setminus$ A$)$에 $해당$합니다.

상보 관계

2진수 $관계 R은$집합$$${\displaystyle }X{\displaystyle }$ ×${\displaystyle Y}$의 곱의 부분 집합으로 $정의$됩니다$.$ {\$displaystyle$ X$\times$Y} 상보 $관계{\displaystyle \stackrel{}{}}$ R$$${\$ ${\$$displaystyle {$$R$$$$}}$은${\displaystyle }$X${\displaystyle }$× Y의$$ $집합{\displaystyle }$$R$의 상보 관계입니다$.$ {\$displaystyle$X\$times$ Y} 상보 $관계{\displaystyle }$$yle$ R$}$을(를) 쓸 수 있습니다.

여기서 R$(\displaystyle$ R$)$은${\displaystyle }$X$,$ \$displaystyle$ X$$$,$ \$displaystyle$$Y$의 $열{\displaystyle }$ 요소를 나타내는 행이 있는 논리 매트릭스로 간주됩니다$.\$$displaystyle aRb}$의 진리는 $,$ \$displaystyle$a$.$rb$}$의 진실에 해당합니다$$.$생산$그러면$$$R에$ 보완 $관계$는 모든 1을 0으로 전환하고 보완의 논리 매트릭스에 대해 0을 1로 전환하는 것과 일치합니다.

관계와 대화 관계의 구성과 함께, 보완 관계와 집합의 대수는 관계 미적분의 기초 연산이다.

LaTeX 표기법

LaTeX 조판 언어에서 명령어는\setminus^[7] 는 보통 백슬래시 기호와 유사한 설정 차분 기호를 렌더링하는 데 사용됩니다.렌더링 시\setminus명령어는 다음과 같습니다.\backslash단, LaTeX 시퀀스와 마찬가지로 슬래시 앞뒤에 공간이 조금 더 있다는 점을 제외하고는\mathbin{\backslash}변종\smallsetminus는 amssymb 패키지로 제공됩니다.

프로그래밍 언어

일부 프로그래밍 언어에는 내장된 데이터 구조 사이에 집합이 있습니다.이러한 데이터 구조는 유한 집합으로 동작합니다. 즉, 특별히 순서가 정해지지 않은 유한한 수의 데이터로 구성되므로 집합의 요소로 간주될 수 있습니다.경우에 따라서는 요소가 서로 구별되지 않고 데이터 구조가 집합이 아닌 멀티셋을 코드합니다.이들 프로그래밍 언어에는 보 및 집합 차이를 계산하기 위한 연산자 또는 함수가 있습니다.

이러한 연산자는 일반적으로 순서 목록이나 배열과 같이 실제 수학 집합이 아닌 데이터 구조에도 적용될 수 있습니다.따라서 일부 프로그래밍 언어에는 다음과 같은 기능이 있을 수 있습니다.set_difference셋에 대한 데이터 구조가 없는 경우에도 마찬가지입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 집합 대수 – 집합과 관련된 동일성과 관계
• 교차로(세트 이론) – 일부 세트에 공통되는 요소 집합
• 세트 아이덴티티 및 관계 목록– 세트 조합에 대한 동등성
• 순진한 집합론 – 비공식 집합론
• 대칭적 차이– 2개의 세트 중 정확히 1개의 요소로 구성
• 유니언(세트 이론) – 일부 세트의 요소 집합

메모들

레퍼런스

• Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (in French). Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8.
• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Complement". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Complement Set". MathWorld.