매틀리스 이중성

대수학에서 마틀리스 이중성은 아르티니아계와 노메트리안 모듈 사이의 완전한 노메트리안 지역 링 위에 있는 이중성이다.국부 링이 잔류 영역에 필드^{[clarification needed]} 맵핑을 하는 특별한 경우, 그것은 다항식 링에 대한 프랜시스 소워비 맥컬레이의 이전 작업과 밀접하게 관련되어 있으며, 때로는 맥컬레이 이중성으로 불리며, 일반적인 경우는 마틀리스(1958)에 의해 도입되었다.

성명서

R이 잔류 필드 k가 있는 노메테리아 완전한 국부 링이라고 가정하고, E를 k의 주입 선체(때로는 마틀리스 모듈이라고도 함)로 선택한다.모듈 M의 이중 D_R(M)는 Hom_R(M,E)으로 정의된다.그리고 나서 마틀리스 이중성은 이중성 펑터 D가_R 아르티니아 R-모듈과 노메트리안 R-모듈의 범주 사이에 반동일성을 부여한다고 말한다.특히 이중성 펑터(duality functor)는 유한 길이 모듈의 범주에서 그 자체로 반균등성을 부여한다.

예

노메테리아인의 완전한 국부 링 R은 잔여 필드 R/m의 유한 지수의 하위 필드에 매핑되는 하위 필드 k를 가지고 있다고 가정한다.그렇다면 어떤 R-모듈의 Matlis 이중은 모듈에 m-adic 위상이 주어진다면 k에 걸친 위상학적 벡터 공간으로서의 이중일 뿐이다.특히 k에 대한 위상학적 벡터 공간으로서의 R의 이중은 Matlis 모듈이다.이 경우는 등급이 매컬레이의 다항식 고리에 대한 작업과 밀접한 관련이 있으며, 때로는 맥컬레이 이중성(Macolay duality)이라고 불리기도 한다.

R이 지수 필드 K를 갖는 이산 평가 링이라면 Matlis 모듈은 K/R이다.R이 p-adic 번호의 링인 특별한 경우, 정밀하게 생성된 모듈의 Matlis 이중은 지역적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹으로 간주되는 폰트랴긴 이중이다.

R이 듀얼라이징 모듈 Ω이 있는 차원 d의 코헨-매컬레이 로컬 링인 경우, Matlis 모듈은 로컬 코호몰로지 그룹 H^d
_R(Ω)에 의해 주어진다.특히 R이 Artinian 로컬 링인 경우 Matlis 모듈은 듀얼라이징 모듈과 동일하다.

보조 펑커를 사용한 설명

Matlis 이중성은 조정 펑커와 파생 범주의 언어를 사용하여 개념적으로 설명될 수 있다:^[1] k-모듈을 R-모듈로 간주하여 유도된 R-모듈과 k-모듈의 파생 범주 사이의 functor는 우측 조정( 파생된 내부 Hom)을 허용한다.

D(k)\gets D(R):R\operatorname {Hom} _{R}(k,-)}

이 우측 조정부는 위에서 언급한 $E(k)$ 주입 선체 $E(k)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $E(k)}$ 을(를) k로 보내는데, 이 $D(k)$ 는 D $D(k)$ ) {\ $디스플레이$ 스타일 D(k $D(k)$ 의 이원화 물체다.그러면 이 추상적인 사실은 위에서 언급한 등가성을 낳는다.